近世代數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)一、課程概況

課程名稱近世代數(shù)課程代碼20102904適用專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)開課學(xué)期第3或4學(xué)期課程性質(zhì)專業(yè)必修課程學(xué)時(shí)/學(xué)分68/4預(yù)修課程《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》、《解析幾何》二、課程目標(biāo)課程目標(biāo)

1：學(xué)生可以闡述近世代數(shù)中并能根據(jù)定義和性質(zhì)進(jìn)行舉例和判斷，以及應(yīng)用性質(zhì)對(duì)循環(huán)群、置換群及對(duì)稱群、整環(huán)、域、除環(huán)給出相應(yīng)的刻畫；對(duì)群的同構(gòu)以及環(huán)的同態(tài)能闡述定義及基本性質(zhì)；對(duì)素理想、極大理想、環(huán)的特征和素域都能根據(jù)定義給出相應(yīng)的判斷；打好群、環(huán)、域基礎(chǔ)，

課程目標(biāo)

2：學(xué)生能夠掌握近世代數(shù)課程中對(duì)群、環(huán)、域的更深一步知識(shí)，同時(shí)了解近世代數(shù)課程的相關(guān)歷史背景以及國內(nèi)外最新發(fā)展?fàn)顩r，具有一定的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。學(xué)生要明確闡述出子群的陪集和正規(guī)子群的定義及正規(guī)子群對(duì)應(yīng)的商群的概念，能熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)和相關(guān)定理知識(shí)來判別是否正規(guī)子群；能闡述群同態(tài)的定義并舉例說明；能證明同態(tài)基本定理；對(duì)于多項(xiàng)式環(huán)、整環(huán)的商域、唯一分解整環(huán)、主理想整環(huán)以及歐幾里得整環(huán)能闡述各自的概念和性質(zhì)以及相互的聯(lián)系；能夠?qū)U(kuò)域有進(jìn)一步了解，理解并掌握代數(shù)擴(kuò)越和有限域定義；能夠理解并掌握重要性質(zhì)和定理的結(jié)論和證明思路，并且可以綜合應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)和定理到實(shí)際計(jì)算中來解決問題。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力、抽象的邏輯思維能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C能力以及熟練的抽象運(yùn)算能力，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和深造打下堅(jiān)實(shí)的代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

課程目標(biāo)

了解近世代數(shù)課程在近（現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)地位和作用，以及與相關(guān)學(xué)科（如密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等）的聯(lián)系。

課程目標(biāo)

4：具有終身學(xué)習(xí)與持續(xù)發(fā)展的意識(shí)和能力，能夠利用近世代數(shù)的相關(guān)理以及與近世代數(shù)相關(guān)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科。

三、課程目標(biāo)與畢業(yè)要求的關(guān)系1、課程目標(biāo)與畢業(yè)要求的對(duì)應(yīng)關(guān)系畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)課程目標(biāo)學(xué)會(huì)教學(xué)學(xué)科素養(yǎng)3.1掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的基本原理、基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本思想，了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支的基本知識(shí)和專業(yè)發(fā)展趨勢123.2善于整合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題，具備對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行抽象概括化和邏輯推理的能力，具備良好的數(shù)學(xué)表達(dá)能力123.3了解數(shù)學(xué)與物理和計(jì)算機(jī)等其他相關(guān)學(xué)科的聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)在社會(huì)生活的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值3

學(xué)會(huì)育人

綜合育人6.1接受數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的謹(jǐn)慎細(xì)膩，思維嚴(yán)密的訓(xùn)練，能夠?qū)?shù)學(xué)課堂教學(xué)與思政教育緊密結(jié)合。能有效掌握教學(xué)案例設(shè)計(jì)、學(xué)生情感價(jià)值觀察和分析、掌握靈活多樣化的教學(xué)方法4學(xué)會(huì)發(fā)展學(xué)會(huì)反思7.1掌握數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)發(fā)展規(guī)律，具有數(shù)學(xué)教學(xué)反思意識(shí)，樹立終身學(xué)習(xí)理念。能夠利用反思改進(jìn)教學(xué)手段、針對(duì)教育教學(xué)工作中的現(xiàn)實(shí)需要與問題和國內(nèi)外學(xué)科發(fā)展趨勢做縱深對(duì)比，進(jìn)行探索和研究，初步具備數(shù)學(xué)教學(xué)研究能力1242、課程目標(biāo)與畢業(yè)要求的矩陣關(guān)系圖名稱踐行師德學(xué)會(huì)教學(xué)學(xué)會(huì)育人學(xué)會(huì)發(fā)展師德規(guī)范教育情懷學(xué)科素養(yǎng)教學(xué)能力班級(jí)管理綜合育人學(xué)會(huì)反思溝通合作1.11.21.32.12.22.33.13.23.34.14.24.35.15.25.36.16.26.37.17.27.38.18.28.3近世代數(shù)HHHLM近世代數(shù)HLM課程目標(biāo)

1HHM課程目標(biāo)

2HHM課程目標(biāo)

3H課程目標(biāo)

4LM注：H

表示高支撐，M

表示中支撐，L

表示低支撐。

四、課程教學(xué)要求與重難點(diǎn)

序號(hào)課程內(nèi)容框架教學(xué)要求教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)

1

群掌握等價(jià)關(guān)系與集合的分類的定義及關(guān)系，為學(xué)習(xí)全書打好基礎(chǔ)；能夠闡述群的相關(guān)定義和性質(zhì)，并能根據(jù)定義、等價(jià)定義和性質(zhì)進(jìn)行舉例和判斷；能闡述子群等相關(guān)定義和性質(zhì)，并能根據(jù)定義和性質(zhì)進(jìn)行舉例和判斷；掌握會(huì)求元素的階；循環(huán)群的定義和性質(zhì)、判定，會(huì)求循環(huán)群的全部生成元和子群；掌握置換群和對(duì)稱群定義，掌握的性質(zhì)和刻畫。等價(jià)關(guān)系與集合的分類的定義及關(guān)系；群的定義及其性質(zhì)；循環(huán)群的定義和性質(zhì)、判定，會(huì)求循環(huán)群的全部生成元和子群；掌握置換群和對(duì)稱群定義，掌握的性質(zhì)和刻畫。等價(jià)關(guān)系與集合的分類的關(guān)系；群的定義及其等價(jià)定義的理解；理解并掌握生成子群的刻畫；凱萊定理；掌握有限和無限循環(huán)群的刻畫；變換群、置換群的刻畫。

2

群的進(jìn)一步討論學(xué)生要明確子群的陪集以及正規(guī)子群的定義及正規(guī)子群對(duì)應(yīng)的商群的概念及性質(zhì)和相關(guān)定理知識(shí)；掌握群的同態(tài)定義以及同態(tài)基本定理。子群陪集的相關(guān)理論、有限群的拉格朗日定理；正規(guī)子群的定義及判別條件、商群子群的左右陪集的刻畫與聯(lián)系；正規(guī)子群的判別法則；商群的構(gòu)造；群同態(tài)基本定理的理解及應(yīng)用。

3

環(huán)學(xué)生能夠熟悉并闡述環(huán)、子環(huán)定義及對(duì)應(yīng)等價(jià)定義并會(huì)用性質(zhì)進(jìn)行判定；學(xué)生能夠熟悉并闡述理想定義并會(huì)用性質(zhì)進(jìn)行判定，掌握商環(huán)定義和性質(zhì)；別；環(huán)的特征的定義、性質(zhì)及求法，素域的定義和基本性質(zhì)。

環(huán)、子環(huán)的定義、判別條件及基本性質(zhì)；理想和商環(huán)的定義、判別條件及初步性質(zhì)；別；環(huán)的特征的定義、性質(zhì)及求法，素域的定義和基本性質(zhì)。理想和商環(huán)的定義、判別條件；整環(huán)、域的性質(zhì)及判別；素理想和最大理想的定義及判別；環(huán)的特征的定義及求法。序號(hào)課程內(nèi)容框架教學(xué)要求教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)

4

環(huán)的進(jìn)一步討論學(xué)生能夠理解在整環(huán)上討論整除的概念以及多項(xiàng)式環(huán)的概念、性質(zhì)、理解整環(huán)的商域的概念、構(gòu)造過程及性質(zhì)、對(duì)整環(huán)上討論整除理論有比較系統(tǒng)的了解，并能用所學(xué)的理論解決一些簡單的與環(huán)和域性質(zhì)有關(guān)的問題。多項(xiàng)式環(huán)的概念及性質(zhì)；理解整環(huán)的商域的概念、構(gòu)造過程及性質(zhì)；素元和不可約元的定義及關(guān)系，唯一分解整環(huán)的概念及性質(zhì)；主理想整環(huán)以及歐幾里得整環(huán)的定義及相關(guān)性質(zhì)以及他們之間的聯(lián)系。多項(xiàng)式環(huán)的性質(zhì)；整環(huán)的商域的構(gòu)造過程及性質(zhì)；素元和不可約元的定義及關(guān)系；唯一分解整環(huán)、主理想整環(huán)以及歐幾里得整環(huán)之間的聯(lián)系。

5

域的擴(kuò)張學(xué)生掌握域的一些基本結(jié)果，在域上有向量空間的定義上，掌握擴(kuò)域的定義和基本性質(zhì)，了解域的代數(shù)擴(kuò)張含義及性質(zhì)，對(duì)多項(xiàng)式的分裂域有所理解，對(duì)有限域進(jìn)一步了解，了解用直尺和圓規(guī)作圖的背景。擴(kuò)域的概念及性質(zhì)；代數(shù)擴(kuò)張的定義及性質(zhì)；多項(xiàng)式的分裂域的定義及判定條件；有限域的基本性質(zhì)和刻畫；了解用直尺和圓規(guī)作圖的背景。擴(kuò)域的概念及性質(zhì)；代數(shù)擴(kuò)域的定義及判定，極小多項(xiàng)式的求法；有限域的刻畫；尺規(guī)作圖。

五、課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式、學(xué)時(shí)分配及對(duì)課程目標(biāo)的支撐情況序號(hào)課程內(nèi)容框架教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方式學(xué)時(shí)支撐課程目標(biāo)1群課程簡介；代數(shù)運(yùn)算；等價(jià)關(guān)系與集合的分類：等價(jià)關(guān)系與集合的分類各自的定義及關(guān)系講授、課堂討論21234群的概念：群的定義及其幾個(gè)等價(jià)定義的證明；交換群，有限群和無限群及群的階的概念、例子以及群的基本性質(zhì)講授、課堂討論4134子群：子群的定義及其等價(jià)定義及判別法；子群的交與生成子群講授、課堂討論4134同構(gòu)、自同構(gòu)的概念與性質(zhì)及判定；交換群和一般群的關(guān)系；凱萊定理講授、課堂討論214循環(huán)群：元素的階的定義、性質(zhì)及求法；；求有限循環(huán)群的全部子群的方法講授、課堂討論4

1

序號(hào)課程內(nèi)容框架教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方式學(xué)時(shí)支撐課程目標(biāo)講授、課堂討論4134習(xí)題課講授、課堂討論214

2

群的進(jìn)一步討論子群的陪集：集合的積的定義及群里子集的積的性質(zhì)；子群的左右陪集、定義及相同和不同之處；Lagrange定理講授、課堂討論22正規(guī)子群與商群：正規(guī)子群的定義、例子；正規(guī)子群的判別條件和性質(zhì)；商群的定義及性質(zhì)講授、課堂討論2234群同態(tài)性質(zhì)及同態(tài)基本定理講授、課堂討論2234習(xí)題課講授、課堂討論224

3

環(huán)環(huán)的定義與基本性質(zhì)：環(huán)、子環(huán)的定義、例子及基本性質(zhì)講授、課堂討論2134整環(huán)、域、除環(huán)：零因子、無零因子環(huán)的概念及判定；整環(huán)、域、除環(huán)的定義及例子講授、課堂討論2134理想與商環(huán)：理想的定義及判定；理想的性質(zhì)；主理想的定義及構(gòu)成；商環(huán)的定義及性質(zhì)講授、課堂討論213本定理以及環(huán)的第二同構(gòu)定理；環(huán)的擴(kuò)張定理講授、課堂討論213素理想與極大理想：素理想與極大理想的定義、例子、判定及簡單性質(zhì)講授、課堂討論213環(huán)的特征與素域：環(huán)的特征的概念、性質(zhì)及求法，素域的概念、例子講授、課堂討論21習(xí)題課講授、課堂討論214序號(hào)課程內(nèi)容框架教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方式學(xué)時(shí)支撐課程目標(biāo)

4

環(huán)的進(jìn)一步討論多項(xiàng)式環(huán)：講授、課堂討論

224整環(huán)的商域：商域的概念、存在性、唯一性及構(gòu)造方法及例子、基本性質(zhì)講授、課堂討論2234唯一分解整環(huán)：唯一分解整環(huán)的定義、性質(zhì)及例子講授、課堂討論22主理想整環(huán)與歐幾里德整環(huán)：主理想整環(huán)的定義、例子與基本性質(zhì)；歐幾里德整環(huán)的概念、性質(zhì)與例子講授、課堂討論22習(xí)題課講授、課堂討論224

5

域的擴(kuò)張向量空間：向量空間簡介講授、課堂討論12

擴(kuò)域：擴(kuò)域、單擴(kuò)域及有限擴(kuò)域的概念、例子及基本性質(zhì)講授、課堂討論32

代數(shù)擴(kuò)張：代數(shù)元、超越元及代數(shù)擴(kuò)張的概念、基本性質(zhì)和典型例子講授、課堂討論224多項(xiàng)式的分裂域：多項(xiàng)式的分裂域簡介講授、課堂討論22

有限域：有限域的基本性質(zhì)及例子

講授、課堂討論123幾何作圖：尺規(guī)作圖背景講授、課堂討論124習(xí)題課講授、課堂討論2246綜合復(fù)習(xí)綜合復(fù)習(xí)（全部內(nèi)容）講授、課堂討論4課程目標(biāo)1234

六、課程目標(biāo)與考核內(nèi)容

課程目標(biāo)考核內(nèi)容課程目標(biāo)

1：學(xué)生可以闡述近世代數(shù)中并能根據(jù)定義和性質(zhì)進(jìn)行舉例和判斷，以及應(yīng)用性質(zhì)對(duì)循環(huán)群、置換群及對(duì)稱群、整環(huán)、域、除環(huán)給出相應(yīng)的刻畫；對(duì)群的同構(gòu)以及環(huán)的同態(tài)能闡述定義及基本性質(zhì)；對(duì)素理想、極大理想、環(huán)的特征和素域都能根據(jù)定義給出相應(yīng)的判斷；打好群、環(huán)、域基礎(chǔ)，1、

期末考試：5)

元素的階的定義、性質(zhì)及求法；；求有限循環(huán)群的全部子群的方法；7)

環(huán)、子環(huán)的定義、例子及基本性質(zhì)；8)

零因子、無零因子環(huán)的概念及判定；9)

整環(huán)、域、除環(huán)的定義及例子；10)

理想的性質(zhì)；主理想的定義及構(gòu)成；商環(huán)的定義及性質(zhì)；本定理以及環(huán)的第二同構(gòu)定理；環(huán)的擴(kuò)張定理；12)

素理想與極大理想的定義、例子、判定及簡單性質(zhì)；13)

環(huán)的特征的概念、性質(zhì)及求法，素域的概念、例子；2、課堂出勤和課堂表現(xiàn)、平時(shí)作業(yè)、期中測試等課程目標(biāo)2：學(xué)生能夠掌握近世代數(shù)課程中對(duì)群、環(huán)、域的更深一步知識(shí)，同時(shí)了解近世代數(shù)課程的相關(guān)歷史背景以及國內(nèi)外最新發(fā)展?fàn)顩r，具有一定的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。學(xué)生要明確子群的陪集以及正規(guī)子群的定義及正規(guī)子群對(duì)應(yīng)的商群的概念及性質(zhì)和相關(guān)定理知識(shí)；掌握群的同態(tài)定義以及同態(tài)基本定理；對(duì)于多項(xiàng)式環(huán)、整環(huán)的商域、唯一分解整環(huán)、主理想整環(huán)以及歐幾里得整環(huán)能明白各自的概念和性質(zhì)以及相互的聯(lián)系；能夠理解并掌握重要性質(zhì)和定理的結(jié)論和證明思路，并且可以綜合應(yīng)用近世代數(shù)中的性質(zhì)和定理到實(shí)際計(jì)算中來解決問題。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力、抽象的邏輯思維能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C能力以及熟練的抽象運(yùn)算能力，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和深造打下堅(jiān)實(shí)的代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1、

期末考試：1)

集合的積的定義及群里子集的積的性質(zhì)；2)

子群的左右陪集、定義及相同和不同之處；Lagrange定理的應(yīng)用；3)

正規(guī)子群的定義、例子；正規(guī)子群的判別條件和性質(zhì)；商群的定義及性質(zhì)；群同態(tài)性質(zhì)及同態(tài)基本定理；6)

商域的概念、存在性、唯一性及構(gòu)造方法及例子、基本性質(zhì)；7)

唯一分解整環(huán)的定義、性質(zhì)及例子；主理想整環(huán)的定義、例子與基本性質(zhì)；8)

歐幾里德整環(huán)的概念、性質(zhì)與例子；9)

向量空間定義及性質(zhì)；10)

擴(kuò)域、單擴(kuò)域及有限擴(kuò)域的概念、例子及基本性質(zhì)；11)

代數(shù)元、超越元及代數(shù)擴(kuò)張的概念、基本性質(zhì)和典型例子；12)

多項(xiàng)式的分裂域例子；13)

有限域的基本性質(zhì)及例子；14)

幾何作圖；2、課堂出勤和課堂表現(xiàn)、平時(shí)作業(yè)、期中測試等課程目標(biāo)考核內(nèi)容課程目標(biāo)3：了解近世代數(shù)課程在近（現(xiàn)）代數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)地位和作用，以及與相關(guān)學(xué)科（如密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等）的聯(lián)系。1、期末考試：1)

代數(shù)運(yùn)算、同態(tài)、同構(gòu)、等價(jià)關(guān)系與集合的分類；2)

群的概念與證明；3)

子群的概念及判別條件；4)

變換群、置換群的相關(guān)理論；5)

正規(guī)子群的概念及判別條件，商群的概念與構(gòu)造，拉格朗日定理；6)

群的同態(tài)性質(zhì)；7)

環(huán)的概念及證明，子環(huán)的相關(guān)概念及判別方法，8)

環(huán)同態(tài)基本定理；9)

理想、主理想、最大理想的概念及判別條件；10)

剩余類環(huán)、最大理想構(gòu)造域的方法；11)

商域的構(gòu)造等；12)

有限域的基本性質(zhì)及例子；2、課堂出勤和課堂表現(xiàn)、平時(shí)作業(yè)、期中測試等課程目標(biāo)

4：具有終身學(xué)習(xí)與持續(xù)發(fā)展的意識(shí)和能力，能夠利用近世代數(shù)的相關(guān)理論指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)中代數(shù)方面的教學(xué)實(shí)踐，并能夠在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中客觀、真實(shí)地介紹近世代數(shù)史以及與近世代數(shù)相關(guān)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科。

1期末考試：1)

代數(shù)運(yùn)算、映射、同態(tài)、同構(gòu)、等價(jià)關(guān)系與集合的分類；2)

群的概念與證明；3)

子群的概念及判別條件；4)

變換群、置換群的相關(guān)理論；5)

環(huán)、整環(huán)、域的概念及證明，整環(huán)、域的性質(zhì)；6)

多項(xiàng)式環(huán)；7)

商域的構(gòu)造；8)

代數(shù)元，代數(shù)擴(kuò)張的定義；9)

幾何作圖等。2、課堂出勤和課堂表現(xiàn)、平時(shí)作業(yè)、期中測試等

七、考核方式與評(píng)價(jià)細(xì)則考核方式比例考核/評(píng)價(jià)細(xì)則

課堂出勤

10%評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：根據(jù)學(xué)生上課出勤情況1)

全勤

100

分；103)

遲到、早退、事假一次扣54)

病假、公假、喪假不扣分；5)

曠課三次以上不及格。

平時(shí)作業(yè)、課堂表現(xiàn)

10-20%評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：根據(jù)學(xué)生提交的作業(yè)情況。每個(gè)班每次批改二分之一的作業(yè)，根據(jù)學(xué)生作業(yè)完成情況給出A+、A、A-、B、C、D等級(jí)，一學(xué)期一個(gè)學(xué)生大約上交12次左右作業(yè)。全部為A計(jì)100分；兩次及以上A+，95分；兩次及以上