第55講空間角與距離的計算（2）空間角與距離的計算eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(探索性問題\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(探點得位置關系,探點得角)),最值問題))1、【2021年甲卷理科】已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?2、【2020年新高考1卷（山東卷）】如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．1、（2022·河北深州市中學高三期末）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，，.（1）證明：平面平面；（2），分別是，的中點，是線段上的動點，若二面角的平面角的大小為，試確定點的位置.2、(2022·青島二模)如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑AB＝4，母線PH＝2eq\r(2)，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形．(1)設平面POH∩平面PBC＝l，求證：l∥BC；(2)設D為OH的中點，N是線段CD上的一個點，當MN與平面PAB所成的角最大時，求MN的長．考向一利用空間向量解決探索性問題例1、（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，點P在底面的射影為點O，且，點M是的中點．(1)求證：；(2)在線段上，是否存在點N，使二面角的余弦值為？若存在，請確定點N的位置，若不存在，請說明理由．變式1、（2022年河北省衡水中學高三模擬試卷）如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為的正方形，點在底面上的射影為底面的中心，點在棱上，且的面積為1.（1）若點是的中點，證明：平面平面；（2）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.變式2、(2022·湖南長沙縣第一中學模擬)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，且AC＝AB＝AA1＝2.(1)求證：A1B⊥B1C；(2)M，N分別為棱CC1，BC的中點，點P在線段A1B1上，是否存在點P，使平面PMN與平面ABC所成角的余弦值為eq\f(4\r(21),21)，若存在，試確定點P的位置；若不存在，請說明理由．方法總結：用向量法解決與垂直、平行有關的探索性問題的方法：(1)根據題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，并用向量表示出來，然后再加以證明，得出結論．(2)假設所求的點或參數存在，并用相關參數表示相關點，根據線、面滿足的垂直、平行關系，構建方程(組)求解，若能求出參數的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在．考向二運用向量研究空間距離例2、（2022年福建省福州市高三模擬試卷）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PAB是邊長為2的等邊三角形．梯形ABCD滿足BC＝CD＝1，AB∥CD，AB⊥BC．（1）求證：PD⊥AB；（2）若PD＝2，求點D到平面PBC的距離．變式1、如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq\r(3)，求點A到平面MBC的距離．方法總結：(1)作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離．(2)等體積法．(3)向量法．其中向量法在易建立空間直角坐標系的規則圖形中較簡便．考向三運用向量研究最值問題例3、如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E分別為AC，AB的中點，沿DE將△ADE折起，得到如圖所示的四棱錐A′BCDE.(1)在棱A′B上找一點F，使EF∥平面A′CD；(2)當四棱錐A′BCDE的體積取最大值時，求平面A′CD與平面A′BE所成角的余弦值．變式1、（2022·廣東東莞·高三期末）如圖，在正四棱錐中，點，分別是，中點，點是上的一點.（1）證明：；（2）若四棱錐的所有棱長為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值..方法總結:建立關于角距離等所求的函數的關系式，然后運用基本不等式或者求導進行研究。1、（2022·山東青島·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為的中點，.（1）求證：平面平面；（2）求點A到平面的距離.2、（2022年廣州第十七中學高三模擬試卷）如圖所示，在梯形ABCD中，，四邊形ACFE為矩形，且平面，．（1）求證：平面BCF；（2）點M在線段EF上運動，當點M在什么位置時，平面MAB與平面FCB所成的銳二面角的正弦值為．3、（惠州市高三期末試題）如圖，是以為直徑的圓上異于的點，平面平面，，，分別是的中點，記平面與平面的交線為直線.（1）求證：直線平面；（2）直線上是否存在點，使直線分別與平面，直線所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.4、（江門市高三期末試卷）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，且，，，．(1)求證：；(2)在線段PD上是否存在一點M，使二面角的余弦值為？若存在，求三棱錐體積；若不存在，請說明理由．5、（2023·江蘇泰州