第七章線性代數方程組的迭代法第1頁，課件共21頁，創作于2023年2月§1迭代法基礎

問題

在實際應用中遇到的系數矩陣多為大型稀疏矩陣，如用求解線性方程組的直接法求解，在計算機上會耗費大量的時間和存儲單元。在許多應用問題中使用迭代法。第2頁，課件共21頁，創作于2023年2月思路將改寫為等價形式，建立迭代,從初值出發，得到序列。研究內容：

如何建立迭代格式？

收斂速度？

向量序列的收斂條件？

誤差估計？第3頁，課件共21頁，創作于2023年2月一般迭代法定義1對方程組，化為等價方程組，設為任取的初值，將上式寫為迭代過程這種迭代過程稱為逐次逼近法，B稱為迭代矩陣。若稱逐次逼近法收斂，否則，稱逐次逼近法不收斂或發散。第4頁，課件共21頁，創作于2023年2月問題：按上述思想迭代產生的向量序列在什么條件下收斂于方程組Ax=b的解？引進誤差向量：，其中為方程組的解，即有所以，要使收斂到，則需研究在什么條件下有。第5頁，課件共21頁，創作于2023年2月迭代法的收斂條件與誤差估計引理

當k

時，Bk0

(B)<1定理1

設有線性方程組，那么逐次逼近法對任意初始向量收斂的充分必要條件是迭代矩陣B的譜半徑

(B)<1。注：要檢驗一個矩陣的譜半徑小于1比較困難，

所以我們希望用別的辦法判斷收斂性。

第6頁，課件共21頁，創作于2023年2月注:1.因為矩陣范數都可以直接用矩陣的元素計算，因此用定理2，很容易判別逐次逼近法的收斂性。2.定理2是充分條件，當找不到矩陣的某一范數小于1時，并不能判斷迭代法不收斂。①②定理2設線性方程組有惟一解，若存在一個矩陣范數使得||B||<1,則迭代收斂,且有下列誤差估計：第7頁，課件共21頁，創作于2023年2月（7.1）

1．雅克比（Jacobi）迭代法設有n階方程組§2幾種常用的迭代法第8頁，課件共21頁，創作于2023年2月若系數矩陣非奇異，且(i=1,2,…,n)，將方程組（7.1）改寫成第9頁，課件共21頁，創作于2023年2月然后寫成迭代格式（7.2）（7.2）式也可以簡單地寫為（7.3）第10頁，課件共21頁，創作于2023年2月記,其中則雅克比迭代法的矩陣形式為：(7.4)稱為雅克比迭代矩陣。第11頁，課件共21頁，創作于2023年2月第12頁，課件共21頁，創作于2023年2月…………寫成矩陣形式：2．高斯――賽得爾(Gauss-Seidel)迭代法(7.5)(7.6)其中稱為高斯―賽得爾迭代矩陣。第13頁，課件共21頁，創作于2023年2月定理4n階矩陣A是嚴格對角占優矩陣的充分必要條件是Jacobi迭代法的迭代矩陣滿足‖BJ‖∞<1。3．Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性定理5如果A是嚴格對角占優矩陣，那么Jacobi和G－S迭代法都收斂。定理6若A是n階正定矩陣，那么G-S迭代法收斂。定理3n階矩陣A是嚴格對角占優矩陣，則A非奇異，且所有對角元。第14頁，課件共21頁，創作于2023年2月注意的問題（1）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣不同：BJ=D-1(L+U),BG-S=(D-L)-1U（2）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法收斂性沒有必然的聯系。即當Gauss-Seidel法收斂時，Jacobi法可能不收斂；而Jacobi法收斂時，Gauss-Seidel法也可能不收斂（3）Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的特征方程：第15頁，課件共21頁，創作于2023年2月Jacobi迭代：Gauss-Seidel迭代：第16頁，課件共21頁，創作于2023年2月用Jacobi迭代法求解收斂，但用Gauss-Seidel法不收斂。BJ的特征值為0，0，0，BG－S的特征值為0，2，2（4）舉例：用Jacobi迭代法求解不收斂，但用Gauss-Seidel法收斂。第17頁，課件共21頁，創作于2023年2月系數矩陣A是正定矩陣，因此用Gauss-Seidel法收斂。線性方程組的系數矩陣為是嚴格對角占優的，所以Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式均收斂。第18頁，課件共21頁，創作于2023年2月（1）迭代（2）加速（7.7）即§3超松馳迭代法（SOR法）

（SequentialOver-Relaxation)矩陣形式：第19頁，課件共21頁，創作于2023年2月注：1.稱為超松弛迭代矩陣。2.稱為松弛因子。3.當時，就是G-S迭代法；當時，稱為低

松弛迭代法；當時，稱為超松弛迭代法。4.SOR法也稱為G-S迭代法的一種加速方法。5.研究SOR法就是需要找到最佳松弛因子，使得迭代過程的收斂速度最快，即。6.在找最佳松弛因子之前，先要解決在什么范圍內取值，才能保證SOR法收斂。第20頁，課件共21頁，創作于2023年2月定理7對Ax=b