唯一性定理與靜電屏蔽靜電屏蔽問題：要把它的原理真正說透，需要用到唯一性定理.唯一性定理與靜電屏蔽靜電屏蔽問題：1(a)殼外面有若干正、負帶電體，腔內無帶電體。殼外電場對殼內電場沒影響.(b)將帶電體放入腔內，而殼外無帶電體，外部空間殼內電場對殼外電場沒影響.

導體殼接地.(c)將(a)、(b)合并在一起。問題：(c)這時殼內、外電場的平衡分布是否各與圖(a)、(b)一樣？答案是肯定的，這是可能的。(a)殼外面有若干正、負帶電體，腔內無帶電體。2（1）、當殼外部電荷和電場分布的環境如(a)時，它在腔內不產生電場，從而腔內的帶電體所處的環境如(b)一樣。（2）、當內部電荷和電場分布如(b)時，它在殼外不產生電場，從而殼外帶電體處的環境如(a)一樣。當殼內、外帶電體同時存在時，若殼內、外的電荷和電場分部分別與(a)、(b)相同的分布，是可以達到靜電屏蔽的。（1）、當殼外部電荷和電場分布的環境如3問題：空腔內、外帶電體在相互影響下，是

否達到另一種與此不同的平衡分布？唯一性定理將告訴我們，這是不可能的。由高斯定理：問題：空腔內、外帶電體在相互影響下，是

4

泊松方程

5如果知道電荷分布，可以解Poisson方程，求電勢——》電場強度E。但還不夠，因為Poissoneq.沒有包括邊界條件。邊界條件：各導體的大小、位置、形狀、電勢、電荷、空間邊界面上的電勢。如果知道電荷分布，可以解Poisson方程，6實際中的靜電學問題是:大多不是已知電荷分布求電場分布.而是通過一定的電極來控制(各帶電導體的形狀,大小,導體之間的相對位置

各導體的電勢或各導體上的電量)

實現某種所要求的空間電場分布.前提是:給定各帶電導體的幾何形狀,相互位置外.每個導體的電勢ui每個導體上的總電量Qi實際中的靜電學問題是:大多不是已知電荷分布求電場分布.而7如果知道電荷分布，可以解Poissoneq.求UE,但不能確定具體的電場分布，必須附加一些條件(如開始電場狀態－初值問題、或在邊界上受到外界的約束－邊界問題）后，就能完全確定具體電場分布。

邊界條件是很重要的方法：分析實際問題，引入試探性解到Poissoneq.+邊界條件。如果都滿足，則：試探解就是方程的解。但是否唯一？如果知道電荷分布，可以解Poissoneq.8物理上：

要確定給定區域各點的電場強，除知道電荷分布，還必須知道區域的邊界面的各點電勢值。

電勢可以反映區域外部的電荷分布對區域各點電場的貢獻.物理上：

要確定給定區域各點的電場強，除知道電荷分9二、唯一性定理的表述

假設所研究空間V,界面S,V內有若干導體，如A,B,導體A的表面為S1,導體B的表面為S2,如果V是整個空間，邊界S在無窮遠，把除了導體A,B之外的空間為V’,V’的邊界包括S,S1,S2……。為了唯一的確定空間的電場分布，除了知道電荷分布外，還需要知道其它條件：二、唯一性定理的表述假設所研究空間V10（1）邊界面上的電勢和各導體上的電勢。（2）邊界面上的電勢和各導體上的帶電量給定。由條件，將分為兩類問題來考慮：（1）對于第一類問題，唯一性定理表述如下：設V’內有給定的電荷分布，并在邊界S,Si都有給定的電勢，和或者給定，V’電場被唯一的確定。（1）邊界面上的電勢和各導體上的電勢。11對于第二類問題，唯一性定理表述如下：

設V’空間內的電荷分布給定，并給定邊界S上的電勢或，以及每個導體上所帶電荷量Qi,則V’內的電場被唯一地確定了。對于第二類問題，唯一性定理表述如下：12三、數學準備三、數學準備13

格林第一定理

14格林第二定理唯一性定理與靜電屏蔽課件15四、證明唯一性定理用反證法假設滿足同樣條件地有兩個解、

令

如果：

則四、證明唯一性定理用反證法16要證明：

即證明有兩種解是不可能的。

要證明：17第一類問題的證明

設：都是方程的解(1)它們滿足Poissoneq.

那么：第一類問題的證明設：18再看邊界條件：（2）它們都必須滿足邊界條件：

在S上：

在Si上：再看邊界條件：19或在S面上：所以，u’滿足：方程

邊界條件或在S面上：20或要證明：利用格林定理，令：或21唯一性定理與靜電屏蔽課件22

所以u’是常數。

進一步利用邊界條件：即在S,Si處u’=0所以u’處處等于零，即：

在滿足邊界條件下，只有一個解！

所以u’是常數。23第二類問題的證明：證明：假設有兩個解u1,u2

設：U’=u1-u2

(1)它們滿足Poissoneq.

第二類問題的證明：證明：假設有兩個解u1,u224(2).導體上的電量給定：（3）u1,u2滿足邊界條件：

(2).導體上的電量給定：25OrOr26(4).靜電平衡，導體是個等勢體，應用格林定理：(4).靜電平衡，導體是個等勢體，27所以：結合邊界條件：

只有一個解。所以：28五、用唯一性定理解釋靜電屏蔽空腔導體內有導體A,B,空腔外有導體C,D.分別帶電qA,qB,qc,qD空腔外表面為S1,內表面S2V1指殼外空間，殼外V1的邊界為S1因接地，有V2指殼內空間，五、用唯一性定理解釋靜電屏蔽空腔導體內有導體A,B,空29導體C,Dqc,qD給定，或給定.

在這些情況下，殼外：V1的電場分布是唯一確定，殼內狀態對V1的場沒有影響。

殼內：V2的邊界S2,qA,qB已給定，或者，uA,uB給定，V2內的電場被唯一確定了，V2之外V1的狀態對V2沒有影響。導體C,D30例題1：一個點電荷＋q旁邊有一無限大導體平板(接地），試求，靜電平蔽時平板上的電荷分布。

分析：由于靜電感應，在導體平板表面右側，將有一定的負電荷分布，由于導體平板的屏蔽作用，導體左方的半無窮大空間不會有電場存在，也不會有感應電荷分布。

方法：為了計算導體平板右側空間各點的電場強度和表面各點的感應電荷密度，在左側與＋q相對稱的位置放置一等量異號的點電荷（假想），并將平板拿掉。例題1：一個點電荷＋q旁邊有一無限大導體平板(接地），試求31唯一性定理與靜電屏蔽課件32

+q點電荷位于一無限大接地導體的前面，距離為d，則在導體表面將有感應電荷，感應電荷的分布比較復雜，導體外側的電場由點電荷和感應電荷共同產生，所產生的場在邊界上滿足U|s=0。

我們可以把感應電荷的貢獻用一虛擬（鏡像）電荷來替代，問題是要找出該鏡像電荷的位置和數值。根據唯一性定理，所得到的解將是唯一正確的解。1.點電荷對無限大接地導體的鏡像+q點電荷位于一無限大接地導體的前面，距離為d，則在導體表33鏡像的電荷：q’=-q，鏡像的位置：-d由q和q’組成的系統正好滿足邊界條件，即：鏡像的電荷：q’=-q，34此題中:區域中只有一個點電荷+q,在邊界上處處u|s=0根據唯一性定理,給定這兩個條件,區域內的電場分布就唯一地確定了.

不論區域外存在的是導體平板上的感應電荷分布還是別的電荷分布,只要它們與區域內的點電荷+q一起,使邊界上電勢處處u|s=0.此題中:區域中只有一個點電荷+q,35x>0區域的電勢為：x>0區域的電場強度為：x>0區域的電勢為：x>0區域的電場強度為：36導體表面的電場強度為：導體表面的感應電荷面密度為：導體表面的總感應電荷為：導體表面的電場強度為：導體表面的感應電荷面密度為：導體表面的37點電荷所受的力

需計算q所在處由感應電荷所產生的電場強度：X=d,y=0,z=0處：點電荷所受的力

需計算q所在處由感應電荷所產生的電38電像法（鏡像法）1、區域中電場：形式上：自由電荷產生的場＋假想中電像電荷產生的場。

實質上：自由電荷產生的場＋導體上感應電荷產生的場。2、假想電荷的位置必須位于所考慮的區域V之外。電像法（鏡像法）1、區域中電場：39以上例題中：區域中只有一個點電荷+q，而在邊界上U|s=0,根據唯一性定理，給定這兩個條件，區域內的電場分布也就唯一地確定了。因此，不論在這區域外存在的是導體上的感應電荷還是別的電荷分布，只要它于區域內點電荷+q一起使邊界面上U|s=0。像電荷與導體上的感應電荷分布在區域內產生的電場必然完全相同，處于對稱位置的等量異號－q與+q在一起所產生的電場，在所考慮的區域邊界面上U|s=0。以上例題中：區域中只有一個點電荷+q，而在邊界上U|s=040唯一性定理與靜電屏蔽課件41例題:有一半徑a的導體球殼接地,球外一個電量為q

與球心的距離為d,求:球外任意一點p處的電勢,空間的電場分布.唯一性定理與靜電屏蔽課件42球面上：U|s=0，設置鏡像電荷q’,位置d’<a,邊界條件要求：U|r=a=0上式對任意的都成立，可改寫為：球面上：U|s=0，設置鏡像電荷q’,位置d’<a,邊界43唯一性定理與靜電屏蔽課件44唯一性定理與靜電屏蔽課件45唯一性定理與靜電屏蔽課件46像電荷：q’=-(a/d)q，位置為：x=a2/d球上另有一均勻分布電荷，Q-q’。這樣既滿足球面總電荷為Q，也滿足球面是等勢面，由唯一性定理知，球外的電勢由三個電荷疊加而成。像電荷：q’=-(a/d)q，位置為：x=a2/d47唯一性定理與靜電屏蔽課件48唯一性定理與靜電屏蔽課件49唯一性定理與靜電屏蔽課件50點電荷對無限大介質平面的鏡像點電荷對無限大介質平面的鏡像51唯一性定理與靜電屏蔽課件52唯一性定理與靜電屏蔽課件53唯一性定理與靜電屏蔽課件54第二章小結1、靜電場中的導體：(1)靜電平衡條件,導體內電場處處為零E導體內=0（2）導體處于靜電平衡時