遼寧省沈陽市2013年中考數(shù)學試卷一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個答案是正確的，每小題3分，共24分）1．（3分）（2013?沈陽）2013年第一季度，沈陽市公共財政預算收入完成196億元（數(shù)據(jù)來源：4月16日《沈陽日報》），將196億用科學記數(shù)法表示為（）A．1.96×108B．19.6×108C．1.96×1010D．19.6×1010考點：科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯點，由于196億有11位，所以可以確定n=11﹣1=10．解答：解：196億=19600000000=1.96×1010．故選C．點評：此題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準確確定a與n值是關鍵．2．（3分）（2013?沈陽）如圖所示是一個幾何體的三視圖，這個幾何體的名稱是（）A．圓柱體B．三棱錐C．球體D．圓錐體考點：由三視圖判斷幾何體．分析：主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．解答：解：由于主視圖和左視圖為長方形可得此幾何體為柱體，由俯視圖為圓可得為圓柱體．故選A．點評：本題考查了由三視圖來判斷幾何體，還考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力．3．（3分）（2013?沈陽）下面的計算一定正確的是（）A．b3+b3=2b6B．（﹣3pq）2=﹣9p2q2C．5y3?3y5=15y8D．b9÷b3=b3考點：單項式乘單項式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的除法．分析：根據(jù)合并同類項的法則判斷A；根據(jù)積的乘方的性質(zhì)判斷B；根據(jù)單項式乘單項式的法則判斷C；根據(jù)同底數(shù)冪的除法判斷D．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：根據(jù)平面直角坐標系內(nèi)兩點關于原點對稱橫縱坐標互為相反數(shù)，即可得出答案．解答：解：根據(jù)平面直角坐標系內(nèi)兩點關于原點對稱橫縱坐標互為相反數(shù)，∴點（﹣3，2）關于原點對稱的點的坐標是（3，﹣2），故答案為（3，﹣2）．點評：本題主要考查了平面直角坐標系內(nèi)兩點關于原點對稱橫縱坐標互為相反數(shù)，難度較小．12．（4分）（2013?沈陽）若關于x的一元二次方程x2+4ax+a=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是a＞或a＜0．考點：根的判別式．分析：根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍．解答：解：根據(jù)題意得：△=（4a）2﹣4a＞0，即4a（4a﹣1）＞0，解得：a＞或a＜0，則a的范圍是a＞或a＜0．故答案為：a＞或a＜0點評：此題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式的意義是解本題的關鍵．13．（4分）（2013?沈陽）如果x=1時，代數(shù)式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=﹣1時，代數(shù)式2ax3+3bx+4的值是3．考點：代數(shù)式求值分析：將x=1代入代數(shù)式2ax3+3bx+4，令其值是5求出2a+3b的值，再將x=﹣1代入代數(shù)式2ax3+3bx+4，變形后代入計算即可求出值．解答：解：∵x=1時，代數(shù)式2ax3+3bx+4=2a+3b+4=5，即2a+3b=1，∴x=﹣1時，代數(shù)式2ax3+3bx+4=﹣2a﹣3b+4=﹣（2a+3b）+4=﹣1+4=3．故答案為：3點評：此題考查了代數(shù)式求值，利用了整體代入的思想，是一道基本題型．14．（4分）（2013?沈陽）如圖，點A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，則⊙O的直徑的長是．考點：圓周角定理；勾股定理分析：首先連接AC，由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得∠ADC=90°，根據(jù)直角所對的弦是直徑，可證得AC是直徑，然后由勾股定理求得答案．解答：解：連接AC，∵點A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=90°，∴AC是直徑，∵AD=3，CD=2，∴AC==．故答案為：．點評：此題考查了圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及勾股定理．此題比較簡單，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．15．（4分）（2013?沈陽）有一組等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…請觀察它們的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第8個等式為82+92+722=732．考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類專題：規(guī)律型．分析：觀察不難發(fā)現(xiàn)，兩個連續(xù)自然數(shù)的平方和加上它們積的平方，等于比它們的積大1的數(shù)的平方，然后寫出即可．解答：解：∵12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212，…，∴第8個等式為：82+92+（8×9）2=（8×9+1）2，即82+92+722=732．故答案為：82+92+722=732．點評：本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，仔細觀察底數(shù)的關系是解題的關鍵，也是本題的難點．16．（4分）（2013?沈陽）已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內(nèi)有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是1，7．考點：等邊三角形的性質(zhì)；平行線之間的距離．專題：計算題．分析：根據(jù)題意畫出相應的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，當P與N重合時，HN為P到BC的最小距離；當P與M重合時，MQ為P到BC的最大距離，根據(jù)題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出DB與FB的長，以及CG與CE的長，進而由DB+BC+CE求出DE的長，由BC﹣BF﹣CG求出FG的長，求出等邊三角形NFG與等邊三角形MDE的高，即可確定出點P到BC的最小距離和最大距離．解答：解：根據(jù)題意畫出相應的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，當P與N重合時，HN為P到BC的最小距離；當P與M重合時，MQ為P到BC的最大距離，根據(jù)題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形，∴DB=FB==，CE=CQ==，∴DE=DB+BC+CE=++=，F(xiàn)G=BC﹣BF﹣CG=，∴NH=FG=1，MQ=DE=7，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是1，7．故答案為：1，7點評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及平行線間的距離，作出相應的圖形是解本題的關鍵．三、解答題（第17、18小題各8分，第19小題10分，共26分）17．（8分）（2013?沈陽）計算：．考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值專題：計算題．分析：本題涉及零指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡四個考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．解答：解：原式=﹣6×+1+2﹣2=2．點評：本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握零指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡等考點的運算．18．（8分）（2013?沈陽）一家食品公司將一種新研發(fā)的食品免費送給一些人品嘗，并讓每個人按A（不喜歡）、B（一般）、C（比較喜歡）、D（非常喜歡）四個等級對該食品進行評價，圖①和圖②是該公司采集數(shù)據(jù)后，繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請你根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息，回答下列問題：（1）本次調(diào)查的人數(shù)為200人；（2）圖①中，a=35，C等級所占的圓心角的度數(shù)為126度；（3）請直接在答題卡中補全條形統(tǒng)計圖．考點：條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖．分析：（1）用A的人數(shù)與所占的百分比列式計算即可得解；（2）先求出C的人數(shù)，再求出百分比即可得到a的值，用C所占的百分比乘以360°計算即可得解；（3）根據(jù)計算補全統(tǒng)計圖即可．解答：解：（1）20÷10%=200人；（2）C的人數(shù)為：200﹣20﹣46﹣64=70，所占的百分比為：×100%=35%，所以，a=35，所占的圓心角的度數(shù)為：35%×360°=126°；故答案為：（1）200；（2）35，126．（3）補全統(tǒng)計圖如圖所示．點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．19．（10分）（2013?沈陽）如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD=45°，AD與BE交于點F，連接CF．（1）求證：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的長．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．專題：證明題．分析：（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF=AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC=2AF，從而得證；（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=CF，然后根據(jù)AD=AF+DF代入數(shù)據(jù)即可得解．解答：（1）證明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AF，∴BF=2AE；（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=，在Rt△CDF中，CF===2，∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2，∴AD=AF+DF=2+．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理的應用，以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵．四、解答題（每小題10分，共20分）20．（10分）（2013?沈陽）在一個不透明的盒子中放有三張卡片，每張卡片上寫有一個實數(shù)，分別為3，，．（卡片除了實數(shù)不同外，其余均相同）（1）從盒子中隨機抽取一張卡片，請直接寫出卡片上的實數(shù)是3的概率；（2）先從盒子中隨機抽取一張卡片，將卡片上的實數(shù)作為被減數(shù)；卡片不放回，再隨機抽取一張卡片，將卡片上的實數(shù)作為減數(shù)，請你用列表法或樹狀圖（樹形圖）法，求出兩次好抽取的卡片上的實數(shù)之差為有理數(shù)的概率．考點：列表法與樹狀圖法；概率公式分析：（1）由在一個不透明的盒子中放有三張卡片，每張卡片上寫有一個實數(shù)，分別為3，，，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果與兩次好抽取的卡片上的實數(shù)之差為有理數(shù)的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：（1）∵在一個不透明的盒子中放有三張卡片，每張卡片上寫有一個實數(shù)，分別為3，，．∴從盒子中隨機抽取一張卡片，卡片上的實數(shù)是3的概率是：；（2）畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，兩次好抽取的卡片上的實數(shù)之差為有理數(shù)的有2種情況，∴兩次好抽取的卡片上的實數(shù)之差為有理數(shù)的概率為：=．點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（10分）（2013?沈陽）身高1.65米的兵兵在建筑物前放風箏，風箏不小心掛在了樹上．在如圖所示的平面圖形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前點B處，風箏掛在建筑物上方的樹枝點G處（點G在FE的延長線上）．經(jīng)測量，兵兵與建筑物的距離BC=5米，建筑物底部寬FC=7米，風箏所在點G與建筑物頂點D及風箏線在手中的點A在同一條直線上，點A距地面的高度AB=1.4米，風箏線與水平線夾角為37°．（1）求風箏距地面的高度GF；（2）在建筑物后面有長5米的梯子MN，梯腳M在距墻3米處固定擺放，通過計算說明：若兵兵充分利用梯子和一根米長的竹竿能否觸到掛在樹上的風箏？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）考點：解直角三角形的應用分析：（1）過A作AP⊥GF于點P．在直角△PAG中利用三角函數(shù)求得GP的長，進而求得GF的長；（2）在直角△MNF中，利用勾股定理求得NF的長度，NF的長加上身高再加上竹竿長，與GF比較大小即可．解答：解：（1）過A作AP⊥GF于點P．則AP=BF=12，AB=PF=1.4，∠GAP=37°，在直角△PAG中，tan∠PAG=，∴GP=AP?tan37°≈12×0.75=9（米），∴GF=9+1.4≈10.4（米）；（2）由題意可知MN=5，MF=3，∴在直角△MNF中，NF==4，∵10.4﹣5﹣1.65=3.75＜4，∴能觸到掛在樹上的風箏．點評：本題考查了勾股定理，以及三角函數(shù)、正確求得GF的長度是關鍵．五、（本題10分）22．（10分）（2013?沈陽）如圖，OC平分∠MON，點A在射線OC上，以點A為圓心，半徑為2的⊙A與OM相切與點B，連接BA并延長交⊙A于點D，交ON于點E．（1）求證：ON是⊙A的切線；（2）若∠MON=60°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）考點：切線的判定；扇形面積的計算．分析：（1）首先過點A作AF⊥ON于點F，易證得AF=AB，即可得ON是⊙A的切線；（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的長，又由S陰影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案．解答：（1）證明：過點A作AF⊥ON于點F，∵⊙A與OM相切與點B，∴AB⊥OM，∵OC平分∠MON，∴AF=AB=2，∴ON是⊙A的切線；（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，∴∠OEB=30°，∴AF⊥ON，∴∠FAE=60°，在Rt△AEF中，tan∠FAE=，∴AF=AF?tan60°=2，∴S陰影=S△AEF﹣S扇形ADF=AF?EF﹣×π×AF2=2﹣π．點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．六、（本題12分）23．（12分）（2013?沈陽）某市對火車站進行了大規(guī)模的改建，改建后的火車站除原有的普通售票窗口外，新增了自動打印車票的無人售票窗口．某日，從早8點開始到上午11點，每個普通售票窗口售出的車票數(shù)y1（張）與售票時間x（小時）的正比例函數(shù)關系滿足圖①中的圖象，每個無人售票窗口售出的車票數(shù)y2（張）與售票時間x（小時）的函數(shù)關系滿足圖②中的圖象．（1）圖②中圖象的前半段（含端點）是以原點為頂點的拋物線的一部分，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)確定拋物線的表達式為60x2，其中自變量x的取值范圍是0≤x≤；（2）若當天共開放5個無人售票窗口，截至上午9點，兩種窗口共售出的車票數(shù)不少于1450張，則至少需要開放多少個普通售票窗口？（3）上午10點時，每個普通售票窗口與每個無人售票窗口售出的車票數(shù)恰好相同，試確定圖②中圖象的后半段一次函數(shù)的表達式．考點：二次函數(shù)的應用；一次函數(shù)的應用分析：（1）設函數(shù)的解析式為y=ax2，然后把點（1，60）代入解析式求得a的值，即可得出拋物線的表達式，根據(jù)圖象可得自變量x的取值范圍；（2）設需要開放x個普通售票窗口，根據(jù)售出車票不少于1450，列出不等式解不等式，求最小整數(shù)解即可；（3）先求出普通窗口的函數(shù)解析式，然后求出10點時售出的票數(shù)，和無人售票窗口當x=時，y的值，然后把運用待定系數(shù)法求解析式即可．解答：解：（1）設函數(shù)的解析式為y=ax2，把點（1，60）代入解析式得：a=60，則函數(shù)解析式為：y=60x2（0≤x≤）；（2）設需要開放x個普通售票窗口，由題意得，80x+60×5≥1450，解得：x≥14，∵x為整數(shù)，∴x=15，即至少需要開放15個普通售票窗口；（3）設普通售票的函數(shù)解析式為y=kx，把點（1，80）代入得：k=80，則y=80x，∵10點是x=2，∴當x=2時，y=160，即上午10點普通窗口售票為160張，由（1）得，當x=時，y=135，∴圖②中的一次函數(shù)過點（，135），（2，160），設一次函數(shù)的解析式為：y=mx+n，把點的坐標代入得：，解得：，則一次函數(shù)的解析式為y=50x+60．點評：本題考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是根據(jù)題意找出等量關系求出函數(shù)解析式，培養(yǎng)學生的讀圖能力以及把生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決．七、（本題12分）24．（12分）（2013?沈陽）定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．性質(zhì)：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．應用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請直接寫出△ABC的面積．考點：四邊形綜合題分析：（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S四邊形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF即可求解．探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．②解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB與△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE．∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四邊形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF=4×6﹣2××4×3=12．探究：解：分為兩種情況：①如圖1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四邊形A′DCB是平行四邊形，∴BC=A′D=2，過B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC==2，∴△ABC的面積是×BC×AC=×2×2=2；②如圖2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四邊形A′DCB是平行四邊形，∴BD=A′C=2，過C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面積是2或2．點評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理的應用，解這個題的關鍵是能根據(jù)已知題意和所學的定理進行推理．題目比較好，但是有一定的難度．八、（本題14分）25．（14分）（2013?沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A（，0）和點B（1，），與x軸的另一個交點為C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點D在對稱軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，求點D的坐標；（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對稱軸于點E，連接AE．①判斷四邊形OAEB的形狀，并