第五章圓軸的扭轉(zhuǎn)第五章圓軸的扭轉(zhuǎn)§5.1

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)所受外力的分析與計(jì)算§5.1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)所受外力的分析與計(jì)算扭轉(zhuǎn)的概念工程實(shí)例當(dāng)用改錐起螺釘時(shí)，在改錐柄處受到一個(gè)力偶m的作用，改錐下端則受到一個(gè)由螺釘給它的等值反向力偶的作用。這兩個(gè)力偶所在的平面均與桿的軸線垂直，改錐的這種受力形式稱為扭轉(zhuǎn)。

改錐扭轉(zhuǎn)的概念工程實(shí)例當(dāng)用改錐起螺釘時(shí)，在改錐柄處受到一個(gè)力偶m扭轉(zhuǎn)的概念反應(yīng)釜攪拌軸化工生產(chǎn)設(shè)備反應(yīng)釜中的攪拌軸，軸的上端受到由減速機(jī)輸出的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩mC，下端攪拌槳上受到物料的阻力形成的阻力矩mA，當(dāng)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)力偶矩大小相等、方向相反、都作用在與軸線垂直的平面內(nèi)。攪拌軸的這種受力形式也是扭轉(zhuǎn)。扭轉(zhuǎn)的概念反應(yīng)釜攪拌軸化工生產(chǎn)設(shè)備反應(yīng)釜中的攪拌軸，軸的上端扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的特點(diǎn)受力特點(diǎn)在垂直桿軸的橫截面上作用著大小相等、方向相反的力偶。變形特點(diǎn)當(dāng)構(gòu)件受扭時(shí)，直桿上縱向直線變成螺旋線，各橫截面繞軸線產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)（錯(cuò)動(dòng)），這種變形即被稱為扭轉(zhuǎn)變形。扭轉(zhuǎn)角jB端面相對(duì)于A端面的轉(zhuǎn)角。

——縱向線的傾斜角。扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的特點(diǎn)受力特點(diǎn)在垂直桿軸的橫截面上作用著大扭轉(zhuǎn)的概念圓軸的扭轉(zhuǎn)工程上，多數(shù)軸是等截面直軸。本章也只討論圓截面直軸的扭轉(zhuǎn)問題。以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的構(gòu)件通稱為軸。扭轉(zhuǎn)的概念圓軸的扭轉(zhuǎn)工程上，多數(shù)軸是等截面直軸。本章也只討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力扭轉(zhuǎn)時(shí)外力偶矩的計(jì)算P、nmAoFRωkwr/minN·m圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力扭轉(zhuǎn)時(shí)外力偶矩的計(jì)算P、nmAoFRωkw圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力關(guān)系式的物理意義當(dāng)軸傳遞的功率一定時(shí)，n越大，m越小，即：轉(zhuǎn)速越大，軸傳遞的扭轉(zhuǎn)力矩越小；反之，轉(zhuǎn)數(shù)越低則外力矩越大。

減速機(jī)：高速軸——細(xì)軸，低速軸——粗軸化工設(shè)備廠卷制鋼板圓筒用的卷板機(jī)，工作時(shí)滾軸所需力矩很大，因?yàn)楣β适艿揭欢ǖ南拗疲灾荒軠p低滾軸的轉(zhuǎn)數(shù)n來增大力矩M。

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力關(guān)系式的物理意義當(dāng)軸傳遞的功率一定時(shí)，n越大圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力當(dāng)軸的轉(zhuǎn)速一定時(shí)，軸所傳遞的功率將隨所受扭轉(zhuǎn)力矩的增大而增大；增大機(jī)器轉(zhuǎn)速，往往會(huì)使整個(gè)傳動(dòng)裝置所傳遞的功率加大，并使電機(jī)過載，所以不能隨意提高機(jī)器的轉(zhuǎn)速；在選擇減速機(jī)型號(hào)或確定電動(dòng)機(jī)的額定功率時(shí)，應(yīng)考慮整個(gè)操作周期中的最大阻力矩，以免燒壞電動(dòng)機(jī)。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力當(dāng)軸的轉(zhuǎn)速一定時(shí)，軸所傳遞的功率將隨所受扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力(扭矩)的計(jì)算實(shí)例：攪拌軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力(扭矩)的計(jì)算實(shí)例：攪拌軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力(扭矩)的計(jì)算扭矩的概念扭矩是伴隨圓軸的扭轉(zhuǎn)變形而產(chǎn)生的，它的作用是抵抗外力矩對(duì)該截面的破壞，因此扭矩應(yīng)該與截面一側(cè)所受的外力矩平衡。在扭轉(zhuǎn)時(shí)，圓軸橫截面上必有內(nèi)力偶矩存在，這個(gè)內(nèi)力偶矩叫做扭矩，用MT表示。扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力(扭矩)的計(jì)算扭矩的概念扭矩是伴隨圓軸的扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力(扭矩)的計(jì)算扭矩的計(jì)算法則扭矩的大小等于截面一側(cè)所有外力偶矩的代數(shù)和。扭矩正、負(fù)的規(guī)定：按右手螺旋法則，大拇指的指向與截面的外法線方向一致為正；反之為負(fù)。扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力(扭矩)的計(jì)算扭矩的計(jì)算法則扭矩的大小扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力(扭矩)的計(jì)算用右手的四指沿著外力偶矩的旋轉(zhuǎn)方向彎曲，如果大拇指的指向背離所討論的截面，則認(rèn)為該外力偶在該截面上所引起的扭矩為正，反之取負(fù)。扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力(扭矩)的計(jì)算用右手的四指沿著外力偶矩的例題分析例題1：如圖所示的傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速為n＝200r／min，由主動(dòng)輪A輸入功率PA=15kW，由從動(dòng)輪B和C輸出的功率分別為PB=9kW和PC=6kW。試求1-1截面和2-2截面的扭矩。例題分析例題1：如圖所示的傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速為n＝200r／min例題分析解：首先求外力偶矩的大小：

mA=9550PA/n=9550×(15/200)=716N·m

mB=9550PB/n=9550×(9/200)=430N·m

mC=9550PC/n=9550×(6/200)=287N·m2-2截面

MT2=mC=287N·m1-1截面MT1=mB＋mC=716N·m++287N·m716N·mxMT扭矩圖例題分析解：首先求外力偶矩的大小：

mA=9550例題分析2-2截面

MT2=mC=287N·m1-1截面MT1=－mB=－430N·m-+287N·m430N·mxMT扭矩圖結(jié)論：當(dāng)一根軸上作用有多個(gè)阻力偶矩時(shí)，驅(qū)動(dòng)力偶矩施加的位置以及各阻力偶矩的位置安排，均會(huì)影響軸的最大扭矩。例題分析2-2截面MT2=mC=287N·m-§5.3

圓軸在外力偶作用下的變形與內(nèi)力§5.3圓軸在外力偶作用下的變形與內(nèi)力角應(yīng)變衡量剪切變形程度的角γ，稱為角應(yīng)變xyzτττ’τ’γΔΔxΔyΔz兩截面間的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)量角應(yīng)變衡量剪切變形程度的角γ，稱為角應(yīng)變xyzτττ’τ’γ剪切虎克定理試驗(yàn)證明：在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限τP時(shí)，τ與γ之間成正比關(guān)系，即：τ=G·γ，此為剪切虎克定律。G——材料的剪切彈性模量（MPa)反映材料抵抗剪切變形的能力。例如：鋼的G=8·104MPa三個(gè)有關(guān)材料彈性的常數(shù)：E、μ、G，對(duì)于各向同性材料：oτPτγ剪切虎克定理試驗(yàn)證明：在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料變形分析實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象變形前畫在表面上的圓周線的形狀、大小都沒有改變，兩相鄰圓周線之間的距離也沒有改變；只是n-n、m-m都繞各自形心產(chǎn)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。表面上縱向線變形后仍為直線，只是都傾斜了同一角度γ

，原來的矩形變成平行四邊形。變形分析實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象變形前畫在表面上的圓周線的形狀、大小都沒有改變形分析各橫截面的大小、形狀在變形前后都沒有變化，仍是平面，只是相對(duì)地轉(zhuǎn)過了一個(gè)角度，各橫截面間的距離也不改變，從而可以說明軸向纖維沒有拉、壓變形，所以，在橫截面上沒有正應(yīng)力產(chǎn)生；

圓軸各橫截面在變形后相互錯(cuò)動(dòng)，矩形變?yōu)槠叫兴倪呅危@正是前面討論過的剪切變形，因此，在橫截面上應(yīng)有剪應(yīng)力；變形后，橫截面上的半徑仍保持為直線，而剪切變形是沿著軸的圓周切線方向發(fā)生的。所以剪應(yīng)力的方向也是沿著軸的圓周的切線方向，與半徑互相垂直。推理結(jié)果變形分析各橫截面的大小、形狀在變形前后都沒有變化，仍是平面，剪應(yīng)變?cè)跈M截面上的分布規(guī)律

表示圓軸在n-n截面處的扭轉(zhuǎn)變形程度b點(diǎn)的角應(yīng)變：結(jié)論：橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)變（角應(yīng)變）與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，即剪應(yīng)變隨半徑按線性規(guī)律變化。剪應(yīng)變?cè)跈M截面上的分布規(guī)律表示圓軸在n-n截面處的扭剪應(yīng)力的分布當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料剪切比例極限時(shí)，由剪切虎克定律τ=Gγ得橫截面剪應(yīng)力分布規(guī)律：結(jié)論：剪應(yīng)力沿橫截面的半徑方向按線性規(guī)律分布；同一半徑ρ的圓周上各點(diǎn)處的剪應(yīng)力τ

ρ相同，且τ

ρ的方向垂直于半徑；截面中心處τ

＝０，邊緣處τ

最大剪應(yīng)力的分布當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料剪切比例極限時(shí)，由剪切虎克定律剪應(yīng)力的分布剪應(yīng)力的分布剪應(yīng)力的計(jì)算（靜力平衡關(guān)系）軸的轉(zhuǎn)速n和功率P外力偶矩m截面上的扭矩M

Tτ

ρ?剪應(yīng)力的計(jì)算（靜力平衡關(guān)系）軸的轉(zhuǎn)速n和功率P外力偶矩m截面剪應(yīng)力的計(jì)算（靜力平衡關(guān)系）橫截面上的扭矩M

T與τ

ρ的關(guān)系oτ

ρτ

maxM

TρdAτ

ρ·dA橫截面上的扭矩M

T與的關(guān)系Iρ剪應(yīng)力的計(jì)算（靜力平衡關(guān)系）橫截面上的扭矩MT與τρ的關(guān)剪應(yīng)力的計(jì)算（靜力平衡關(guān)系）極慣性矩，與截面尺寸有關(guān)的幾何量單位：m4或mm4扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的計(jì)算式橫截面上距軸心為ρ處的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力τ

ρ為：剪應(yīng)力的計(jì)算（靜力平衡關(guān)系）極慣性矩，與截面尺寸有關(guān)的幾何量剪應(yīng)力的計(jì)算（靜力平衡關(guān)系）最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力τ

max

出現(xiàn)在圓軸橫截面的外圓周上，其值為：Wρ抗扭截面模量，與截面尺寸有關(guān)的幾何量單位：m3或mm3剪應(yīng)力的計(jì)算（靜力平衡關(guān)系）最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力τmax出現(xiàn)在極慣性矩Iρ和抗扭截面模量Wρ的計(jì)算極慣性矩Iρ與抗扭截面模量Wρ是與截面尺寸和形狀有關(guān)的幾何量，可以按下述方法計(jì)算。

oRrdrD

實(shí)心圓軸如圖，可以取一圓環(huán)形的微面積dA，則dA=2p·r·dr，因此

極慣性矩Iρ和抗扭截面模量Wρ的計(jì)算極慣性矩Iρ與抗扭截面模極慣性矩Iρ和抗扭截面模量Wρ的計(jì)算外徑為D，內(nèi)徑為d的空心圓軸極慣性矩Iρ和抗扭截面模量Wρ的計(jì)算外徑為D，內(nèi)徑為d的空心例題分析例1.設(shè)攪拌軸的轉(zhuǎn)速為n＝50r/min，攪拌功率為P=2kW，攪拌軸的直徑d=40mm，求軸內(nèi)的最大應(yīng)力。

解：軸的外力偶矩為抗扭截面模量為桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大剪應(yīng)力為

例題分析例1.設(shè)攪拌軸的轉(zhuǎn)速為n＝50r/min，攪拌功率為例題分析例2.

有一實(shí)心圓軸，直徑為d=81mm；另一空心軸的內(nèi)徑為d=62mm，外徑為D=102mm，這兩根軸的截面積相同，等于51.5cm2。試比較這兩根軸的抗扭截面模量。

解:實(shí)心軸空心軸結(jié)論:在材料相同、截面積相等的情況下，空心軸比實(shí)心軸的抗扭能力強(qiáng)，能夠承受較大的外力矩。在相同的外力矩情況下，選用空心軸要比實(shí)心軸省材料。例題分析例2.有一實(shí)心圓軸，直徑為d=81mm；另一空心軸扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算軸受扭轉(zhuǎn)作用時(shí)所產(chǎn)生的變形，是用兩橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j表示的，如圖：

若在長(zhǎng)為l的一段圓軸內(nèi)，各橫截面上的扭矩相同，則這段軸兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：圓軸的抗扭剛度，反映圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算軸受扭轉(zhuǎn)作用時(shí)所產(chǎn)生的變形，是用兩橫截面之間的相扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算為了便于比較，工程上一般都用單位軸長(zhǎng)上的扭轉(zhuǎn)角q表示扭轉(zhuǎn)變形的大小：N·mm4Pa工程實(shí)際中規(guī)定的許用扭轉(zhuǎn)角[q]是以°/m為單位的，因此可將扭轉(zhuǎn)角改為:

扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算為了便于比較，工程上一般都用單位軸長(zhǎng)上的扭轉(zhuǎn)角q§5.4

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件與剛度條件§5.4圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件與剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件為保證軸正常安全工作,必須使軸的危險(xiǎn)截面上的最大剪應(yīng)力不超過材料的扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力［τ］，即軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為：在確定軸的危險(xiǎn)截面時(shí)，既要考慮扭矩的大小，也要注意軸的薄弱截面。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件為保證軸正常安全工作,必須使軸的危險(xiǎn)截面圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件［τ］——扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力，其確定方法：１）根據(jù)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)得到：τs（塑性材料），τb（脆性材料），除以適當(dāng)?shù)陌踩禂?shù)：２）在靜載荷作用下：［τ］與［σ］之間的關(guān)系：３）對(duì)傳動(dòng)軸，承受動(dòng)載荷，發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)的組合變形，因此許用剪應(yīng)力應(yīng)低于靜載荷下的［τ］，具體根據(jù)有關(guān)規(guī)定選取。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件［τ］——扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力，其確定方法：１圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件圓軸受扭轉(zhuǎn)時(shí)，除了考慮強(qiáng)度條件外，有時(shí)還要滿足剛度條件。例如機(jī)床的主軸，若扭轉(zhuǎn)變形太大，就會(huì)引起劇烈的振動(dòng)，影響加工工件的質(zhì)量。因此還需對(duì)軸的扭轉(zhuǎn)變形有所限制。[q]的規(guī)定：精密機(jī)械的軸[q]＝(0.15o~0.5o)/m

一般傳動(dòng)軸[q]＝(0.5o~1.0o)/m

較低精度的軸[q]＝(2o~4o)/m圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件圓軸受扭轉(zhuǎn)時(shí)，除了考慮強(qiáng)度條件外，有時(shí)還圓軸強(qiáng)度和剛度條件的應(yīng)用校核軸的強(qiáng)度、剛度。（已知載荷和軸的尺寸）設(shè)計(jì)軸的尺寸大小。（已知載荷）計(jì)算許可載荷。（已知軸尺寸）一般按計(jì)算d，用校核剛度條件。一般按計(jì)算載荷，用校核剛度條件。圓軸強(qiáng)度和剛度條件的應(yīng)用校核軸的強(qiáng)度、剛度。（已知載荷和軸的例題分析例3.

某攪拌反應(yīng)器的攪拌軸傳遞的功率P=5kW，空心圓軸的材料為45號(hào)鋼，a=d/D=0.8，轉(zhuǎn)速n＝60r/min，[t]=40MPa，[q]=0.5°/m，G=8.1×104＝MPa，試計(jì)算軸的內(nèi)、外徑尺寸d與D各為多少?解：（1）計(jì)算外力矩軸的橫截面上的扭矩例題分析例3.某攪拌反應(yīng)器的攪拌軸傳遞的功率P=5kW，空例題分析（２）由強(qiáng)度條件得：（3）由剛度條件得：例題分析（２）由強(qiáng)度條件得：（3）由剛度條件得：例題分析故選D=56mm，d=0.8D=44.8mm。如用無縫鋼管作軸，則按管徑規(guī)格，可選D=60mm，d=46mm，即用f60×7的無縫鋼管。例題分析故選D=56mm，d=0.8D=44.8mm。如用材料力學(xué)部分小結(jié)

材料力學(xué)的主要任務(wù)是解決構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定問題。通過計(jì)算，合理的選擇材料以及截面的形狀和尺寸，保證構(gòu)件的安全和經(jīng)濟(jì)。基本變形小結(jié)對(duì)一個(gè)實(shí)際的受力桿件，先要進(jìn)行受力分析：根據(jù)外力的特點(diǎn)，判斷它產(chǎn)生哪種基本變形。五種基本變形又可歸納為兩類：拉壓彎曲是尺寸變化的線應(yīng)變；剪切和扭轉(zhuǎn)是形狀變化的角應(yīng)變。材料力學(xué)部分小結(jié)材料力學(xué)的主要任務(wù)是解決構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度材料力學(xué)部分小結(jié)通常根據(jù)已知的載荷求得支座反力后，才能用截面法求得桿件橫截面上的內(nèi)力；軸力沿桿軸線方向、剪力垂直于桿軸線、扭矩作用面垂直于軸線、彎矩作用在軸線平面內(nèi)。通過觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，作出桿件橫截面的平面假設(shè)，找到變形規(guī)律后，結(jié)合虎克定律，確定橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律。有均勻分布和線性分布兩種。

材料力學(xué)部分小結(jié)通常根據(jù)已知的載荷求得支座反力后，才能用截面材料力學(xué)部分小結(jié)強(qiáng)度計(jì)算是材料力學(xué)的主要問題之一，應(yīng)用強(qiáng)度條件可以解決桿件的三類強(qiáng)度問題，校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面、確