凸函數1．證明下列函數為凸函數(1)一元函數 (2.5.1)其中，。(2)定義在上的幾何平均函數 (2.5.2)略。2．已知函數為定義在上的凸函數，函數 (2.5.3)證明：函數為上的凸函數．要證明函數f(x)=eg(x)-1是定義在Rn上的凸函數，需要判斷其二階導數是否非負。首先計算f(x)的一階和二階導數：f'(x)=8egzf"(a)=64egz由于函數s(x)是定義在Rn上的凸函數，即s"(x)≥0對于所有x∈R成立。現在我們來研究函數f"(x)的符號。對于所有x∈R,有cgr>0。因此，f"(x)=64egx>0,即二階導數恒大于零。根據凸函數的定義，如果一個函數的二階導數恒大于等于零，則該函數是凸函數。因此，函數f(x)是定義在Rn上的凸函數。3．已知二元函數為處處有限的凸函數，設一元函數定義為 (2.5.4)證明：函數為凸函數。根據式子(2.5.4),我們有：g(x)=infyf(x這表示g(x)是函數f(z,y)在變量y上的下確界。由于f(x,y)是處處有限的凸函數，那么對于固定的x,函數f(x,y)關于y是凸函數。因此，對于任意的x1,x2和0≤θ≤1,我們有：f(x1,y)≥θf(x1,y)+(1-θ)f(x2,y)取y1為使得θf(x1,y1)+(1-θ)f(x2,y1)達到下確界g(x1)的值，即θf(x1,y1)+(1-θ)f(x2,y1)=g(x1)。同樣，取y2為使得θf(x1,y2)+(1-θ)f(x2,y2)達到下確界g(x2)的值，即θf(x1,32)+(1-θ)f(x2,y2)=g(x2)。由于f(x,y)是凸函數，我們有：f(θx1+(1-θ)x2,θy1+(1-θ)y2)≤θf(x1,y1)+(1-θ)f(x2,y2)取下確界得到：9(θx1+(1-θ)x2)≤θg(x1)+(1-θ)g(x2)因此，函數g(x)是凸函數。4．設函數為凸函數，證明函數的下卷積函數 (2.5.5)為凸函數。要證明函數f(x)是凸函數，我們需要證明對于任意的x1,x2和0≤θ≤1,有f(θx1+(1-θ)x2)≤θf(x1)+(1-θ)f(x2)。首先，我們來研究函數f(x)的定義。根據式子(2.5.5),我們有：f(x)=(f1*f2)(x)-inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+2=x}這表示f(x)是函數f1(a1)+f2(x2)取下確界(infimum)時的差值。由于f1和f2均為凸函數，我們知道對于任意的x1,x2和0≤θ≤1,有：f1(θx1+(1-θ)x2)≤θfi(x1)+(1-θ)f1(x2)f2(θx1+(1-θ)x2)≤θf2(x1)+(1-θ)f2(x2)對于第一項(f1*f2)(x),我們可以使用Jensen不等式來處理。由于f1和f2均為凸函數，我們有：(f1*f2)(θx1+(1-θ)x2)≤θ(f1*f2)(x1)+(1-θ)(f1*f2)(x2)現在，我們來研究第二項inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=x}。我們要證明：inf{f1(θx1+(1-θ)x2)+f2(θx1+(1-θ)x2)|z1+x2=θx1+(1-θ)x2}≥θinf{f1(x1)+f2(x2)|c1+x2=x1}+(1-θ)inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+2=2}也就是要證明：inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=x}≥θinf{f(x1)+f2(x2)|x1+x2=x1}+(1-θ)inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=2}根據下確界的性質，左邊的下確界大于等于右邊的下確界，因此上述不等式成立。綜上所述，我們得到：f(θx1+(1-θ)x2)=(f1*f2)(θx1+(1-θ)x2)-inf{f1(θx1+(1-θ)x2)+f2(θx1+(1-θ)x2)|x1+x2=θx1+(1-θ)x2}≤θ(f1*f2)(a1)+(1-θ)(f1*f2)(a2)-θinf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=x1}-(1-θ)inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x=x2}進一步化簡得到：≤θ[(f1*f2)(x1)-inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=x1}]+(1-θ)[(f1*f2)(x2)-inf{f1(x1)+f2(x2)|x1+x2=x2}]根據函數f(x)的定義，可以將上述不等式進一步簡化為：=θf(x1)+(1-θ)f(x2)因此，我們證明了對于任意的x1,x2和0≤θ≤1,有f(θx1+(1-θ)x2)≤θf(x1)+(1-θ)f(x2)。因此，函數f(x)是凸函數。凸性的二階條件。設函數，其中是中的凸集合且是開集，函數二階連續可微．證明：是集合上的凸函數當且僅當對任意的，半正定。略。6．分片線性凸函數的表示。函數，其定義域為，被稱為分片線性函數，如果存在的一個劃分 (2.5.6)其中，且對任意，intint；以及一系列仿射函數使得對有，證明若是凸函數，有。略。7．函數的凸包。函數的凸包(或凸包絡)定義為 (2.5.7)幾何上，函數的上圖是的上圖的凸包。證明如果函數是凸函數，且對所有有，則對所有有。略。8．推導下列函數的共軛函數。(a)二次函數， (2.5.8)其中為階對稱正定矩陣，，(b)一元函數 (2.5.9)(c)函數， (2.5.10)(d)定義在上的冪函數，其中。如果呢？略。設為非空凸集合，距離函數，設函數，，證明：，其中，表示函數的下卷積函數，并求的共軛函數．的共軛函數為10．給定函數，其定義域為。證明的共軛函數為 (2.5.11)提示：函數的梯度為。略。11．集合的支撐函數我們知道集合的支撐函數定義為。在前文我們曾證明是凸函數。(a)凸集合為平面上-范數對應的1-范數單位圓： (2.5.12)計算支撐函數。(b)證明。(c)證明。(d)證明。(e)設是閉凸集。證明的充要條件是，對任意有 (2.5.13)略。12．已知凸集合，為集合上的指示函數，，二元函數定義為 (2.5.14)設函數是由生成的正齊次凸函數，即。該正齊次凸函數稱為對應于凸集合的度規函數，計算度規函數。略。13．計算下列函數的處的次微分：(1) (2.5.15)(2) (2.5.16)(3) (2.5.17)(4)