一、選擇題1．(教材改編題)b是平面α外一條直線，下列條件中可得出b∥α的是()A．b與α內(nèi)一條直線不相交B．b與α內(nèi)兩條直線不相交C．b與α內(nèi)無數(shù)條直線不相交D．b與α內(nèi)任意一條直線不相交[答案]D[解析]只有在b與α內(nèi)所有直線都不相交，即b與α無公共點(diǎn)時(shí)b∥α.2．過直線a外兩點(diǎn)作與a平行的平面，這樣的平面()A．不可作 B．只能作一個(gè)C．可作無數(shù)個(gè) D．以上均可能[答案]D[解析]設(shè)過直線a外兩點(diǎn)的直線為l.若l與a相交，則與a平行的平面不可作；若l與a異面，則與a平行的平面只能作一個(gè)；若l與a平行，則與a平行的平面可作無數(shù)個(gè)．3．已知兩條直線m、n，兩個(gè)平面α、β.給出下面四個(gè)命題：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，mα，nβ?m∥n；③m∥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.其中正確命題的序號是()A．①③ B．②④C．①④ D．②③[答案]C[解析]兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面，故①正確；兩平面平行，分別在這兩平面內(nèi)的兩直線可能平行，也可能異面，故②錯(cuò)；m∥n，m∥α?xí)r，n∥α或nα，故③錯(cuò)；由α∥β，m⊥α得m⊥β，由m⊥β，n∥m得n⊥β，故④正確．4．如下圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，過BC的平面與平面PAD交于EF，則四邊形EFBC是()A．空間四邊形 B．平行四邊形C．梯形 D．以上都有可能[答案]C[解析]∵BC綊AD，由線面平行性質(zhì)定理知BC∥EF，又EF<AD，∴四邊形BCEF為梯形．5．(2022·四川理，3)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面[答案]B[解析]本題主要考查空間直線的位置關(guān)系，(A)如l1、l3共面為α，而l2⊥α，則A不對；(B)正確(C)可形成3個(gè)平面；(D)l1、l2、l3共點(diǎn)可形成3個(gè)平面，故選B.6．(文)如下圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°[答案]C[解析]∵截面PQMN為正方形，∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ平面ABC，∴PQ∥AC，同理可證QM∥BD.故選項(xiàng)A、B、D正確，C錯(cuò)誤．(理)已知平面α∥平面β，P是α、β外一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線m與α、β分別交于A、C，過點(diǎn)P的直線n與α、β分別交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長為()A．16 B．24或eq\f(24,5)C．14 D．20[答案]B[解析]根據(jù)題意可出現(xiàn)以下如圖兩種情況可求出BD的長分別為eq\f(24,5)或24.二、填空題7．在四面體ABCD中，M、N分別是面△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．[答案]平面ABC與平面ABD[解析]連BN延長交CD于點(diǎn)E，連AM并延長也與CD交于E點(diǎn)(因?yàn)镋為CD中點(diǎn))，又eq\f(EM,AM)＝eq\f(EN,BN)＝eq\f(1,2)，故MN∥AB.8．已知平面α∩β＝m，直線n∥α，n∥β，則直線m、n的位置關(guān)系是________．[答案]m∥n[解析]在α內(nèi)取點(diǎn)A?m，則點(diǎn)A與n確定一平面θ，且θ∩α＝a.同理可作平面γ且γ∩β＝b.∵n∥α，n∥β，∴n∥a，n∥b.∴a∥b.∵aβ，bβ，∴a∥β.∵aα，α∩β＝m，∴a∥m，∴n∥m.三、解答題9．(文)(2022·江蘇，16)如下圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.[解析]證明：(1)在△PAD中，因?yàn)镋、F分別為AP、AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD.又因?yàn)镋F平面PCD，PD平面PCD.所以直線EF∥平面PCD.(2)連接BD.因?yàn)锳B＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.(理)(2022·山東文，19)如下圖，在四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)證明：AA1⊥BD；(2)證明：CC1∥平面A1BD.[解析](1)證明：∵DD1⊥平面ABCD，BD平面ABCD∴DD1⊥BD，又∵AB＝2AD且∠BAD＝60°∴由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD即BD＝eq\r(3)AD，∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD又∵AD∩DD1＝D∴BD⊥平面ADD1A1，又∵AA1平面ADD1A1，∴BD⊥AA1(2)連接AC，交BD于M，連接A1M，A1C1，∵底面ABCD是平行四邊形，∴AM＝CM＝eq\f(1,2)AC又∵AB＝2AD＝2A1B1∴A1G綊CM，即四邊形A1MCC1是平行四邊形；∴CC1∥AM1，又∵CC1平面A1BD，A1M平面A1BD∴CC1∥平面A1BD.一、選擇題1．(文)設(shè)m，l是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，mα，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，mα，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m[答案]B[解析]兩平行線中一條垂直于一個(gè)平面，另一條邊垂直于這個(gè)平面，故選B.(理)已知兩條互不重合的直線m、n，兩個(gè)互不重合的平面α、β，給出下列命題：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，則α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，則α∥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3[分析]本題考查線面的位置關(guān)系．雖然是一道單選題，但更似一道多選題，對所述四個(gè)命題的判斷有一個(gè)出錯(cuò)就不可能產(chǎn)生正確結(jié)果．[答案]B[解析]命題①是正確的；命題②不正確，很容易找到反例；命題③也不正確，可以構(gòu)造出α∥β的情形；命題④也不正確，可以構(gòu)造出α⊥β的情形．2．如下圖所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，點(diǎn)E、F、H、K分別為AC′、CB′、A′B、B′C′的中點(diǎn)，G為△ABC的重心，從K、H、G、B′中取一點(diǎn)作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為()A．K B．HC．G D．B′[答案]C[解析]如下圖所示，若取K點(diǎn)為P點(diǎn)，連接FK，則FK∥CC′.故CC′∥面KEF而其他側(cè)棱AA′、BB′均與CC′平行．故此時(shí)與面PEF平行的有3條棱．若取H點(diǎn)為P點(diǎn)，可以得面HEF∥面ABC∥面A′B′C′，則與面PEF平行的棱有上下底面中的6條棱；若取G點(diǎn)為P點(diǎn)，AB∥EF，A′B′∥EF，故只有棱AB，A′B′與面PEF平行；若取B′點(diǎn)為P點(diǎn)，AB∥EF，只有棱AB與面PEF平行．二、填空題3．如下圖所示，ABCD是空間四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊上的點(diǎn)，它們共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，當(dāng)EFGH是菱形時(shí)，AE:EB＝________.[答案]m:n[解析]如下圖所示，設(shè)AE＝a，EB＝b，由EF∥AC可得EF＝eq\f(bm,a＋b).同理EH＝eq\f(an,a＋b).∵EF＝EH，∴eq\f(bm,a＋b)＝eq\f(an,a＋b)，于是eq\f(a,b)＝eq\f(m,n).4．正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，E為A1B1中點(diǎn)，過E、C1、C作一截面，則截面的面積為________．[答案]eq\f(\r(5),2)a2[解析]設(shè)截面與AB的交點(diǎn)為F，由題意可知截面EFCC1為一矩形，且EC1＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)a，C1C＝a.∴截面面積為EC1·C1C＝eq\f(\r(5),2)a2.三、解答題5．(文)如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D點(diǎn)為棱AB的中點(diǎn)．求證：AC1∥平面CDB1.[解析]如下圖，連接BC1，交B1C于點(diǎn)E，連接DE，則BC1與B1C互相平分．∴BE＝C1E，又AD＝BD，∴DE為△ABC1的中位線，∴AC1∥DE，又DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(理)如下圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PAD；(2)求三棱錐E－ABC的體積V.[解析]本題考查線面平行的判定，三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力，推理論證能力．(1)在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)連接AE，AC，EC，過E作EG∥PA交AB于點(diǎn)G，則EG⊥平面ABCD，且EG＝eq\f(1,2)PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝eq\r(2)，EG＝eq\f(\r(2),2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2)，∴VE—ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·EG＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).6．(2022·北京文，17)如下圖，在四面體PABC中，PC⊥AB、PA⊥BC，點(diǎn)D、E、，F(xiàn)、G分別是棱AP、CC、BC、PB的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；(3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由．[解析](1)因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PC，又因?yàn)镈E平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四邊形DEFG為平行四邊形，又因?yàn)镻C⊥AB，所以DE⊥DG，所以四邊形DEFG為矩形．(3)存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝eq\f(1,2)EG，分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN.與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QM＝QN＝eq\f(1,2)EG，所以Q為滿足條件的點(diǎn)．7．(文)如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱BB1和DD1中點(diǎn)．(1)求證：平面FB1C1∥平面ADE；(2)試在棱DC上求一點(diǎn)M，使D1M⊥平面ADE.[解析](1)可證AD∥平面FB1C，AE∥平面FB1C1∵AD∩AE＝A，AD，AE平面ADE∴平面ADE∥平面FB1C1.(2)M應(yīng)是DC的中點(diǎn)，此時(shí)∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M平面DD1C1C，∴B1C1⊥D1M由平面幾何知識FC1⊥D1MFC1∩B1C1＝C1，F(xiàn)C1，B1C1平面FB1C1∴D1M⊥平面FB1C1，又由(1)知平面ADE∥平面FB1C1∴D1M⊥平面ADE.(理)已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB(如下圖1)．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB(如下圖2)，連接AC，AB，設(shè)M是AB的中點(diǎn)．(1)求證：BC⊥平面AEC；(2)判斷直線EM是否平行于平面ACD，并說明理由．[解析](1)在下圖1中，過C作CF⊥EB于F，∵DE⊥EB，∴四邊形CDEF是矩形，∵CD＝1，EF＝1.∴四邊形ABCD是等腰梯形，AB＝3.∴A