課時作業(五十七)B[第57講排列、組合][時間：35分鐘分值：80分]eq\a\vs4\al\co1(基礎熱身)1．由0,1,2,3,4這五個數字組成的無重復數字的四位偶數，按從小到大的順序排成一個數列{an}，則a19＝()A．2014B．2034C．1432D．12．有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法種數是()A．1136B．1600C．2736D．13．某學校有教職工100人，其中教師80人，職員20人．現從中選取10人組成一個考察團外出學習考察，則這10人中恰好有8名教師的不同選法的種數是()A．Ceq\o\al(2,80)Ceq\o\al(8,20)B．Aeq\o\al(2,80)Aeq\o\al(8,20)C．Aeq\o\al(8,80)Ceq\o\al(2,20)D．Ceq\o\al(8,80)Ceq\o\al(2,20)4．某外商計劃在5個候選城市投資3個不同的項目，且在同一城市投資項目不超過2個，則他不同的投資方案有()A．60種B．70種C．100種D．120種eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．某校開設10門課程供學生選修，其中A，B，C三門由于上課時間相同，至多選一門，學校規定，每位同學選修三門，則每位同學不同的選修方案種數是()A．120B．98C．63D．6．從1,3,5,7中任取2個數字，從0,2,4,6,8中任取2個數字，組成沒有重復數字的四位數，其中能被5整除的四位數共有()A．252個B．300個C．324個D．228個7．[2022·哈爾濱二模]2022年，哈三中派出5名優秀教師去大興安嶺地區的三所中學進行教學交流，每所中學至少派一名教師，則不同的分配方法有()A．80種B．90種C．120種D．150種8．[2022·岳陽質檢]某校高三師生為“慶元旦·迎新年”舉行了一次聯歡晚會，高三年級8個班中每個班的學生準備了一個節目，且節目單已排好．節目開演前又增加了3個教師的節目，其中有2個獨唱節目，1個朗誦節目，如果將這3個節目插入原節目單中，要求教師的節目不排在第一個和最后一個，并且教師的2個獨唱節目不連續演出，那么不同的排法有()A．294種B．308種C．378種D．392種9．[2022·哈爾濱三模]將甲、乙、丙、丁四名學生分到兩個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同的分法的總數為________(用數字作答)．10．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三個房間內，要求甲、乙兩人不住同一房間，且每個房間最多住兩人，則不同的住宿安排有________種(用數字作答)．11．將24個志愿者名額分配給3個學校，則每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方法共有________種．12．(13分)一次數學考試的第一大題有11道小題，其中第(1)～(6)小題是代數題，答對一題得3分；第(7)～(11)題是幾何題，答對一題得2分．某同學第一大題對6題，且所得分數不少于本題總分的一半，問該同學有多少種答題的不同情況？

eq\a\vs4\al\co1(難點突破)13．(12分)(1)10個優秀指標名額分配給6個班級，每個班至少一個，共有多少種不同的分配方法？(2)在正方體的過任意兩個頂點的所有直線中，異面直線有多少對？

課時作業(五十七)B【基礎熱身】1．A[解析]千位是1的四位偶數有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝18，故第19個是千位數字為2的四位偶數中最小的一個，即2014.2．A[解析]方法一：將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個一等品”，“恰有2個一等品”，“恰有3個一等品”，由分類計數原理有：Ceq\o\al(1,16)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,16)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(3,16)＝1136(種)．方法二：考慮其對立事件：“3個都是二等品”，用間接法：Ceq\o\al(3,20)－Ceq\o\al(3,4)＝1136(種)．3．D[解析]由于結果只與選出的是哪8名教師和哪兩名職員有關，與順序無關，是組合問題．分步計數，先選8名教師再選2名職員，共有Ceq\o\al(8,80)Ceq\o\al(2,20)種選法．4．D[解析]在五個城市中的三個城市各投資一個，有方法數Aeq\o\al(3,5)＝60，將三個項目分為兩組投資到五個城市中的兩個，有方法數Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60，故不同的投資方案有120種．【能力提升】5．B[解析]分兩類：(1)不包含A，B，C的有Ceq\o\al(3,7)種選法；(2)包含A，B，C的有Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(1,3)種選法．所以共有Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(1,3)＝98(種)選法，故應選B.6．B[解析](1)若僅僅含有數字0，則選法是Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)，可以組成四位數Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,3)＝12×6＝72個；(2)若僅僅含有數字5，則選法是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)，可以組成四位數Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝18×6＝108個；(3)若既含數字0，又含數字5，選法是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)，排法是若0在個位，有Aeq\o\al(3,3)＝6種，若5在個位，有2×Aeq\o\al(2,2)＝4種，故可以組成四位數Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)(6＋4)＝120個．根據加法原理，共有72＋108＋120＝300個．7．D[解析]分組法是(1,1,3)，(1,2,2)，共有eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))＋eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝25，再分配，乘以Aeq\o\al(3,3)，即得總數150.8．D[解析]根據題意可將教師的1個朗誦節目排在學生的8個節目中的7個空中的任一個，共有7種排法，然后將教師的2個獨唱節目排在9個節目中的8個空中的2個空中，故共有Ceq\o\al(1,7)Aeq\o\al(2,8)＝392種不同的排法．故選D.9．8[解析]總的分法是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,4)＋\f(C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(2,2)＝14，若僅僅甲、乙分到一個班級，則分法是Aeq\o\al(2,2)＝2，若甲、乙分到同一個班級且這個班級分到3名學生，則分法是Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4，故總數是14－2－4＝8.10．72[解析]甲、乙住在同一個房間，此時只能把另外三人分為兩組，這時的方法總數是Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18，而總的分配方法數是把五人分為三組再進行分配，方法數是eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72種．11．222[解析]總數是Ceq\o\al(2,23)＝253，若有兩個學校名額相同，則可能是1,2,3,4,5,6,7,9,10,11個名額，此時有10Ceq\o\al(2,3)＝30種可能，若三個學校名額相同，即都是8個名額，則只有1種情況，故不同的分配方法數是253－30－1＝222.12．[解答]依題意可知本題的總分的一半是14分，某同學在11題中答對了6題，則至少答對兩道代數題，至多答對4道幾何題，因此有如下答題的情況：(1)代數題恰好對2道，幾何題恰好對4道，此時有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(4,5)＝75種情況；(2)代數題恰好對3道，幾何題恰好對3道，此時有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,5)＝200種情況；(3)代數題恰好對4道，幾何題恰好對2道，此時有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,5)＝150種情況；(4)代數題恰好對5道，幾何題僅對1道，此時有Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(1,5)＝30種情況；(5)代數題全對，幾何題全錯，此時有Ceq\o\al(6,6)Ceq\o\al(0,5)＝1種情況．由分類計數原理得所有可能的答題情況有456種．【難點突破】13．[解答](1)由于是10個名額，故名額和名額之間是沒有區別的，我們不妨把這10個名額在桌面上從左到右一字擺開，這樣在相鄰的兩個名額之間就出現了一個空擋，10個名額之間就出現了9個空擋，我們的目的是把這10個名額分成6份，每份至少一個，那我們只要把這9個空擋中的5個空擋上各放上一個隔板，兩端的隔板外面的2部分，隔板和隔板之間的4部分，這樣就把這10個指標從左到右分成了6份，且滿足每份至少一個名額，我們把從左到右的6份依次給1,2,3,4,5,6班就解決問題了．這里的在9個空擋上放5個隔板的不同方法數，就對應了符合要求的名額分配方法數．這個數不難計算，那就是從9個空擋中選出5個空擋放隔板，不同的放法種數是Ceq\o\al(5,9)＝126.(2)方法一：連成兩條異面直線需要4個點，因此在正方體8個頂點中任取4個點有Ceq\o\al(4,8)種取法．每4個點可分共面和不共面兩種情況，共面的不符合條件，去掉．因為在6個表面和6個體對角面中都有四點共面，故有(Ceq\o\al(4,8)－12)種．不共面的4點可構成四面體，而每個四面體有3對異面直線，故共有3(Ceq\o\al(4,8)－12)＝174對．方法二：一個正方體共有12條棱、12條面對角線、4條體對角線，計28條，任取兩條有