2-1等量代換2-1等量代換教學目標教學目標利用生活的相等關系進行推理，并進行等量代換通過等量代換思想學習圖文算式，培養學生的逆向思維和發散思維在代換中鍛煉學生的分析問題能力和推理判斷能力知識精講知識精講生活中有很多相等的量，如平衡的天平、平衡的蹺蹺板兩邊的重量相等.我們可以根據這些相等的關系進行推理，進而可以等量代換，找到答案.這一節課我們就引導學生來學習等量代換中推理的方法，讓學生能對較復雜的物體進行代換，在代換的過程中培養學生的思維能力.模塊一、看的見的等量代換看下圖，右邊要站幾只小鳥蹺蹺板才能平衡.1只小兔的重量等于6只鳥的重量，右邊要放6只鳥，蹺蹺板才能保持平衡.下圖中第三個盤子應放幾個小方塊才能保持平衡?1個香蕉的重量=3個方塊的重量，右邊要放3個方塊天平才能保持平衡.下圖中0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個兄弟玩蹺蹺板，8和6先坐在一頭，讓哪兩個兄弟坐在另一頭，才能使蹺蹺板平衡？右邊8+6=14，左邊只能放9和5，9+5=14.一個蘋果等于（）個草莓.一個蘋果等于4個草莓.第三個盤子應放幾個玻璃球才能保持平衡．第三個盤子應放6個玻璃球才能保持平衡．水果兄弟們也組成了各種不同的圖文算式，它們各代表一個數，你能猜出它們各代表幾嗎？這是一個很基礎的題，通過這個題的練習，可讓學生初步掌握代換的方法，為后面的學習打下基礎.（1）因為，所以，又因為3+3+3=9，所以=3.（2）根據，想12+8=20，那么可以推出，因為4+4=8，所以可以得出一個=4.（3）因為，，這樣我們可以得出=5+5+5+5=20.（4）根據得，觀察算式，就相當于沒加也沒減還得0，這樣我們就可以得出=25.下面的花朵各表示什么數？=9，=3.有一天，小狗老師要在動物學校挑選隊員參加數學競賽，小松鼠很高興也跑來了.小狗老師說：“那我就來考考你！你把下面的題做對了就可以參加了.”小松鼠看了半天說：“老師，你寫的這是什么？”小狗老師說：“哈哈！看來你要好好學一學圖文算式了，歡迎你下次再來.”小朋友們，上面的題你會嗎？通過這個故事引入新課，在這里不要求學生能馬上做出來，可放在最后來解決.如果學生的能力較強，也可把這兩個題作為引入新課的切入點進行講解.（1）因為，所以=5，又因為，把=5替換，就變成，這樣我們就可以得出=10.（2）我們把上下兩個算式進行比較，我們發現下面比上面多了一個，得數多了18-14=4，所以我們可以推斷出=4，，根據第一個算式我們可以得出；那么=5.下面的符號各代表一個數，相同的符號代表相同的數，它們各代表幾呢？根據兩個算式來進行推理，通常我們要先根據一個算式的得數推理出其中一個符號表示的數，然后再把這個得數代換到另一個算式里，求出另外一個符號表示的數.具體分析如下：（1）根據●+●=6，想3+3=6，可推出●=3，把●=3替換▲+●=8，可得到新的算式▲+3=8，這樣我們就可得出▲=5.（2）根據第二個算式12-■=5，可得■=7；把■=7替換第一個算式◆+■=15的◆+7=15，可以得出◆=8.下面的符號各代表一個數，相同的符號代表相同的數，它們各代表幾呢？根據兩個算式來進行推理，通常我們要先根據一個算式的得數推理出其中一個符號表示的數，然后再把這個得數代換到另一個算式里，求出另外一個符號表示的數.具體分析如下：（1）根據●+●=6，想3+3=6，可推出●=3，把●=3替換▲+●=8，可得到新的算式▲+3=8，這樣我們就可得出▲=5.（2）根據第二個算式12-■=5，可得■=7；把■=7替換第一個算式◆+■=15的◆+7=15，可以得出◆=8.根據下面的算式，你知道、、各代表數字幾？根據第三個算式：圓柱體+圓柱體=球，我們可以替換第一個算式中的球可得：正方體+圓柱體+圓柱體=10，我們把這個算式和第二個算式：圓柱體+正方體=8進行比較，發現多了一個圓柱體，而得數多了10-8=2，這樣我們就可以得出：圓柱體=2，根據第三個算式就得：球=2+2=4，根據第一個算式得：正方體+4=10，于是可推出：正方體=6.答案：正方體=6，球=4，圓柱體=2.根據下面算式，算出△、○、□各表示幾？根據三個算式的等量關系通過等量代換，分別算出△、○、□的得數，△=2、○=3、□=1.下面的圖形各表示什么數？（1）○=11，□=2；（2）○=4，△=5；（3）△=6，□=2.求下面圖形所表示的數.（1）△=(9)，○=(6)，☆=(7)；（2）△=(3)，□=(4).你能根據下面的三個算式，算出●、▲、■各代表什么數嗎？根據第一個算式11-4=●，我們可以得出●=7；把●=7代入到第二個算式●-5=▲，可得7-5=▲，這樣可以得出▲=2，最后根據第三個算式我們就能得出■=7+2=9.和是一對好朋友，它們各代表一個數，你知道它們是幾嗎？從第一個算式可以看出西瓜比菠蘿大6，而菠蘿加上西瓜又得12，我們把10以內符合要求的數分組列舉：10和4，9和3，8和2，7和1，發現只有9+3=12符合要求，所以西瓜=9，菠蘿=3.模塊二、簡單的等量代換頭大象的重量等于頭牛的重量，頭牛的重量等于匹馬的重量，則頭大象的重量等于多少匹馬的重量？因為頭大象的重量=頭牛的重量，頭牛的重量=匹馬的重量，那么頭牛的重量=匹馬的重量，所以頭大象的重量等于匹馬的重量．頭豬的重量等于8只兔的重量，而1只兔的重量又等于2只公雞的重量，那么1只豬的重量是幾只公雞的重量？頭豬的重量等于只兔子的重量，而只兔子的重量又等于只公雞的重量．那么只兔子的重量就等于(只)公雞的重量，而頭豬的重量等于只兔子也就是只公雞的重量．所以頭豬的重量等于只公雞的重量．已知買個漢堡包的錢可以買個冰激凌，買個冰激凌的錢可以買杯牛奶：求：（1）買杯牛奶的錢可以買幾個漢堡包？（2）買個漢堡包的錢可以買多少杯牛奶？可引導學生讀題、審題，找三者之間的數量關系，再通過倍數關系進行求解．可得出：(杯)，即買個漢堡包的錢和買杯牛奶的錢一樣多．由此可以進行推算．⑴杯牛奶是杯牛奶的倍．所以杯牛奶的錢可以買個漢堡包．⑵60個漢堡包相當于個杯牛奶的錢．(杯)或（杯），所以買個漢堡包的錢可以買杯牛奶．巳知＝克，求＝？克．從左邊的圖可得：個白球=個黑球的重量，也就是等于（克），（克），所以每個白球的重量等于克．從右圖可得：個正方體=個白球的重量，一個白球的重量等于克，個正方體的重量就是：（克）．第三個盤子應放幾個玻璃球才能保持平衡？⑴個，⑵個．下面的天平是不平衡的，但除了天平上的砝碼，周圍已找不到別的砝碼了．你能通過移動天平上的砝碼，使天平平衡嗎？我們可先看看天平兩邊各有多少克：天平左邊：(克)．天平右邊：(克)．顯然，天平左邊如果減少克，放到天平右邊，(克)，(克)，天平兩邊就都平衡了，但天平左邊沒有克的砝碼，怎么辦？可以用天平左邊克的砝碼和天平右邊克的砝碼交換一下，就可以達到要求了．這樣天平左邊是(克)．右邊是(克)．你能通過移動天平上的砝碼，使下面的天平平衡嗎？可引用線段圖幫助學生理解多的部分給少的部分多少，可達到一樣多，然后再講解此題.左邊=克，右邊=克，左邊比右邊多克．只有從左邊拿克到右邊，兩邊的重量才一樣多．這樣可以把左邊克的砝碼和右邊克的砝碼互換一下，左右兩邊重量都是克，天平平衡．你能通過移動天平上的砝碼，使下面的天平平衡嗎？把左邊的克和右邊的克對換．或把左邊的克和右邊的克對換．只小花貓的重量等于只狗的重量，1只小花貓等于3只鴨的重量，1只狗重千克，只貓與只鴨各重多少千克？抓住突破口，利用倒推逐步推理．只貓等于只狗的重量，只狗重千克，只貓也就重千克，（千克），所以只貓就等于千克．只貓等于只鴨的重量，只貓重千克，只鴨也就重千克．（千克），所以只鴨等于千克．如果個筆記本的價錢等于塊橡皮的價錢，個文具盒的價錢等于塊橡皮的價錢．已知個筆記本的價錢是元，那么個文具盒的價錢是多少？由個文具盒等于塊橡皮知：個文具盒=塊橡皮，又由個筆記本=塊橡皮知個筆記本=塊橡皮，所以，個文具盒=個筆記本．個筆記本的價錢是元，那么個文具盒的價錢是（元）．1串葡萄的重量等于3個梨的重量，2個梨的重量等于80克，串葡萄重多少克？個梨的重量是克，那么個梨的重量就是克，串葡萄的重量等于個梨的重量，串葡萄就是克．如果只兔子可換只羊，只羊可換頭豬，頭豬可換頭牛，那用頭牛可換多少只兔子？把題目條件列出來：只兔=只羊，只羊=頭豬，頭豬=頭牛，頭牛=幾只兔．從這幾個式子可得出：頭牛=頭豬，頭豬=只羊，只羊=只兔．因為頭牛可換頭豬，頭豬換只羊，頭豬就換(只)羊，只羊可換只兔，只羊可換(只)兔．說明頭牛可換只兔．只兔子可以換只鵝，只鵝可以換只羊，只兔子重千克，只羊重幾千克？只羊重千克．1個蘋果和1個香蕉的重量是7個小鐵塊的重量，而1個蘋果的重量是4個小鐵塊的重量，1個香蕉的重量是多少個小鐵塊的重量？簡單的代換，可通過畫圖對學生進行講解，利用拓展加強學生的認識．題中告訴我們一個蘋果和一個香蕉的重量等于個小正方體的重量．且一個蘋果的重量等于個小正方體的重量，通過比較，我們知道一個香蕉的重量就應該是個小正方體的重量．1瓶可樂等于1杯茶和1杯奶的重量，2杯奶的重量等于1杯茶的重量，瓶可樂相當于多少杯牛奶的重量？因為瓶可樂=杯茶+杯牛奶，且杯茶=杯牛奶，兩式聯合起來：瓶可樂=杯牛奶+杯牛奶=杯牛奶．個的重量等于個小的重量，個的重量等于個大和個小的重量和，1個大等于幾個小的重量？因為個=個小，那么個=個小，又因為個=個大+個小，所以個大=個小－個小=個小，個大=個小．只雞的重量等于只小鴨的重量，只雞的重量等于只小鴨和1只小豬的重量，1只小熊等于只小豬的重量，算一算只小熊的重量與幾只小鴨的重量一樣重？引導學生，根據條件適當擴大雞的倍數，使前后數目一致，進行計算．因為只雞的重量等于只小鴨的重量，所以可以變成只鴨的重量等于1只小鴨和1頭小豬的重量；這樣我們就可以算出頭小豬的重量等于只小鴨的重量．我們又知道只小熊的重量等于頭小豬的重量，因為頭小豬的重量等于只小鴨的重量，所以只小熊的重量等于只小鴨的重量．只猴子的體重等于只貓的體重，只狗的體重等于只貓的體重．如果只猴子重千克，請問只狗重多少千克？由只狗的體重=只貓的體重，得只狗的體重=只貓的體重．又只猴子的體重=只貓的體重，只狗的體重=只猴子的體重．只猴子重千克，只狗重千克．觀察下圖，看看誰最重．從第一個圖中可以看出只兔子的重量=只兔子+只雞的重量．從這個等式可推出只兔子=只雞的重量．說明兔子比雞重；而第二個圖可以看出只雞=只鴨的重量，從而可推出鴨的重量大于雞的重量．那么兔子和鴨哪一個更重呢？我們不妨把兔和鴨都轉化成相當于幾只雞來比較．剛才我們由第個圖看出：只鴨=只雞，那么只兔等于幾只雞的重量呢？因為只兔=只雞，所以只兔的重量=只雞的重量，而只鴨的重量=只雞的重量．兔和鴨同樣都是只，但前者相當于只雞重，后者相當于只雞重．顯然，這里兔子的重量最重．一旦遇到不好比較的情況，我們可以將它們轉化成相當于幾個同一種事物，這樣就便于比較了．個桃子等于個玻璃球的重量，個桃子和個梨的重量等于個玻璃球的重量，1個梨等于幾個玻璃球？個桃子=個玻璃球的重量，個桃子+個梨=個玻璃球的重量，那么個梨=個玻璃球的重量．只鵝可以換千克魚，而千克魚可以換個雞蛋，個雞蛋可以換個鵝蛋．一只鵝可以換多少個鵝蛋？一只鵝可以換個鵝蛋．個足球等于幾個皮球的價錢？個足球等于個皮球的價錢．個西瓜的重量等于個哈密瓜的重量，個哈密瓜的重量等于個蘋果的重量，個蘋果的重量等于個柿子的重量，那么個西瓜的重量等于幾個柿子的重量？因為個蘋果的重量等于個柿子的重量，所以個蘋果的重量等于個柿子的重量．又因為個哈密瓜的重量等于個蘋果的重量，所以個哈密瓜的重量等于個柿子的重量．而個西瓜的重量等于個哈密瓜的重量，因此個西瓜的重量=個柿子的重量．2只兔子的重量等于6只小雞的重量，只袋鼠的重量相當于只兔子的重量，那么只袋鼠的重量相當于多少只小雞的重量？只兔相當于只小雞的重量，那么只兔相當于只小雞的重量．只袋鼠的重量相當于只兔子的重量，所以只袋鼠相當于只小雞的重量．，即只袋鼠相當于只小雞的重量．一只小猴重4千克，一只小猴的重量等于兩只小兔的重量，兩只小兔的重量等于4只小貓的重量．一只小兔和一只小貓的重量共多少千克？一只小猴的重量等于兩只兔子的重量，這樣可以求出一只兔子的重量．而兩只兔子的重量等于4只小貓的重量，可以求出一只小貓的重量．最后一只小兔和一只小貓的總重量就求出來了．一只兔子的重量：(千克，)一只小貓的重量：(千克)，一只小兔和一只小貓的總重量：(千克)模塊三、利用對比分析、和差倍分、整體看問題的思想解題(2008年第八屆“春蕾杯”小學數學邀請賽初賽)★+■=24，■+●=30，●+★=36．■=_________●=________★=_______.，所以■表示的數為：，●表示的數為：，★表示的數為：．圖書室里的故事書與科技書共有720本，又知故事書比科技書多160本，這兩種圖書各有多少本？題目中給出了兩個未知量“故事書”和“科技書”的數量關系，即已知故事書與科技書共有720本和故事書與科技書本數之差，屬于典型應用題中的“和差問題”，一般用消去法來解．消去科技書本數后，可先求出故事書的本數．列式：(本)……故事書，(本)……科技書．也可以先求出科技書的本數．學校第一次買了3個水瓶和20個茶杯，共用去134元；第二次又買了同樣的3個水瓶和16個茶杯，共用去118元．問水瓶和茶杯的單價各是多少元？引導學生學會審題，找出兩次購買的相同點及差異，讓學生思考解決．我們用數量關系式來比較對應的未知數量的情況：比較上面兩個等式，我們可以看出，134元和118元的差正好是4個茶杯的價錢．利用這一條件，把3個水瓶的價錢消去，先求出每個茶杯的價錢，再求出每個水瓶的價錢．每個茶杯的價錢：(元)每個水瓶的價錢：(元)或(元)奶奶去買水果，如果她買4千克梨和5千克荔枝，需要花掉58元；如果她買6千克梨和5千克荔枝，需要花掉62元．問1千克梨和1千克荔枝各多少元？我們可以把兩次的情況進行比較：4千克梨的價錢千克荔枝的價錢(元) ⑴6千克梨的價錢千克荔枝的價錢(元) ⑵比較⑴和⑵式，發現兩式中荔枝的千克數相等．⑵式比⑴式多了千克梨，也就是元，說明1千克梨的價錢為元．那么1千克荔枝的價錢也就好求了．(元)，(元)或(元)小芳在文具店買了5枝彩色鉛筆和6個練習本，共用去17元．小花買了同樣的鉛筆8枝和6個練習本，共用去20元．一枝彩色鉛筆和一個練習本的價格各是多少？從題設條件進行比較，小芳和小花都買了6個練習本(同樣多)，只是買的彩色鉛筆枝數不同，引起付款多少不同．因此我們可以采用消去法先消去購買練習本的錢數而只剩下買彩色鉛筆的錢數，從而先求出彩筆的單價．列式：(元)……一枝彩筆價格，(元)……一個練習本的價格．李老師第一次買回5個籃球和3個排球，用去318元．第二次又買回7個籃球和6個排球，用去510元．問：一個籃球和一個排球的價格各是多少元？可引導學生讀題、審題，找出此題與例7的不同之處,并轉化成例7的模型．此題有籃球單價與排球單價兩個未知數量，而從題里所給條件分析，兩次購買籃球與排球的數量各不相同，不能直接用消去法消去哪一個未知數，所以解題關鍵是使籃球或排球中的某一對未知數變換得相同，則可消去其中一個．通過比較，第一次購買的排球為3個；第二次購買的排球為6個，恰為第一次的2倍．若將第一次購買的排球、籃球各擴大2倍，付的錢也擴大2倍，則能使購買的排球個數與第二次購買的排球個數相同，從而設法消去排球這個未知數量，先求出每個籃球的價格，再求每一個排球的價格．列式：(元)……籃球的單價．(元)……排球的單價．學校要買足球和排球．買3個足球和4個排球共需190元，如果買6個足球和2個排球需要230元．一個足球和一個排球各需要多少元？我們可以把兩次情況進行比較；3個足球的價錢個排球的價錢(元) ⑴6個足球的價錢個排球的價錢(元) ⑵我們發現兩組條件不管相加還是相減，都不可能求出足球和排球的單價，因為這里沒有一個相同的條件可減去．再觀察，我們發現，如果把⑴式擴大2倍，可以得到6個足球和8個排球共380元，即⑴：6個足球的價錢個排球的價錢元⑶⑶⑵，可知6個排球的價錢元．容易得出排球和足球的價錢各是多少．排球：(元)，足球：(元)3頭牛和8只羊每天共吃青草93千克，5頭牛和15只羊每天共吃青草165千克．問一頭牛和一只羊每天各吃青草多少千克？3頭牛吃草的重量只羊吃草的重量千克 ⑴5頭牛吃草的重量只羊吃草的重量千克 ⑵如果把⑴式擴大5倍，⑵式擴大3倍，那么兩個式子中牛的數量就一樣多了．這樣就得到：⑴：15頭牛吃草的重量只羊吃草的重量千克 ⑶⑵：15頭牛吃草的重量只羊吃草的重量千克 ⑷⑷⑶：5只羊吃草的重量千克1只羊吃草的重量千克1頭牛每天吃草的重量：(千克)李寧的媽媽去菜市場買菜，買了斤土豆和斤柿子椒，共花了元角．己知斤土豆的價錢與斤柿子椒的價錢相等．那么斤土豆和斤柿子椒各多少錢？可引導學生讀題、審題，讓學生自己思考解答．老師可以畫圖進行分析，已知條件為：斤土豆+斤柿子椒=元角．斤土豆=斤柿子椒．從第一個式子不能算出斤土豆、斤柿子椒的價錢．若把土豆轉化成柿子椒或把柿子椒轉化成土豆的價錢就可求該種菜的價錢了．由第二個式子知斤土豆=斤柿子椒，則斤土豆應等于斤柿子椒的價錢．即：斤土豆+斤柿子椒=元角，斤土豆=斤柿子椒．斤柿子椒+斤柿子椒=元角，斤柿子椒=元角．元角等于角，角買了斤柿子椒，所以斤柿子椒的價錢為：(角)=元角．斤柿子椒的價錢為：(角)=(元)．斤土豆的價錢為：(元)．所以斤土豆的價錢為元，斤柿子椒的價錢為元角．3米綿綢的價格與6米花布的價格相等．王云買了6米綿綢和18米花布，共花費了120元．棉綢和花布的單價各是多少？由題意可知3米棉綢與6米花布的價格相等，由此可推知1米棉綢與2米花布的價格相等．因此可用花布的價格去替換棉綢的價格，而使棉綢價格轉變為花布的價格．消去棉綢價格這個未知數量可以先求出花布的單價，進而求出棉綢的單價．(元)……每米花布的單價(元)……每米棉綢的單價．學校買2張桌子和3把椅子共用90元錢，每張桌子的價錢是每把椅子價錢的3倍．每張桌子多少錢？引導學生讀題、審題，讓學生自己思考解答，教師集體訂正．2張桌子的價錢把椅子的價錢(元) ⑴1張桌子的價錢把椅子的價錢 ⑵將⑵代入⑴式，消去桌子這個未知量，問題就可以解決．()把椅子的價錢把椅子的價錢(元)把椅子的價錢(元)1把椅子的價錢(元)1張桌子的價錢(元)紅、黃、藍三個紙盒里共有彩票56張，其中紅色紙盒里的彩票是黃色紙盒里彩票張數的2倍，藍色紙盒里的彩票是紅色紙盒里彩票張數的2倍．紅、黃、藍三個紙盒里各有多少張彩票？以黃色紙盒里的彩票張數為1倍數．紅紙盒里的彩票張數是這樣的2倍．藍紙盒是紅紙盒里彩票張數的2倍，也就是黃紙盒里彩票張數的4倍．一共是倍．這樣就可以消去兩個未知量而先求出黃紙盒里彩票的張數，再分別求出紅色和藍色盒子里彩票的張數．(張)……黃盒里的彩票張數，(張)……紅盒里的彩票張數，(張)……藍盒里的彩票張數．甲、乙兩人共儲蓄32元，乙、丙兩人共儲蓄30元，甲、丙兩人共儲蓄22元．三人各儲蓄多少元？可先讓學生自己去思考，教師巡視指正．此題要求三個未知數，甲儲蓄多少元？乙儲蓄多少元？丙儲蓄多少元？關系較為復雜，為了化繁為簡，采用消去法來解．首先用加減消去法消去乙和丙，只剩下甲，然后求出甲儲蓄多少元，再求乙、丙各儲蓄多少元．解法1：由2倍甲儲蓄為24元，可求出甲儲蓄多少元．列表：(元)……甲儲蓄款．(元)……乙儲蓄款，(元)……丙儲蓄款．此題也可用另一種方法求解．解法2：甲乙乙丙+甲丙(元)，即2倍的(甲乙丙)等于84元．甲乙丙(元)．(元)……丙儲蓄款，(元)……甲儲蓄款，(元)……乙儲蓄款．已知個排球和個足球共重千克．個排球和個籃球共重千克．個足球和個籃球共重千克．求每一種球各重多少千克？由(千克)知：個排球+個足球+個籃球=千克，那么有個排球+個足球+個籃球=千克．(千克)……籃球的重量,(千克)……足球的重量(千克)……排球的重量模塊四、利用生活中的邏輯推理解題有兩只大小相同的杯子，各加入了不等量的水，一