第三章三角恒等變知識網教學分學完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是溝通代數、幾何與三角函數的一三維目通過復習全章知識方法，掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的證明較簡單的三角恒等式以及解決一些簡單的實際問題．掌握簡單的三角恒等變換的基本思想方法，并結合向量解決一些基本的綜合問題通過三角恒等變換體會數學的邏輯性的特征，進一步理解數學的化歸思想、方程思培養學生學會思考問題的方法，培養他們勇于探索創新的精神，磨練學生的意志．重點難教學重點：和角公式、差角公式、倍角公式及其靈活應用課時安排21導入新思路1.(直接導入)在第一章三角函數的基礎上，我們又一起探究學習了第3章三角恒等變換的有關知識并掌握了一定的分析問題與解決問題的方法提高了我們的思維能力出本章的知識框圖，由此進入復習．思路2.(問題導入)本章學習了幾個公式？推導這些公式的過程中你用到了哪些基本數學思想方法？你是從哪幾個基本方面認識三角函數式的特點的？它們之間存在著怎樣的邏輯關系？三角式的變換與代數式的變換有什么相同點？有什么不同點？分析三角函數式的特點對提高三角恒等變換的能力有什么幫助？通過學生解決這些問題展開全章的復習．推進新知識鞏本章的公式關系見下表和和差正、余弦公和差正切公二倍角公萬能公cos(α－βcosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝sin2ααcosαcosβsinαsinβsin(α＋β)＝tan(α＋βtanα＋tanβ1－tanαtan(α－βtanα－tanβ1＋tanα2sinαtan2cos2α＝cosα＝2cos2α2sinα 2cosα2sinαcosβtanα cosαsin(α－βsinαcosβ－cosαsinβ運算能力教師與學生一起歸納總結常見的變換有()公式變換tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(－tanαtanβtanαtanβ＝－tanαtanα

tanα α，＝tantan α＋cos2α＝2cos2αcos2α＝2sin2α(2)α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β＝ π π－π＝

)π ππ－α； ＝ (還需熟練； ＝ ( 如：sinx±cosx＝2sin(x±)，sinx±3cosx＝2sin(x±3)等(2應用示例()化簡(2)已知

sin2αcosα－sinα的值為銳角，且

＝

sin2α2(1(2解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－ tan30°－A＋tan60°－A1－tan30°－Atan60°－A，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)sn 2cos2α2snαcosαsn 2cos2α2snαcosα

(2)

2snαcosα

＝2cosαcos2α

α＝cosαsn2α＋cos2α2cosα.∵tan＝

＝

2sn2αcosα－sn2 sn2α 歸等數學思想方法．2α、ββ的值．

)，且3s

β＝sn(2α

)，tan2

2α，求α＋活動：本題屬于給值求角，綜合性強，有一定的難度，教師應在學生探究中適時給予當的點撥把所求的角用含已知其值的角的式子表示由所求的函數值結合該函數的單調構成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函數值結合該函數的單調區間求得解：∵3sin[(α＋β

＝sin[(α＋β

，3sin(α＋β)cosα－3cos(αβ)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，sin(α＋β)cosα＝2cos(αβ)sinα2tanα

、β

＋βπ.∴cos(α＋β)≠0，cosα≠0.∴tan(α＋β<α<α由tan

＝－tan2α2

tan2

＝，即得2tanα＝.代入tan(α＋β)＝2tanα，得tan(α

β π)＝0<＋2，∴＋點評：例題已知

思路2θ－sinθcosθ－sin2θ＝0tanθ和sin(2θπ)的值．

∈(2

也可運用方程的思想，通過換元先解一個一元二次方程，還可以運用三角函數的定義來解解：∵2cos2θ－sinθcosθ－sin2θ∴cosθ≠0.∴上式兩邊同除以cos2θtan2θ＋tanθ解得n

π)，∴舍去nθ＝1＝－22

sθ (2s2θ sθ＋ sin2θ＋ sθ＋ sin2θ＋s2θ2

＋

sin ＝

—

＝nθ＋ ＝－＋n2θ＋1 點評：三角函數的解法多樣，教師應鼓勵學生一題多解，如本題中，可由方程ì?sinθ＝－2sθ??ísin2θ＋s2θ 解得sinθ、sθ的值，再代入得解，也是一種不錯的思?變式訓已知函數f(x)＝sin2x＋2sinx s2x，x∈，求(1)f(xx取值集合(2)函數f(x)的單調增區間1－

1＋解：(1)方法一

πs2x＝2＋2sin(2x＋2 22x＋＝2k＋2，即x＝k＋(k∈時，f(x)取得最大值πππ因此，f(x)取得最大值時自變量x的取值集合是xx＝k＋，k∈方法二：∵f(x)＝(sin2x＋s2x)＋sin2x＋2＋s2＋ ＋2 2∴當2x＋＝2k2，即x＝k＋(k∈時，f(x)取得最大值πππ因此，f(x)取得最大值時自變量x的取值集合是xx＝k＋，k∈π(2)f(x)＝2＋2sin(2x＋ π 由題意，得2k－2≤2x＋≤2k＋2(k∈)，即k ≤x≤k＋(k∈，k＋](k∈因此，f(x)的單調增區間是kπ－ ，k＋](k∈知能訓課本復習題作課本復習題5、6、7.設計感備課資一、三角函數式的化簡、求值與證化簡三角函數式是為了更清楚地顯示式中所含量之間的關系要認真分析，合理轉化，避免盲目性．求值可分為給角求值給值求值給值求角三部分給角求值的關鍵是正確地選用公式二、備用習．函數＝ 的最小正周期是( ． ．．函數＝ 的最大值是 ． ．－∈(．若 π θ＝， θ θ的值為∈(．函數 的單調遞減區間是—，k．k π ．kπ＋π，kπ＋π—，kπ．kπ．k —，k

．kπ＋π，kπ＋π．求函數

1－sinx的值域6．化簡(x＝cos2x＋cos2(60°＋xcos2(120°＋x

2sinx．解

1－sinx

1－sinx

＝2sinx(1＋sinx12 12∴y＝2sin 212令t＝sinx，則t∈[－11 1∴當t∈[－11時，y∈[，421＋cos2x1＋cos 1＋cos6．解：(x 1＝＋[cos2x－cos(60°－2x2 ＝＋[cos2x－ sin2x－ 2

(設計者：鄭吉2導入新1(直接導入思路2問題導入教師開始就提出以下問題讓學生探究(1不查表求

β＜α＜π，cos(α cos20°cos80°的值．(2已知2

＝，sin(＋β＝－，求sin2α的值．學生專心解決問題的探究過程就已展開了新課．知識鞏教師打出幻燈，根據上節復習的知識方法，請解答以下一組考試題．設α、β為鈍角， α β

0，則α＋β的值π ππ或α已知＝( α－ α，00，＝( α＋ α，且∥則 α－α．－．∈( ．已知 π α＝， ( π等于∈( ． ．若α、

β ，(α－β＝－， (α＋β的—等 ——．已 (π＋θ (π－θ＝，且－π — θ θ－θ的值活動：由學生自己獨立完成，對找不到思路的學生教師可給予適時的點撥，上述都是00、00年的高考或模擬題．從中可看出，三角函數的化簡、求值及恒等式的證明答案 注意選用α＋β的余弦． 倍角公式化單角來解決．π— 利用同角三角函數的基本關系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解決π— β 先確定角的范圍

，可得 πα

α

2π，cos(α＋β ＝－1

—2)－(2

)＝，＋．解：由n(π＋θ)＋nπ－θ)＝sinπ

sinπ

sinπ ＋ ＋ ＝cosθ＝π∵－π

π2—22

cos2θ2∴cosθ＝－2.應用示

，sinθ＝－1，sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ

232－2 π

思路1cos(－x)＝

， 1＋ (決問題的突破口．如轉化為已知一個 －x)的三角函數值，求這個角的其余三角函數(( (

2sinxcosx－sinxcosxsin2x解 1＋

1－1＋＝sin2x1－1＋

－x)＝cos(

－2x)n(

2 ＝2cos(－x)－1 π ，∴－1

π－x－π.又∵cos(

－x)＝－

－x)＝，n(－x)＝－.∴原式2

－1)3(－ 1點評：在解答某些三角函數的求值問題時，要能夠合理地利用公式，引導學生觀察角1變式訓變式訓已知cosα－sα 2(11s2cosαπ的值(2若函數＝ 的圖象關于直線＝對稱，且(－1＝20，試求 值解：(1由已知cosα－sα ，得cos(α 2π又因為s2α＝－cosπ(＝1－2cos2(α ＝π2所以1s2cosαπ＝(2由題意，函數 的圖象關于直線＝對稱因此＋＝－所以 ＝ ＝(＋＝(－＝(－1＝2已知s22α＋s2

∈(0，

，求sα α的值活動：本題是2002鼓勵學生一題多解解答本題常出現的失誤有：(1記錯三角公式如“cos2α＝2s－1”(2sα的四次方程，造成運算煩瑣，或不能得到結果(用一個算式去除等式兩邊時，未先確認這個算式不等于零，推理不嚴密(恒等變形中，移項時符號出錯或合并同類項時系數出錯，導解題結果錯誤．可以此來檢查學生的掌握程度．解：方法一：由倍角公式，s2α＝2sαcosα，cos2α＝2cos2α－1，s2αcos2α＋2sαcos2α－2cos2α＝0?2cos2α(2s2α＋sα－10?

π)，∴sinα＋1≠0，cos2α∈(0，－1＝0＝＝＝. ∈(0，－1＝0＝＝＝. 方法二：由題設得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，即(sin2α＋2cosα－cosα ∈(0，2)，∴sin2＋2cos≠0.∴sin2

－1＝0，即＝＝＝. －1＝0，即＝＝＝. 方法三：由題設得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，將其看成關于sin2α的一二次方程sin2α

－cosα±cos2α＋

－cosα±3cosα，∴sin2α＝－2cosαsin2α＝cosα

∈(0，2

(以下同方法二點評：本題是考查三角函數的綜合題，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函數關變式訓變式訓已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，απ，π)，?b(＝2求2sin2α－cosαπ的值α2解：∵＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝2cos2α－1＋2sin2α＝1－sinα＝2∴sinα＝.又∵α2，π)，∴cosα＝－.∴cos(α＋)＝103ππ22sin2α－απ333∴ ＋α＝2—＝－103已知函數＝2asin2為－1，求常數a、b的值．

π－23asincosa＋b(a≠0)的定義域為02，值a＝asin＋cosxy＝asin＋cos＝a2＋sin(＋φ)，其中anφ＝，需引起學生的高度重視．首先通的影響，可讓學生獨立探究，教師適時點撥．a解(x)＝a(1－cos2x)－asin2x＋a＝－a(cos2x＋＋＝－2asin(2x)＋2a＋＋ ∵x∈[0，2]，∴2x＋∈[

]．∴－2

因此，由(x)的值域為[－1]，可ìa

ìaíí íí－2a3－ ＋2a ?－2a3

＋2a＋＝－

或 已知a，是兩個向量，且 cosx)，＝(cos2x，sinx)，x∈，定義：y?(1)求yxy＝(x)(2)若，π]，求函數y＝(x)x解 cosx)，? ＋π)2 ＋π12單調遞增區間是[kπ－，kπ＋](k∈ππ(2)由，ππ——π2π—12πcos(2x－∴f(x)∴f(x)in＝，此時＝ππ＝，此時2＝＋，例已知n( π ＋，

思路απ nα的值；(2

sin2α 2sinα－學生給予指導點撥解：()由n(

παπ＋nα

，解之，得nα＋sin2α

)＝－ 2sinαcosα

—n

2sinα－

sinα ＝2cosα∵παπ，且nα＝－，∴cosα＝－ ∵解答過程簡潔流變變式訓cosπ已知α為第二象限角sinα＝，2的值sin2α＋π解：∵sin(2α＋π)＝sinπ＋(2π＋2α)＝cos(2π＋2α)＝cos2α22cosπcoscosα＋sinππ∴原式＝2α＋π＝2