余弦定理與其應用［教學目標］［知識與技能目標］(1)了解并掌握余弦定理與其推導過程．(2)會利用余弦定理來求解簡單的斜三角形中有關邊、角方面的問題．(3)能利用計算器進行簡單的計算(反三角)．［過程與能力目標］(1)用向量的方法證明余弦定理，不僅可以表達向量的工具性，更能加深對向量知識應用的認識．(2)通過引導、啟發、誘導學生發現并且順利推導出余弦定理的過程，培養學生觀察與分析、歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力．［情感與態度目標］通過三角函數、余弦定理、向量數量積等知識間的聯系，來表達事物之間的普遍聯系與辯證統一．［教學重點］余弦定理的證明與應用．［教學難點］(1)用向量知識證明余弦定理時的思路分析與探索．(2)余弦定理在解三角形時的應用思路．［教學過程］一、引入問：在RtAABC中，若C=900,三邊之間滿足什么關系？C答：c2=a2+b2A問：若C≠900,三邊之間是否還滿足上述關系？B答：應該不會有了！問：何以見得？答：假如a,b不變，將A、B往里壓縮，貝火<900,且C2<a2+b2；同理，假如屯,b不變，將A、B往外拉伸，貝心>900,且c2>a2+b2.師：非常正確！那么，這樣的變化有沒有什么規律呢？

答：規律肯定會有，否貝，您就不會拿它來說事了．

問：仔細觀察，然后想想，到底會有什么規律呢？A答：有點象向量的加法或減法，B=c+α或a=B-c.CB［探求］設AABC的三邊長分別為a,b,C,由于AC=AB+BC:.AC?AC=(AB+BC)?(AB+BC)I2即AC=A^B?AB+2AB?BC+BC?BC.?.b2=A^B2+2ABlBCcos（18S—B）+BC2=C2—2acCosB+a2即b2=a2+c2-2accosB問：仔細觀察這個式子，你能否找出它的在特點？答：能！式子中有三邊一角，具體包括如下三個方面：第一、左邊是什么邊，右邊就是什么角；第二、左邊有什么邊，右邊就沒有什么邊；第三、邊是平方和，乘積那里是“減號”．師：很好！那么，你能否仿照這個形式寫出類似的另外兩個？答：可以！它們是：a2=b2+c2-2bcCosA和c2=a2+b2-2abccosC.［總結］這就是我們今天要講的余弦定理，現在，讓我們來繼續研究它的結構特點以與其應用問題.板書課題余弦定理與其應用二、新課（一）余弦定理的文字表述：三角形的任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.（二）余弦定理的另一種表述形式：b2+C2—a2 a2+c2—b2 ―a2+b2—c2cosA=.cosB=.cosC=2bc ； 2ac ； 2ab（三）歸納熟悉定理的結構，注意“平方”“夾角”“余弦”等；每個式子中都有四個量，知道其中的三個就可以求另外的一個；當夾角為900（即三角形為直角三角形）時即為勾股定理（特例）.（四）余弦定理的適用圍已知三邊求角；已知兩邊與其夾角求第三邊．三、應用例1.在AABC中，已知a=7,b=5,C=3，求這個三角形的最大角.［分析］根據大邊對大角的原則，知：A為最大.解：由a〉b〉cnA〉B〉C,?.?CoSA=b2+c2—a22bc25+9-49_1

=——2X5X3 2/.A=1200,即該三角形的最大角等于1200．練習1.已知AABC的三邊長分別是a=3,b=4,C=√37，求三角形的最大角.答案：1200．思考：已知ΔABC的三邊長為a,b,c,如何判斷該三角形的形狀？提示：求出與最大邊相對應的角的余弦值，再與0進行比較，判定標準如下:①若＞0,則為銳角三角形；②若=0,則為直角三角形；③若＜0,則為鈍角三角形.例2.在AABC中，a=2√3,C=新+√2,B=三,求b與A.4［分析］已知兩邊夾角，可以用公式b2=a2+C2—2acCoSB直接求出b；然后用公式cosA=匕「即可求出角A.解：由b2=a2+c2—2acCoSB得：b2=(2?J3)2+(.√6+v''2)2—2X2?√3X(?√6+√2)CoS-=8,解得b=2?√2；4又?.?cosA=b2+C2-a2=(2√1)2+(√6+72)2—(243)21,

22bc2X2√2X(√6+.√2)/A=F.3例3.已知AABC中，a：b：c=2：?；6(；3+1),解此三角形.［分析］知道邊的比值，可以設其公約數為k,因為，在后面的運算中又可以同時約分將其約掉，原則上一般先求最小的角；當然，也可以先求最大的角．解法一：設其三邊的公約數為k,則a=2k,b=√6k,c=(Y3+1)k，由CoSA=b2+C2—a2 (v6k)2+K√3+1)k]2-(2k)2 22 得cosA= / = =二_2bc 得 2X6^kkXQ3+1)k 2.?.A=45。；na2+C2-b2 n(2k)2+KJ3+1)k]2-(√6k)2 1cosB=得cosB==由 2ac得 2X2kX(√3+1)k 2，;.B=60。； 因此C=18Oο-(A+B)=18Oο-(45ο+6Oο)=75。.解法二：設其三邊的公約數為k,則a=2k,b=√6k,c=(J3+1)k，a2+b2-c2 (2k)2+(√6k)2-[(√3+1)k]2由cosC= 得cosC= 11 2ab 得 2X2kx,'6k即cosC="6J”,(此時可用計算器的第二功能求‘6一%2的反余弦)44又因為式二E=2X史-匹X14 2 2 2 2=cos45Ocos3OO-sin45Osin3OO/.C=750；=cos(45O+3OO)=cos75O由CoSB=a2+C2-b2 D(2k)2+[(√3+1)k]2-Q6k)2 1得CoSB==2ac 得 2X2kX(J3+1)k 2,/B=6OO；/A=18OO-(B+C)=18OO-(6OO+75O)=45O．例4,已知AABC中，A=1200,a=7,b+C=8,求b,C及B.[分析]這種題型一般都要歸結為解方程組．解：由a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+c2-2bccos12Oο,即b2+c2+bc=49n(b+C)2—bc=49nbc=82-49=15,(b+C=8 1b=5-(b=3由]bc=15■C=3或C=5,分類討論如下:a2+c2-b2⑴當b=5時，a=7,C=3，由cosB= 2ac 得:“ 72+32—52 11cos=2X7X3=14nB=38.20a2+c2一b2⑵當b=3時，a=7,c=5,由CosB=——2ac——得:“ 72+52—32 13cosB=2X7X5=14=B=21.80即b=5,c=3,B=38.20或b=3,C=5,B=21.80練習2.在AABC中，A+C=2B,a+C=8,ac=15,求b.提示：,：B=600,b2=a2+c2—2accosB=(a+C)2—3ac=19,，b=%19.練習3.在棱長為1的正方體ABCD—ABC