第一節(jié)晶格(二)三、布拉維格子(BravaisLattice)四、原胞(primitivecell)五、密堆積、配位數(shù)和致密度第一節(jié)晶格(二)三、布拉維格子(BravaisLat(b)(c)(a)(b)(c)(a)(b)(c)(a)(a)、(b)、(c)為二維晶體結(jié)構(gòu)示意圖§2.1晶格(crystallattice)三、布拉維格子(BravaisLattice)三者各自有相同的基本結(jié)構(gòu)單元，且在平面內(nèi)作周期性分布(b)(c)(a)(a)、(b)、(c)為二維晶體結(jié)構(gòu)示意圖(b)(c)(a)1.晶體結(jié)構(gòu)的周期性

理想晶體可看成是由完全相同的基本結(jié)構(gòu)單元(基元)在空間作周期性無(wú)限排列而成的.(注意物理上對(duì)無(wú)限的理解)所有晶體的結(jié)構(gòu)可以用晶格來(lái)描述，這種晶格的每個(gè)格點(diǎn)上附有一群原子，這樣的一個(gè)原子群稱為基元，基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。(b)(c)(a)1.晶體結(jié)構(gòu)的周期性理想晶體可1).基元、格點(diǎn)和晶格

在晶體中適當(dāng)選取某些原子作為一個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元，這個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元稱為基元，基元是晶體結(jié)構(gòu)中最小的重復(fù)單元，基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。(1)基元(b)(c)(a)

任何兩個(gè)基元中相應(yīng)原子周圍的情況是相同的，而每一個(gè)基元中不同原子周圍情況則不相同。1).基元、格點(diǎn)和晶格在晶體中適當(dāng)選取某些原子作為一(2)晶格晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為是由一些相同的點(diǎn)子在空間有規(guī)則地做周期性無(wú)限分布，這些呈周期性無(wú)限分布的幾何點(diǎn)的集合形成一個(gè)空間點(diǎn)陣，通過(guò)這些點(diǎn)做三組不共面的平行直線族，形成一些網(wǎng)格，稱為晶格。相應(yīng)的代表點(diǎn)稱為格點(diǎn)(b)(c)(a)(2)晶格晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為是由一些相同的點(diǎn)子

晶格是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象，它忽略了晶體結(jié)構(gòu)的具體內(nèi)容，保留了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。

用矢量表示格點(diǎn)的排列。

晶格是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象，它忽略了晶體結(jié)構(gòu)的具(3)格點(diǎn)晶格中的點(diǎn)子代表著晶體結(jié)構(gòu)中相同的位置，稱為格點(diǎn)。

一個(gè)格點(diǎn)代表一個(gè)基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的點(diǎn)子。(b)(a)(3)格點(diǎn)晶格中的點(diǎn)子代表著晶體結(jié)構(gòu)中相同的位置，稱2.布拉維格子、簡(jiǎn)單晶格和復(fù)式晶格(1)布拉維格子布拉維格子有兩個(gè)等價(jià)的定義定義1：由位矢的一系列的點(diǎn)所構(gòu)成的晶格，稱為布拉維晶格.

是三個(gè)不共面的矢量，稱為布拉維格子的基矢(Primitivevector),它代表格點(diǎn)在這三個(gè)方向規(guī)則性排列的重復(fù)單元(長(zhǎng)度).為格矢，其端點(diǎn)稱為格點(diǎn)(latticesite)為整數(shù),2.布拉維格子、簡(jiǎn)單晶格和復(fù)式晶格(1)布拉維格子布拉維格子定義2布拉維點(diǎn)陣是由在空間排列和取向完全等同的一系列分立的格點(diǎn)在空間作無(wú)限的規(guī)則排列所構(gòu)成的點(diǎn)陣。格點(diǎn)可以看作排列在一系列平行等距的直線族和平面族上，這樣點(diǎn)陣構(gòu)成網(wǎng)格，稱為晶格或格子。因此，布拉維點(diǎn)陣也稱為布拉維格子。幾點(diǎn)說(shuō)明：1).由定義可知，構(gòu)成布拉維格子的所有格點(diǎn)是完全等價(jià)的，所有的格點(diǎn)周圍環(huán)境相同。常以此為判據(jù)來(lái)判斷某一格子是否為布拉維格子。定義2布拉維點(diǎn)陣是由在空間排列和取向完全等同的一系列分2).晶體結(jié)構(gòu)=布拉維格子+基元3).布拉維格子是一個(gè)無(wú)限延展的理想點(diǎn)陣。它忽略了實(shí)際晶體中表面、結(jié)構(gòu)缺陷的存在，以及T0時(shí)晶格的振動(dòng).但是它抓住了主要矛盾----晶體所具有的平移對(duì)稱性:即平移任一格矢，晶體保持不變的特性。是實(shí)際晶體的一個(gè)理想抽象。4).布拉維格子的兩個(gè)定義是等價(jià)的。在第一種定義的布拉維格子中,取某格點(diǎn)為原點(diǎn),它至其他格點(diǎn)的矢量稱為格矢量.可表示為2).晶體結(jié)構(gòu)=布拉維格子+基元3).布拉維格子是一個(gè)式中為一組基矢，為一組整數(shù)，當(dāng)取遍一切整數(shù)時(shí)，便可得到全部格點(diǎn)的位置。這樣我們就從第一個(gè)定義推出了第二個(gè)定義，但是，對(duì)于符合第二個(gè)定義的點(diǎn)陣，如何確定其基矢則比較困難，且取法也不唯一。5).自然界中晶格類型很多，但是只可能有14種布拉維格子(后面講)式中為一組基矢，為一組整數(shù)，當(dāng)取遍(2)簡(jiǎn)單晶格和復(fù)式晶格(complexcrystallattice)

簡(jiǎn)單晶格：為了直觀表示晶體結(jié)構(gòu)，常將組成晶體的各種原子以不同符號(hào)在圖中一并標(biāo)出來(lái)，如果晶體由完全相同的一種原子組成，且每個(gè)原子周圍的情況完全相同，則這種原子所組成的網(wǎng)格稱為簡(jiǎn)單晶格。(基元只包含一個(gè)原子)復(fù)式晶格：如果晶體由兩種或兩種以上原子組成，且同種原子各構(gòu)成和格點(diǎn)相同的網(wǎng)格，稱為子晶格，它們相對(duì)位移而形成復(fù)式晶格。復(fù)式晶格可看成是由若干個(gè)相同的簡(jiǎn)單晶格相對(duì)錯(cuò)位套構(gòu)而成。(基元包含兩個(gè)或兩個(gè)以上原子)(2)簡(jiǎn)單晶格和復(fù)式晶格(complexcrystall有些書上把簡(jiǎn)單晶格稱為布拉維格子，而把復(fù)式格子稱為非布拉維格子(如清華大學(xué)2003年6月第一版韋丹著的《固體物理》p22).這是源于布拉維格子要求任一格點(diǎn)等價(jià)而言的，但是，這種說(shuō)法，我認(rèn)為不妥，因?yàn)椋祭S格子是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)抽象，布拉維格子中的格點(diǎn)是一個(gè)基元，而復(fù)式格子只不過(guò)進(jìn)一步考慮了基元的構(gòu)成，把基元中的每一個(gè)原子分開來(lái)處理了。所以，布拉維格子和簡(jiǎn)單晶格、復(fù)式晶格間不能互相定義。注：即使是由同一種原子組成的晶格，它也不一定是簡(jiǎn)單晶格。后面提到的金剛石結(jié)構(gòu)就是復(fù)式格子有些書上把簡(jiǎn)單晶格稱為布拉維格子，而把復(fù)式格子稱為非簡(jiǎn)單晶格復(fù)式晶格

原胞是晶體中體積最小的周期性重復(fù)單元，整個(gè)晶格可看成是由無(wú)限多個(gè)原胞無(wú)間隙地緊密排列而成，或者說(shuō)將原胞平移一切可能的格矢量便可得到整個(gè)晶格。四、原胞(primitivecell)1.原胞的概念簡(jiǎn)單晶格復(fù)式晶格原胞是晶體中體積最小的周期性重復(fù)單元對(duì)于三維晶格，在晶格中取一個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以三個(gè)不共面的方向上的周期為邊長(zhǎng)形成的平行六面體作為重復(fù)單元，這個(gè)平行六面體沿三個(gè)不同的方向進(jìn)行周期性平移，就可以充滿整個(gè)晶格，形成晶體，這個(gè)平行六面體即為原胞，代表原胞三個(gè)邊的矢量稱為原胞的基本平移矢量，簡(jiǎn)稱基矢。對(duì)于三維晶格，在晶格中取一個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以三個(gè)不共面的如圖:對(duì)于三維晶格則以為棱的平行六面體是晶格體積的最小重復(fù)單元，即原胞原胞的體積為對(duì)于二維晶格的原胞是平行四邊形對(duì)于一維晶格的原胞是線段，長(zhǎng)度為最近鄰格點(diǎn)的間距如圖:對(duì)于三維晶格則以為棱的平行2.說(shuō)明：1).對(duì)于同一晶格，原胞的取法不唯一(由基矢而定)，但是無(wú)論如何選取，原胞均有相同的體積，每個(gè)原胞平均只包含一個(gè)格點(diǎn)。比如：平行六面體，8個(gè)格點(diǎn)分別位于8個(gè)頂角，每個(gè)格點(diǎn)的貢獻(xiàn)為八分之一。2).格點(diǎn)對(duì)應(yīng)基元，如果基元由n個(gè)原子組成，則每個(gè)原胞包含n個(gè)原子。3).原胞反映了晶格的周期性，各原胞中等價(jià)點(diǎn)的一切物理性質(zhì)相同。也就是說(shuō)，作為位置的函數(shù)的各種物理量應(yīng)具有晶格的周期性(或平移對(duì)稱性)2.說(shuō)明：1).對(duì)于同一晶格，原胞的取法不唯一(由基矢而定4).由于原胞取法的隨意性，因而原胞通常只反映晶格的周期性，而不能反映晶格的對(duì)稱性。為了彌補(bǔ)上述不足，人們常用維格納-塞茲(Wigner-Seitz)提出的原胞的取法。3.維格納-塞茲(Wigner-Seitz)原胞構(gòu)造：以晶格中某一個(gè)格點(diǎn)為中心，作其與所有近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面(或中垂線)，由這些垂直平分面(或中垂線)所圍成的以該格點(diǎn)為中心的最小體積(或面積)即為WS原胞。4).由于原胞取法的隨意性，因而原胞通常只反映晶格的周期性維格納--塞茨原胞注：1).WS原胞既是晶格體積的最小重復(fù)單元，又能直觀反映晶格全部宏觀對(duì)稱性。所以，WS原胞也稱為對(duì)稱化原胞；2).

WS原胞的取法與倒格子空間中構(gòu)成簡(jiǎn)約布里淵區(qū)(Brillouinzone)的方法相同3).WS原胞所包含的格點(diǎn)位于原胞的中央。維格納--塞茨原胞注：1).WS原胞既是晶格體積的最小重復(fù)4.單胞(unitcell)或慣用單胞(conventionalunitcell)1).定義

由于原胞選取時(shí)，必須滿足晶格的最小周期性單元的要求，所以，很多情況下原胞不能反映出晶格的對(duì)稱性。因而，在晶體學(xué)中，習(xí)慣用晶系基矢構(gòu)成的平行六面體作為周期性重復(fù)排列的最小單元，我們把這種晶體學(xué)中選取的單元稱為單胞，也叫慣用單胞，也有叫晶胞的。2).晶格常數(shù)(latticeconstant)晶胞的邊長(zhǎng)稱為晶格常數(shù)，晶格常數(shù)一般并不等于近鄰原子的間距，除非單胞和原胞一致時(shí)，如簡(jiǎn)單立方晶體。4.單胞(unitcell)或慣用單胞(conventio3).和原胞的比較原胞只含有一個(gè)格點(diǎn)，是體積最小的周期性重復(fù)單元；單胞可含有一個(gè)或多個(gè)格點(diǎn)，體積可是原胞的一倍或數(shù)倍。單胞的基矢一般用表示。原胞的基矢一般用表示。體積：?jiǎn)伟福涸母顸c(diǎn)一般只出現(xiàn)在平行六面體的頂角上；單胞不僅在平行六面體頂角上有格點(diǎn)，面上及內(nèi)部亦可有格點(diǎn)。3).和原胞的比較原胞只含有一個(gè)格點(diǎn)，是體積最小的后面要講的晶面、晶向和基元位置的標(biāo)記，在實(shí)際工作中，通常以單胞為準(zhǔn)在晶體學(xué)中已經(jīng)對(duì)各種類型的布拉維格子選取原胞和晶胞的方式作了統(tǒng)一的規(guī)定下面我們給出一些晶格的實(shí)例來(lái)看看人們是如何規(guī)定的5.幾種晶格的實(shí)例下面從一維情形、二維情形、三維情形中的常見晶格來(lái)舉例說(shuō)明后面要講的晶面、晶向和基元位置的標(biāo)記，在實(shí)際ab(1)一維原子鏈a一維單原子鏈一維雙原子鏈ab(1)一維原子鏈a一維單原子鏈一維雙原子鏈(2)二維原胞維格納--塞茨原胞具有六角對(duì)稱性的單胞單胞是原胞面積的3倍比較(2)二維原胞維格納--塞茨原胞具有六角對(duì)稱性的單胞單胞是原(3)三維立方晶系(cubic)單胞的體積:取為坐標(biāo)軸的單位矢量,則有(a)簡(jiǎn)立方(simplecubic,簡(jiǎn)稱SC)單胞包含1個(gè)格點(diǎn)。原胞的體積與單胞體積相同對(duì)于立方晶系又可以分為以下幾種情況(簡(jiǎn)單、體心、面心)：(3)三維立方晶系(cubic)單胞的體積:取為平均每個(gè)單胞包含4個(gè)格點(diǎn)。(b)面心立方(face-centeredcubic,簡(jiǎn)稱fcc)原胞的體積平均每個(gè)單胞包含4個(gè)格點(diǎn)。(b)面心立方(face-cent(c)體心立方(body-centeredcubic,簡(jiǎn)稱：bcc)平均每個(gè)單胞包含2個(gè)格點(diǎn)。原胞的體積(c)體心立方(body-centeredcubic,簡(jiǎn)稱(a)金剛石結(jié)構(gòu)(diamond,簡(jiǎn)稱：DIA)金剛石結(jié)構(gòu)屬面心立方，每個(gè)單胞包含4個(gè)格點(diǎn)。

金剛石結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)面心立方子晶格沿體對(duì)角線位移1/4的長(zhǎng)度套構(gòu)而成,其單胞為面心立方。由面心立方單胞的中心到頂角引8條連線，在互不相鄰的4條連線的中點(diǎn)各加一個(gè)原子就得到了金剛石晶格結(jié)構(gòu)。cc復(fù)式格子(complexcrystallattice)(a)金剛石結(jié)構(gòu)(diamond,簡(jiǎn)稱：DIA)金剛石結(jié)構(gòu)屬cc(b)氯化鈉結(jié)構(gòu)氯化鈉結(jié)構(gòu)由兩個(gè)面心立方子晶格沿體對(duì)角線位移1/2的長(zhǎng)度套構(gòu)而成。所以,單胞包含4個(gè)格點(diǎn),8個(gè)原子金剛石結(jié)構(gòu)每個(gè)原胞包含1個(gè)格點(diǎn),基元由兩個(gè)碳原子組成,位于（0,0,0）和處cc(b)氯化鈉結(jié)構(gòu)氯化鈉結(jié)構(gòu)由兩個(gè)面心立方子晶格沿Cl-和Na+分別組成面心立方子晶格其單胞為面心立方。氯化鈉結(jié)構(gòu)屬面心立方。每個(gè)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)單胞包含4個(gè)格點(diǎn)氯化鈉的原胞選取方法與面心立方簡(jiǎn)單格子的選取方法相同。基元由一個(gè)Cl-和一個(gè)Na+組成。Cl-的坐標(biāo)為，(0,0,0)Na+的坐標(biāo)為Cl-和Na+分別組成面心立方子晶格其單胞為面心立方。氯化鈉(c)氯化銫結(jié)構(gòu)氯化銫結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)簡(jiǎn)立方子晶格沿體對(duì)角線位移1/2的長(zhǎng)度套構(gòu)而成。Cl-和Cs+分別組成簡(jiǎn)立方格子，其布拉維晶格為簡(jiǎn)立方，氯化銫結(jié)構(gòu)屬簡(jiǎn)立方。

每個(gè)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)單胞包含1個(gè)格點(diǎn)。基元由一個(gè)Cl-和一個(gè)Cs+組成。(0,0,0)Cl-的坐標(biāo)為，Cs+的坐標(biāo)為(c)氯化銫結(jié)構(gòu)氯化銫結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)簡(jiǎn)立方子晶格沿體對(duì)(d)鈣鈦礦結(jié)構(gòu)OTi鋇、鈦和3個(gè)氧各組成簡(jiǎn)立方子晶格，鈦酸鋇是由5個(gè)簡(jiǎn)立方子晶格套構(gòu)而成的。一個(gè)晶胞包含1個(gè)鋇原子、1個(gè)鈦原子和3個(gè)氧原子。鈣鈦礦結(jié)構(gòu)常寫成ABO3的形式。鈣鈦礦的氧八面體結(jié)構(gòu)其中A代表二價(jià)或一價(jià)的金屬,B代表四價(jià)或五價(jià)的金屬,在立方晶胞的頂角上是A(0,0,0),體心上是B(1/2,1/2,1/2),面心上是三組O(1/2,1/2,0),(1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2),OI,OII,OIII,周圍的情況各不相同.整個(gè)晶體是由A,B,OI,OII,OIII各自組成的簡(jiǎn)立方布喇菲格子(共5個(gè))套構(gòu)而成。(d)鈣鈦礦結(jié)構(gòu)OTi鋇、鈦和3個(gè)氧各組成簡(jiǎn)立方子晶格，鈦酸(e)--鎢結(jié)構(gòu)(A-15

結(jié)構(gòu))BBAAAAAA兩個(gè)B原子和6個(gè)A原子各組成簡(jiǎn)立方。--鎢結(jié)構(gòu)由8個(gè)子晶格套構(gòu)而成。一個(gè)晶胞包含2個(gè)B原子和6個(gè)A原子。在立方晶胞的頂角和體心上是B原子，A原子位于6個(gè)面上，每個(gè)面上有兩個(gè)原子，都在面的中線上，相對(duì)的面上A原子的排列互相平行,三組相對(duì)面上A原子的排列互相垂直(e)--鎢結(jié)構(gòu)(A-15結(jié)構(gòu))BBAAAAAA兩個(gè)五、密堆積、配位數(shù)和致密度1.配位數(shù)(coordinationnumber)在布拉維格子中，離某一格點(diǎn)最近的格點(diǎn),稱為該格點(diǎn)的最近鄰(nearestneighbour),格點(diǎn)周圍最近鄰數(shù)稱為該格子的配位數(shù).常用符號(hào)z

表示。(實(shí)際上常考慮近鄰原子數(shù)目)它可以描述晶體中粒子排列的緊密程度，粒子排列越緊密，配位數(shù)越大。2.密堆積(close-packed)如果晶體由完全相同的一種粒子組成,而粒子被看作小圓球,這些全同的小圓球最緊密的堆積稱為密堆積.五、密堆積、配位數(shù)和致密度1.配位數(shù)(coordinati

第一層：每個(gè)球與6個(gè)球相切，有6個(gè)空隙，如編號(hào)1,2,3,4,5,6第二層：占據(jù)1,3,5空位中心第三層：在第一層球的正上方形成ABABAB······排列方式(1)六角密積(hexagonalclose-packedstructure,簡(jiǎn)寫HCP)AB六角密積是復(fù)式晶格,其布拉維晶格是簡(jiǎn)單六角晶格,有12個(gè)最近鄰,配位數(shù)為12.基元由兩個(gè)原子組成,一個(gè)位于(0,0,0),另一個(gè)原子位于第一層：每個(gè)球與6個(gè)球相切，有6個(gè)空隙，如編號(hào)1,2,3(2)立方密積

第一層：每個(gè)球與6個(gè)球相切，有6個(gè)空隙，如編號(hào)為1,2,3,4,5,6。第二層：占據(jù)1，3，5空位中心。

第三層：占據(jù)2,4,6空位中心,按ABCABCABC······方式排列，形成面心立方結(jié)構(gòu),稱為立方密積。BAC有12個(gè)最近鄰，配位數(shù)為12(2)立方密積第一層：每個(gè)球與6個(gè)球相切，有6個(gè)空隙，如

密堆積特點(diǎn)