2021年清華大學夏令營數學試題解答山東省濟寧一中賈廣素2021年12月24日整理1.讓a，B，C？r、做等式x？斧頭？bx？C0有3個實根證明：如果？2.A.BC0，則區間[0,2]中至少有一個根證明：假設該方程的三個實根x1、x2、x3不在區間[0,3]中，32?x1？x2？x3？？A.從韋達定理？x1x2？x2x3？x3x1？B?xxx??c.?123從而a?b?c?x1x2?x2x3?x3x1?x1x2x3?(x1?x2?x3)?(1?x1)(1?x2)(1?x3)?1?[?2,0]，因此1.（1？x1）（1？x2）（1？x3）？1，即|（1×1）（1×2）（1×3）|？1、從假設，知道席？0還是席？2.得到|1？xi|？1（I？1,2,3），所以|（1？X1）（1？X2）（1？X3）|？1.矛盾！所以假設不成立，故至少存在一個根在區間[0,2]中.知道x嗎？19?99是函數f（x）嗎？十、bx？那么C，B是零的整數？C的值是多少？42解決方案1：放x？19?99成x？bx？C0,得到21488?141619?11?118b?6b19?11?c?0，由于b、c為整數，19?11為無理數，從而?21448?118b？C0，那么B？？236，c？6400.??1416?6b？所以呢？C六千一百六十四解法二：設x?19?99，y?99?19，則x?y?299，xy?99?19?80，于是x?y?(x?y)?2xy?236，二千二百二十一獎y?80640042代入上式，有x2?2?236，即x?236x?6400?0.xx于是b??236,c?6400，所以b?c?6164.解釋：這個問題的第二個解決方案可以采用逆向思維：什么樣的方程有這樣的根？從已知的變形來看x?19?99，所以x2?219x，再平方，得x?9?9，0即x2?80x?2192，即x4?160x2?640?0x76x4?236x2?6400?0.從而b??236，c?6400，所以BC但解決方案2有一些缺陷。它不能有效地解釋B和C的唯一性，但它也可以被視為是一種好的方法.類似主題：尋找整系數多項式f（x）？安克斯？一真正的根是33？二（見《全國重點大學自主招生數學教程》張天德賈廣素王瑋主編，2021年7月山東科學技術出版社出版第32頁例11.）nn？1.a1x？A0，那么f（x）呢？0有一個????????????????3.已知點o是?abc的外心，h為垂心，且滿足oh?m(oa?ob?oc)，則m的值為有多少（清華大學2022年夏令營）????????????????????????????????????1????解：因為og?oh，所以oh?3og?oa?ag?ob?bg?oc?cg，又g為重3.心臟病，Ag？bg？cg？0，所以呢？oa？產科醫生？哦，那么我呢？一說明：本題是2021年高考數學全國i卷的一道理科填空題.其試題背景是歐拉線，即三角形?abc的重心g、垂心h和外心o共線，且og?若d為bc的中點，則ah?2od；如果我是？ABC的外切圓和內切圓的半徑分別是R和R，那么oi？將AI與外接圓和點m連接起來，有mi嗎？兆字節司儀。4.已知a、b、c?(0,)，且sina?sinb?sinc?1.求a?b?c的最大值.解：由sina?sinb?sinc?1，得cos2a?cos2b?cos2c?1，從而2cos(a?b)cos(a?b)?1?cos2c，二2221oh.3r(r?2r)；π2222，那么cos（a？B）？1.2cos2c1？cos2c？？sin2c。2cos(a?b)222同理可證cos(b?c)?sina，cos(c?a)?sinb，且同時可得a?b、b?c、c?a?(0,).將上述三個公式相加，得到cos（a？B）？cos（b？c）？cos（c？a）？辛克？辛布？新浪？一222π2π2(a?b)?(b?c)?(c?a)cos(a?b)?cos(b?c)?cos(c?a)1cos??，3332（a？B？C）131是cos？，那是一個？BCArccos，當且僅當a？B當C時，取等號232331故a?b?c的最大值為arccos.因為cosx在（0，）中是凸的，所以它是從Qinsheng不等式得到的類似題目1：已知銳角a、b、c滿足cosa?cosb?cosc?1，求a?b?c的取值范圍.解：首先給出一個引理：F（x）是R的函數，R是（？？）中的下凸函數，在（C）中內凸函數，222變量x1，x2，?，xn為r上的n個實數，且滿足x1?x2???xn，N席？1ni？C（C正常）數），記f?得最大值.?F（x），那么F在XII中？12?x3？？？當xn時，得到最小值，X1？x2？？？xn？1:00拍攝將“銳角”的條件改為a、b、c?[0,]，令x?cosa，y?cosb，z?cosc，則原題轉化為x、y、z?0且x?y?z?1，令f(x)?arccosx，則問題轉化為求π2222f（x）？f（y）？F（z）的取值范圍求二階導數，易知f(x)在[0,1]上先下凸再上凸，即滿足引理的條件.從對稱性來看，我們不妨設定X？Y首先求最小值，從引理，只考慮A？B和C？在兩種情況下，后者顯然只能得到f（x）？f（y）？f（z）？π.前者被簡化為G（T）？2f（t）？F（1？2t）的最小值，其中t？[0,].133導數，很容易得到？（t）?？3t？1.t(1?t)(1?2t)(21?2t?2(1?t))故當t?31時，g(t)取得最小值3arccos，所以f(x)?f(y)?f(z)的最小值就是333ArcCOS3。找到下面的最大值：3π？f（t）？F（1？T）的最大21π值，其中T？[0,].事實上，這就是arccosx的身份？arccos1？十、所以前者只能22由引理知，只需考慮a?b與b?0兩種情況，前者轉化為求f（x）？f（y）？f（z）？π.后者仍然轉化為G（T）的上述最大值，但此時T的范圍變成t?[,]，顯然t?11321時g(t)取得最大值π,所以f(x)?f(y)?f(z)的最大值為π.23,π].而原題是在“銳角”33,π).32綜上所述，由函數的連續性，所求的取值范圍是[3arccos情形下，取不到π，但可以趨近它，從而原題的答案是[3arccos類似題目2：已知角a、b、c?(0,)，滿足sina?sinb?sinc?1，求a?b?c的取值范圍.解決方案：新浪？辛布？辛克？1.獲得cos2a？cos2b？cos2c？1.訂單x？科西？cos2b，z？Cos2c，然后是x？YZ1.我們只需要222π4221(arccosx?arccosy?arccosz)的最大值。211?x2設f(x)?arccosx，x?(0,1)，則f?(x)??，f??(x)??x(1?x)23?0，那么函數f（x）是（0,1）上的上凸函數，通過秦生不等式，有13x?y?z3131(arccosx?arccosy?arccosz)?f()?f()?arccos.223232331即a?b?c的最大值為arccos.232π4π2nπ15。驗證：cos？余弦？？？余弦？？。2n?12n?12n?1241sin（n？）x12？（*）證明：先證明一個通式：cosx？cos2x？cosnx？X22sin2交叉項的搭配和消除：xsin(cosx?cos2x???cosnx)2xxx?sincosx?sincos2x???sincosnx2221sin3xx5x3x(2n?1)x(2n?1)x?[?sin?sin?sin???sin?sin]22222221(2n?1)xx?[sin?sin].2221sin(n?)x12?.整理，得cosx?cos2x?cosnx?x22sin22π2π4π2nπ1回到原題，令x?，得cos?cos???cos??.N12n？12n？12n？注：同樣，我們可以得出一個一般性結論：x1cos?cos(n?)x22.sinx?sin2x???sinnx?x2sin2對于如sin??sin(???)?sin(??2?)???sin(??(n?1)?)及辛克斯？？因為（？？？）？因為（？2？）？？？cos（？（n？1）？）的代數表達式可以乘以??2，再2sin逐項積化和差，依次將各項一拆為二，達到相消