北師版八年級下冊直角三角形（第2課時）第一章三角形的證明

設矩形的對角線AC與BD的交點為O，那么BO是直角△ABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有什么大小關系？ABCDOABCO定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半∵∠ABC=90°，OA=OC∴AC=2BO

或OA=OB=OC講授新課特殊的直角三角形的性質:1.在直角三角形中,如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.2.在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300.講授新課如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角.三角形中相等的邊所對的角相等.三角形中相等角的所對的邊相等.直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.勾股定理：勾股定理逆定理：講授新課從前有一天，一個醉漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框寬4尺，豎著比門框高2尺.另一個醉漢教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個醉漢一試，不多不少剛好進去了.知道竹竿有多長嗎？請根據這一問題列出方程.（只列不解）問題討論講授新課直角三角形全等的判定定理及其三種語言定理:斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(斜邊,直角邊或HL).如圖,在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,∵AC=A′C′,AB=A′B′(已知),∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).ABCA′B′C′講授新課用三角尺作角平分線再過點M作OA的垂線,如圖:在已知∠AOB的兩邊OA,OB上分別取點M,N,使OM=ON;過點N作OB的垂線,兩垂線交于點P,那么射線OP就是∠AOB的平分線.請你證明OP平分∠AOB.ABO●●●PMN已知:如圖,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON.求證:∠AOP=∠BOP.先把它轉化為一個純數學問題:講授新課如圖,已知∠ACB=∠BDA=900,要使△ABC≌△BDA,還需要什么條件?把它們分別寫出來.增加AC=BD;ABCD增加BC=AD;增加∠ABC=∠BAD;增加∠CAB=∠DBA;你能分別寫出它們的證明過程嗎?若AD,BC相交于點O,圖中還有全等的三角形嗎?O你能寫出圖中所有相等的線段,相等的角嗎?你能分別寫出它們的證明過程嗎?講授新課定理1直角三角形的兩個銳角互余.定理2在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.定理3在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.定理4直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半特殊圖形直角三角形的性質講授新課命題:在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300.是真命題嗎?如果是,請你證明它.300ABC已知:如圖,△ABC,∠ACB=900,BC=AB/2.求證:∠A=300.講授新課∵∠ACB=900,CD=BC(已知)∴AB=AD(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等)又∵BC=AB/2(已知),BC=BD/2(作圖),∴AB=BD(等量代換).∴AB=BD=AD(等式性質）.∴△ABD是等邊三角形(等邊三角形意義)∴∠B=600(等邊三角形意義).∴∠A=300(直角三角形兩銳角互余).ABCD證明:延長BC至D,使CD=BC,連接AD.講授新課這是一個通過線段之間的關系來判定一個角的具體度數(300)的根據之一.定理:在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300.在△ABC中∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),∴∠A=300(在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300).ABC300講授新課1.如圖(1):四邊形ABCD是一張正方形紙片,E,F分別是AB,CD的中點,沿著過點D的折痕將A角翻折,使得A落在EF上(如圖(2)),折痕交AE于點G,那么∠ADG等于多少度?你能證明你的結論嗎?DACBEFDACBEF(1)(2)GA鞏固提高DACBEF(2)GA1證明:∵DF=DC/2(中點意義),A1D=AD=CD(正方形各邊都相等)∴DF=A1D/2(等量代換).∴∠DA1F=300(在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300).又∵AD∥EF∴∠A1DA=∠DA1F=300(兩直線平行,內錯角相等).∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分線意義).●●300鞏固提高直角三角形全等的判定定理:定理:斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(斜邊,直角邊或HL).公理:三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）.公理:兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）.公理:兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）.推論:兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（AAS）.綜上所述,直角三角形全等的判定條件可歸納為:一邊及一個銳角對應相等的兩個直角三角形全等;兩邊對應相等的兩個直角三角形全等;課后小結1.已知:如圖,D是△ABC的BC邊上的中點,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分別為E,F,且DE=DF.求證:△ABC是等腰三角形.分析:要證明△ABC是等腰三角形,就需要證明AB=AC;進而需要證明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;而△BDF≌△CDE的條件:從而需要證明∠B=∠C;BD=CD,DF=DE均為已知.因此,△ABC是等腰三角形可證.DBCAFE課后練習2.已知:如圖,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分別為E,F,DE=BF.求證:(1)AE=AF;(2)AB∥CD.

老師期望:請將證明過程規范化書寫出來.

BCAEDF分析:(1)要證明AE=CF,由此AE=CF可證.需要證明內錯角∠A=∠C;而由△ABF≌△CDE可得證.(2)要證明AB∥CD,由已知條件,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,DE=BF.可證得△ABF≌△CDE,從而可得AF=CE.課后練習第一章

三角形的證明直角三角形第1課時

知識回顧①直角三角形的兩個銳角互余.問題1直角三角形的定義是什么？問題2三角形內角和的性質是什么？有一個是直角的三角形叫直角三角形.三角形內角和等于180°.問題3前面我們探究過直角三角形的哪些性質？②在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.③在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.你能證明這兩個結論嗎？獲取新知知識點一：直角三角形中的角的關系想一想(1) 直角三角形的兩個銳角有怎樣的關系？為什么？如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎？為什么？定理直角三角形的兩個銳角互余.定理有兩個角互余的三角形是直角三角形.知識點：三角形內角和，你能行的你來給出完整的證明過程吧，試一試例題講解例1

如圖，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于點D，AE為∠BAC的平分線，求∠DAE的度數．解：由題意可知，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.∵AE為∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝40°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.知識點二：直角三角形的邊的關系獲取新知勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.ACB關于勾股定理的證明，可以欣賞“16頁的讀一讀”，并可以上網搜索，諸如美國第二十任總統的證法、趙爽弦圖法等如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形．勾股定理反過來，怎么敘述呢？這個命題是真命題嗎？為什么？已知：如圖，在△ABC中，AB2+AC2=BC2.求證：△ABC是直角三角形.證明：如圖(2)，作Rt△A′B′C′

，使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,則A′B′

2＋A′C′2

＝B′C′2（勾股定理）.∵AB2＋AC2＝BC2

，∴BC2

＝B′C′2.∴BC＝B′C′.∴△ABC≌

△A′B′C′

(SSS).∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的對應角相等）.因此，△ABC是直角三角形.例題講解例2

已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC邊上的中線AD＝12cm.求證：AB＝AC.解：如圖，因為AD是BC邊上的中線，所以BD＝

BC＝×10＝5(cm)．在△ABD中，∵AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm，∴AB2＝AD2＋BD2.∴△ABD為直角三角形．所以AD⊥BC.在Rt△ADC中，AC＝

＝13(cm)，所以AB＝AC.獲取新知知識點三：逆命題與逆定理議一議：觀察上面第一個定理和第二個定理，它們的條件和結論之間有怎樣的關系？第三個定理和第四個定理呢？定理：直角三角形的兩個銳角互余.定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形.定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.條件和結論互換了位置

在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.

如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它的逆命題.命題“兩直線平行，內錯角相等”的條件和結論為：條件為：兩直線平行.結論為：內錯角相等．因此它的逆命題為：原命題都存在逆命題，但是互逆命題的真假無法保證

如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理.注意1：逆命題、互逆命題不一定是真命題，但逆定理、互逆定理，一定是真命題.注意2：不是所有的定理都有逆定理.定理“兩直線平行，內錯角相等”逆定理：“內錯角相等，兩直線平行”例題講解例3

指出下列命題的條件和結論，并說出它們的逆命題.(1)一個三角形中相等的邊所對的角相等；(2)等邊三角形的每個角都等于60°；(3)全等三角形的對應角相等.解：(1)條件：一個三角形有兩條邊是相等的結論：這兩條邊所對的角也是相等的.

逆命題：一個三角形中相等的角所對的邊相等.(2)條件：一個三角形是等邊三角形.結論：它的每個角都等于60°.

逆命題：如果一個三角形的每個角都等于60°，那么這個三角形是等邊三角形.(3)條件：兩個三角形是全等三角形.結論：它們的對應角相等

逆命題：對應角相等的兩個三角形全等.隨堂演練1.在一個直角三角形中,有一個銳角等于35°,則另一個銳角的度數是(

)A.75° B.65° C.55° D.45°B2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,點D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=，則BC的長為()D3.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別記為a,b,c,由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是(

)A.∠A+∠B=∠CB.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3C.a2=c2-b2D.a∶b∶c=3∶4∶6D4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC,交BC于點D,DE⊥AB,垂足為E,則∠ADE的度數是

.5.直角三角形的兩邊長為4和5,則第三邊長為

.60°6.如圖所示,在△ABC中,AD是