第一章

特殊平行四邊形1.1菱形的性質與判定第3課時

名師點金菱形具有一般平行四邊形的所有性質，同時又具有一些特性，可以歸納為三個方面：(1)從邊看：對邊平行，四邊相等；(2)從角看：對角相等，鄰角互補；(3)從對角線看：對角線互相垂直平分，并且每一條對

角線平分一組對角．判定一個四邊形是菱形，可先判定這個四邊形是平

行四邊形，再判定一組鄰邊相等或對角線互相垂直，

也可直接判定四邊相等．(1)∵AB∥CD，CE∥AD，∴四邊形AECD是平行四邊形，∠DAC＝∠ACE.∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC.∴∠EAC＝∠ACE.∴AE＝CE.∴四邊形AECD是菱形．證明：(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵點E是AB的中點，∴AE＝BE.∵AE＝CE，∴CE＝BE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，

∠EAC＝∠ACE，∴∠BCE＋∠ECA＝90°，即∠BCA＝90°.∴△ABC是直角三角形．解：2訓練角度利用菱形的性質與判定證明線段的關系2．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，

BD＝AC.(1)求證：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分別是

AB，CD，AC，BD的

中點，求證：線段EF

與線段GH互相垂直平分．(1)如圖，過點B作BM∥AC交DC的延長線于點M，

則∠ACD＝∠M.

∵AB∥CD，∴四邊形ABMC為平行四邊形．∴AC＝BM.∵AC＝BD，∴BD＝BM.∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.

又∵CD＝DC，

∴△ACD≌△BDC.∴AD＝BC.證明：(2)如圖，連接EH，HF，FG，GE，∵E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，∴HE∥AD，且HE＝

AD，FG∥AD，

且FG＝

AD，EG＝

BC.∴HE∥FG，HE＝FG.∴四邊形HFGE為平行四邊形．由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG.∴?HFGE為菱形．∴線段EF與線段GH互相垂直平分．3訓練角度利用菱形的性質與判定求線段長3．如圖，在四邊形ABCF中，∠ACB＝90°，點E

是AB的中點，點F恰是點E關于AC所在直線的

對稱點．(1)證明：四邊形AECF為菱形；(2)設EF交AC于點O，若BC＝10，

求線段OF的長．(1)因為點F恰是點E關于AC所在直線的對稱點，所以AC應是EF的中垂線．所以CE＝CF，AE＝AF.又點E是直角三角形ABC斜邊上的中點，所以AE＝CE.所以AE＝AF＝CE＝CF.所以四邊形AECF是菱形．證明：(2)因為四邊形AECF是菱形，所以OA＝OC，OE＝OF.因為點E是AB的中點，所以EO是△ACB的中位線．所以EO＝

BC＝5.所以OF＝5.解：4訓練角度利用菱形的性質與判定解決面積問題4．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分

∠BAC，交BC于點D，在線段AD上任取一點P(點A除外)，

過點P作EF∥AB，分別交AC，BC于點E，F，作PM∥AC，

交AB于點M，連接ME.(1)求證：四邊形AEPM為菱形．(2)當點P在何處時，菱形AEPM

的面積為四邊形EFBM面積的

一半？請說明理由．(1)∵EF∥AB，PM∥AC，∴四邊形AEPM為平行四邊形．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA.∴∠CAD＝∠EPA.∴EA＝EP.∴四邊形AEPM為菱形．證明：解：(2)當點P為EF的中點時，S菱形AEPM＝

S四邊形EFBM.

理由如下：∵四邊形AEPM為菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC.∴EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四邊形EFBM為平行四邊形．

過點E作EN⊥AB于點N，如圖，∵EP＝

EF，∴S菱形AEPM＝AM·EN＝EP·EN＝

EF·EN

＝

S四邊形EFBM.平行線分線段成比例第四章圖形的相似

1.了解平行線分線段成比例的基本事實及其推論;（重點）2.會用平行線分線段成比例及其推論解決相關問題.（難點）

學習目標新課導入觀察與猜想下圖是一架梯子的示意圖,由生活常識可以知道:AD,BE,CF互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么結果呢？abcDE=EFDFE講授新課平行線分線段成比例（基本事實）一

如圖①，小方格的邊長都是1，直線a∥b∥c，分別交直線m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.合作探究A1A2A3B1B2B3mnabc圖①A1A2A3B1B2B3mnabc

(1)計算，你有什么發現？(2)將b向下平移到如圖②的位置，直線m，n與直線b的交點分別為A2，B2.你在問題(1)中發現的結論還成立嗎？如果將b平移到其他位置呢？A1A2A3B1B2B3mnabc圖②(3)根據前兩問，你認為在平面上任意作三條平行線，用它們截兩條直線，截得的對應線段成比例嗎？

一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.符號語言：若a∥b∥c，則，，

歸納：

A1A2A3B1B2B3bca1.如何理解“對應線段”？2.“對應線段”成比例都有哪些表達形式？

想一想：

如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是()A.B.C.D.DACEBDFl2l1l3做一做

如圖，直線a∥b∥c，由平行線分線段成比例的基本事實，我們可以得出圖中對應成比例的線段，平行線分線段成比例定理的推論二A1A2A3B1B2B3bcmna觀察與思考把直線n向左或向右任意平移，這些線段依然成比例.A1A2A3bcmB1B2B3na

直線n向左平移到B1與A1重合的位置，說說圖中有哪些成比例線段？

把圖中的部分線擦去，得到新的圖形，剛剛所說的線段是否仍然成比例？A1(B1)A2A3B2B3()A1A2A3bcmB1B2B3na

直線n向左平移到B2與A2重合的位置，說說圖中有哪些成比例線段？

把圖中的部分線擦去，得到新的圖形，剛剛所說的線段是否仍然成比例？A2(B2)A1A3B1B3()

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3

歸納：

如圖，DE∥BC，，則

；FG∥BC，，則

.ABCEDFG做一做例題例1如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F，已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，則EF的長為(

)A．4B．5C．6D．8C例題知識點如圖，在△ABC中，E,F分別是AB和AC上的點，且EF∥BC.(1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的長是多

少？(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的長是

多少？例2解:(1)∵EF∥BC,∴∵AE=7，EB=5，FC=4，

∴AF=(2)∵EF∥BC,∴∵AB=10，AE=6，AF=5，∴AC=∴FC=AC－AF=歸

納利用平行線分線段成比例的基本事實求線段長的方法：

先確定圖中的平行線，由此聯想到線段間的比例關系，結合待求線段和已知線段寫出一個含有它們的比例式，構造出方程，解方程求出待求線段長．1.如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是(

)A.

B.C.

D.D2.如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，

BC=4cm，EF長