初中數學建模思想的策略研究

勵?？h布朗山鄉九年制學校 雷鑫一.什么是數學建模？1.1數學建模(MathematicalModeling)是建立數學模型并用它解決問題這一過程的簡稱，有代表的定義如下：(1)、普通高中數學課程標準［4］中認為，數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經成為不同層次數學教育的重要內容和基本內容 ^(2)、葉其孝在《數學建模教學活動與大學數學教育改革》一書中認為 ，數學建模(MathematicalModeling) 就是應用建立數學模型來解決各種實際問題的方法，也就是通過對實際問題的抽象、簡化，確定變量和參數，并應用某些“規律”建立起變量、參數間的確定的數學問題(也可稱為一個數學模型)，求解該數學問題，解釋、驗證所得到的解，從而確定能否用于解決實際問題的多次循環、不斷深化的過程。兩種定義的區別在于課程標準對數學建模的定義沒有強調建立特定的解決問題的數學模型。數學建模的過程中當然會運用數學思想、方法和知識解決實際問題，但僅僅如此很難稱得上是“數學建?！薄Ｌ幚砗芏嗍虑?，比如法律和組織上的問題，常常會用到分類討論的思想、轉化的思想、類比的思想，而并沒有建立數學模型，這就不能說是進行了數學建模。這里所談(實際上，同大部分人認為的一樣)的數學建模，其過程是要建立具體的數學模型的。什么是數學模型？根據徐利治先生在《數學方法論選講》一書中所談到， 所謂“數學模型"(MathematicModel)是一個含義很廣的概念，粗略的講，數學模型是指參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表達出來的一個數學結構。廣義的說，一切數學概念、數學理論體系、數學公式、數學方程以及由之構成的算法系統都可以稱為數學模型；狹義的解釋，只有那些反應特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構才叫數學模型。本論文所談到的數學建模，其過程一定是建立了一定的數學結構。另外，我們所談的數學建模主要側重于解決非數學領域內的問題。這類問題往往來自于日常生活、經濟、工程、醫學等其他領域，呈現“原胚”狀態，需要分析、假設、抽象等加工，才能找出其隱含的數學關系結構。一般地，數學建模的過程可用下面的框圖表示：1.2什么是中學數學建模？這里的“中學數學建?！庇袃芍睾x，一是按數學意義上的理解、在中學中做的數學建模。主要指基于中學范圍內的數學知識所進行的建模活動，同其它數學建模一樣，它仍以現實世界的具體問題為解決對象，但要求運用的數學知識在中學生認知水平內，專業知識不能要求太高，并且要有一定的趣味性和教學價值。二是按課程意義理解，它是本文要展開討論的，一種要在中學中實施的特殊的課程形態。它是一種以“問題引領、操作實踐”為特征的活動型課程。學生要通過經歷建模特有的過程，真實地解決一個實際問題，由此積累做數學、學數學、用數學的經驗，提升對數學及其價值的認識。其設置目的是希望通過教師對數學建模有目標、有層次的教與學的設計和指導，影響學生的學習過程，改變傳統的學習方式，實現激發學生自主思考，促進學生合作交流，提高學生學習興趣，發展學生創新精神，培養學生應用意識和應用數學的能力，最終使學生提升適應現代社會要求的可持續發展的素養。二.《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》有關數學建模的內容教育部新啟動的《義務教育階段數學課程標準》的修訂中，東北師大史寧中校長提議，將原來的“雙基”增加到“四基”，增加了“基本數學活動經驗和基本數學思想”?；净顒咏涷炇侵笇W生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗。 另外，《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》在“數與代數”的內容中提出了“要初步形成模型思想”，對“綜合與實踐”部分內容加以明確并提供了具體課例。上述變化正是課標對培養學生數學應用能力的應措。相比數學建模，綜合與實踐部分是學習數學建模的最初階段，因此內容包含的更加基本、廣泛，下面我們將分別介紹全日制義務教育數學課程標準（修改稿）提出的“模型思想”，“綜合與實踐”的內容，以及內容在實驗稿基礎上的變化，最后在通過實例來說明綜合與實踐部分的學習內容。（1）模型思想2007年12初全日制義務教育數學課程標準（修改稿）提出 在“數與代數”的教學中，應幫助學生建立數感和符號意識，發展運算能力和推理能力，初步形成模型思想。 模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識?！熬C合與實踐”部分與實驗稿相比有如下變化:目的和內涵進一步明確，統一了名稱，給出了明確的定義：”綜合與實踐”，是一類以問題為載體，學生主動參與的學習活動，是幫助學生積累數學活動經驗、培養學生應用意識與創新意識的重要途徑。針對問題情境，學生綜合所學的知識和生活經驗，獨立思考或與他人合作，經歷發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的全過程，感悟數學各部分內容之間、數學與生活實際之間、數學與其他學科之間的聯系，加深對所學數學內容的理解。明確要求“綜合與實踐”應當保證每學期至少一次。 三個學段“綜合與實踐”的要求和教學目標有了差異。(3)“綜合與實踐”的常用教學形式和案例按照教學內容不同，“綜合與實踐”可以分為三種內容形式：體現數學知識內部聯系；體現數學與生活聯系；體現數學與其它學科聯系。若按照活動開展的地點不同，可以分為課堂內、課堂內外結合、課堂外三種形式。為了配合課程標準的編制和修改，我和北大附中、北達資源中學的老師們做了不少課例研究，以下就是我們試驗過的，對應這三種形式的教學案例。三.新高中數學課程標準中與數學建模相關的部分新高中數學課程標準在研制過程中，對是否增加數學建模的要求是有爭議的。一些專家認為，中學數學是打基礎的階段，核心是學好將來需要的基礎知識，應用不必強調，強調了也沒有用一一在大躍進時期我們曾強調過“理論聯系實際”，文革中我們的教學內容里加入了類似“三機一泵”，地主如何算“變天帳”一類的內容，弱化了基礎理論的學習，效果是不好的。但一批數學家深刻注意到了數學的發展和變化，姜伯駒、李大潛、丁石孫、葉其孝等先生都分別撰文闡明在中學培養學生數學應用能力的重要性。我們多年開展中學數學建模競賽和中學數學建模教學的實踐也證明了，數學建模對培養中學生應用能力的良好作用。種種努力，使數學建模最終成為新高中數學標準中規定的高中數學內容的一部分。新高中數學標準在基本理念的第5條即是發展學生的數學應用意識，認為高中數學課程應提供基本內容的實際背景，反映數學的應用價值，開展“數學建?！钡膶W習活動，設立體現數學某些重要應用的專題課程。高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。由此在數學內容中特別加入了：數學探究、數學建模。這些內容不單獨設置，滲透在每個模塊或專題中。標準要求高中階段至少各應安排一次較為完整的數學探究、數學建?；顒?。(1)數學探究與前面所說的探究性學習、課題學習稍有區別，標準中所提出的數學探究側重于圍繞一個數學問題展開，被看做是一種新的學習方式。數學探究即數學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程。這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明。數學探究是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程，初步理解直觀和嚴謹的關系，初步嘗試數學研究的過程，體驗創造的激情，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神；有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養學生發現、提出、解決數學問題的能力；有助于發展學生的創新意識和實踐能力。(2)數學建模這里標準中談到的數學建模，內容即是一般意義上的數學建模。數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經成為不同層次數學教育重要和基本的內容。數學建模可以通過以下框圖體現：數學建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力。課程標準提出的教學要求是：.在數學建模中，問題是關鍵。數學建模的問題應是多樣的，應來自于學生的日常生活、現實世界、其他學科等多方面。同時，解決問題所涉及的知識、思想、方法應與高中數學課程內容有聯系。.通過數學建模，學生將了解和經歷上述框圖所表示的解決實際問題的全過程，體驗數學與日常生活及其他學科的聯系，感受數學的實用價值，增強應用意識，提高實踐能力。.每一個學生可以根據自己的生活經驗發現并提出問題，對同樣的問題，可以發揮自己的特長和個性，從不同的角度、層次探索解決的方法，從而獲得綜合運用知識和方法解決實際問題的經驗，發展創新意識。.學生在發現和解決問題的過程中，應學會通過查詢資料等手段獲取信息。.學生在數學建模中應采取各種合作方式解決問題，養成與人交流的習慣，并獲得良好的情感體驗。.高中階段至少應為學生安排1次數學建?；顒?。還應將課內與課外有機地結合起來，把數學建?；顒优c綜合實踐活動有機地結合起來。標準未對數學建模的課時和內容做具體安排。學校和教師可根據各自的實際情況，統籌安排數學建?；顒拥膬热莺蜁r間。例如，可以結合統計、線性規劃、數列等內容安排數學建?；顒?。與傳統應用題相比，數學建模所解決的問題往往呈現一種“混沌”狀態，沒有明顯的數據和關系可用，所給的條件也不一定有用，得出的結論往往不唯一，建立的數學模型也要在實踐中反復修改驗證，由于具有這些特點，數學建模是學習“數學應用”的最佳方式之一,能讓學生更好地體驗數學是怎樣運用于實際的過程，形成他們的數學經驗。四，初中數學建模的若干簡要案例初中數學建模學習案例1:---- 與自行車有關的問題（小組學習實踐）課題：了解自行車中的數學問題，應用學過的數學知識，解決以下問題。問題1:用自己或同學的一輛自行車為觀察對象，觀察并解決下列問題:（1）我觀察的這輛自行車是什么牌子的?（2）它的直徑是cm,輪子轉動一周，在地面走過的距離是cm,精確至ij1cm。（3）自行車中軸的大齒輪盤的齒數是 齒，后軸的小齒輪（飛輪）的齒數是,中軸的大齒輪被踏動一周時，后軸的小齒輪在鏈條傳動下，不計算慣Tt將轉動 周（保留2位小數）。問題2:如果你有自行車，并騎車上學，你能借助于自行車，測量出從你的家到學校的路程嗎？請你設計一個測量方案，并盡可能地通過實際操作測量出從你的家到學校的路程。問題3:如果你的（或你的朋友）自行車是可以變速的自行車（如山地車、多飛輪的自行車）、請你觀察一下在這輛自行車上有幾個（中軸上的）大輪盤，幾個飛輪，它們都各有多少齒？記錄這些數據。如果你騎車時每一秒腳蹬一圈，請你根據上面測量的數據計算出這輛自行車運行時最大的速度和最小的速度各是每小時多少公里？：選做問題4:你認為對問題3中的自行車的各個齒輪的齒數安排的合理嗎？你能發現或提出什么樣的問題？如果有可能請你做設計改進的話，你會做什么？求解工作的表格省略初中數學數學建模案例2:----線路設計問題（自學、探索、創新實踐）課題：為所在小區設計一個最佳的郵政投遞路線，、一個合理的保安巡邏路線。實施建議：1:按居住地成立4-6人的小組，對你們要研究的小區,進行觀察,收集必要的數據和信息，（如平面圖，樓的門洞的朝向，道路情況，小區的進出口位置等）.

發揮各自的特長，分工合作完成測量方案的設計、實測、作圖、計算、論證、比較、計算機文稿錄入、結果介紹等。2:復習必要的知識，如一筆畫方法，最短郵路的畫法和算法等.3:畫出小區的平面示意圖，（最好復印一下，以避免后面畫壞時重畫），在圖上完成郵政投遞路線的設計，（使郵遞員走的路線最短）.4:實踐環節：先不加思索按投遞要求隨意地走一遍，再按你設計的路線，實際走一遍，測算出路程看一看相差多少？（記錄數據）創新實踐項目：為你們居住的小區設計一個合理的保安巡邏路線、或合理的送奶的路線。首先思考”合理”的含義初中數學數學建模案例3:---穿衣鏡的最佳設計（個人的創意與設計）課題：自己提出幾個有關穿衣鏡設計的問題，給出你們認為最合理、最佳、最有創意的設計方案或解決辦法。實施建議：.成立工作小組，討論本小組的工作目標、分工、。.有可能的話到家具店、超市、（別忘了帶尺子或相機）有關雜志或網站上收集一點相關資料，可以發現問題或提出你們更好的設計。.分工合作完成你們的設計，最好有一個圖、或一個小的模型，可以用紙板做。4.4.準備在全班交流，可以用實物、照片、模型、ppt”，等形式表現你們的成果和創意，如果給你3分鐘講演、展示，怎樣讓班里同學為你們的成果叫好？4.4數學建模的可供學生選擇上的假期作業.利用放寒假與父母逛商場的機會，認真注意收集春節商場“打折消費”“誘導消費”的各種廣告信息，測算化1000元可以最多實際買到價值多少的商品。計算實際打折率。開動你的大腦，為消費者設計一種收益較多的購物方式；或者為商場設計一個更好的吸引消費者的、也使的商場收益較多的購物方式。.測量一個比較高的建筑物的高度，說明測量方案，測量過程和測量數據?？凑l想出更好的方法？.自編3道方程和方程組的應用題，要求聯系實際，有真實的實際背景，請寫出題目、題解?？凑l編的有趣。.到超市觀察各種不同包裝設計的同種商品，如同一個牌號的大、小牙膏，收集它們的價格信息，找一個表示它們的重量和價格的公式。.到各大商場，超市觀察不同的商品的外包裝，提出一個與“節約”有關的問題，將問題數學化，并用學過的知識試著解決它。進而自己在提出一些新的問題，或將自己得到的結果推廣以適用于更大的范圍。.了解出租車的計價方式，（如起步每公里，每種車型多少錢；運行中每公里，每種車型多少錢；等候時每分鐘，每種車型多少錢？）給出一個根據距離、等候時間計算付多少錢的方法或公式。.調查郵局中不同重量、寄往本市、外地、港澳、國外的平信（包括航空）的郵資表，如果限定信封上只準貼至多3枚郵票，請你設計郵票應該有哪些面值?.自己找到的用學過和還沒有學過的數學知識解決的實際問題， （可以只提出問題，或僅僅提供一個解決問題的想法。）（學生實際的學習成果從略）五.我們的體會和認識開展數學建模學習不僅是學習方式的改變，而且是育人模式的變化。人才培養模式集中而具體的體現形式是教育教學模式。 改革傳統的以“升學一應試”為目標的學校教育教學模式，創建以全體學生全面發展為目標的、體現素質教育方向和要求的新型教育教學模式，是當前學校實施素質教育的首要任務。而創建體現素質教育思想和要求的教育教學模式重要的著眼點就是要改變學生那種單純地被動接受教師知識傳輸的學習方式，幫助和指導學生在開展有意義接受學習的同時，形成一種對知識技能進行主動探求、并重視實際問題解決的主動積極的學習方式。這就是培養學生在教師指導下，從自身的學習生活和社會生活、自然界以及人類自身的發展中選取研究專題（專題、主題），以探究的方式主動地獲取知識、應用知識、解決問題的數學建模。這對于培養學生的創新精神和實踐能力、創造能力、終身學習的能力具有十分重要的意義。而數學建模活動的實際結果告訴我們，它不僅對好學生、而且對學習有一定困難的學生都能起到培養興趣、激發創造的目的。數學建模的成果還可以為學生建立一種更表現學生素質的評價體系。數學建模的過程可以為不同水平的學生都提供體驗成功的機會，真正把篩子變成泵。實際上，數學建模的教學過程（或者更自然地說是師生一起學和做的過程）對教師的成長和專業發展，更新教育觀念，主動參與并推進素質教育，有著越來越重要的作用。它表現在下面的幾個方面:首先，它可以幫助教師轉變教學觀，更有利于發揮教師的主導作用和學生的主體作用。教師的主導作用體現在創設好的問題環境，激發學生自主地探索解決問題的積極性和創造性上；學生的主體作用體現在問題的探索、發現、解決的深度和方式盡量由學生自主控制和完成。它體現了教學過程由以教為主到以學為主的重心的轉移。課堂的主活動不應都是教師的講授，而應是學生自主的自學、討論、調查、探索、解決問題。教師要自覺適時地改變他的教育角色，平等地參與學生的探索、學習活動。教師不應只是“講演者”、不應是“總是正確的指導者”，而應不時扮演下列角色： 模特--他不僅演示正確的開始，也表現失誤的開端和“撥亂返正”的思維技能；參謀--提一些求解的建議，提供可參考的信息，但并不代替學生做出決斷；詢問者--故作不知，問原因、找漏洞，督促學生弄清楚、說明白，完成進度；仲裁者和鑒賞者--評判學生工作及成果的價值、意義、優劣，鼓勵學生的有創造性的想法和作法；在教學的組織中體現“學法”，把教和學融為一體。其次，它可以可以幫助教師轉變學習觀。過去在封閉式教育中，教師是知識的輸出者。由于教育被定位為在學校這個“圍墻”內，由知識的擁有者和惟一源泉一一教師向知識的需求者一一學生輸出知識的活動，教師和學生之間的關系就是教師“單向輸出”和學生“被動接受”的關系。在數學建模的實踐活動中，