第十二章全等三角形12.3角的平分線的性質第1課時角的平分線的性質

學習目標-新課導入-新知探究-課堂小結-課堂訓練

學習目標1.會用尺規作圖法作一個角的平分線，知道作法的理論依據.（重點）2.探究并掌握角平分線的性質定理.（難點）3.能運用角平分線的性質解決簡單的幾何問題.（重點）4.初步體驗如何將文字語言轉化成數學語言.

新課導入復習引入1.什么是點到直線的距離？直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離.如圖，

就是點O到直線AB的距離.OABCOC的長

新課導入復習引入2.角平分線的概念是什么？一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.OABC如圖，OC是∠AOB的平分線.∠AOC=∠BOC=∠AOB.

新課導入復習引入3.什么叫做三角形的角平分線？在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.如圖，AD就是△ABC的角平分線.

新課導入復習引入4.在紙上畫一個角，怎樣能得到這個角的平分線？

方法一：用量角器度量；方法二：將角對折，．你還有其他的方法嗎？

新知探究

思考

如圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個角的平分線.你能說明它的道理嗎？根據SSS可證△ADC≌△ABC.∵全等三角形的對應角相等，∴∠DAC=∠BAC.∵點C在射線AE上，∴AE是這個角的平分線.

ADBCE

知識點1尺規作角平分線

新知探究根據平分角的儀器的原理，你能用圓規和直尺畫出已知角的平分線嗎？提示：(1)在平分角的儀器中，AD=AB，怎樣在作圖中體現這個過程呢？(2)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現這個過程呢？

知識點1尺規作角平分線ADBCE

新知探究已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.ABMNCO（3）畫射線OC.射線OC即為所求.

知識點1尺規作角平分線（2）分別以點M，N為圓心，大于

MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C.作角平分線是最基本的尺規作圖,一定要掌握!

新知探究（1）以“適當的長為半徑”是為了方便畫圖，不能太長，也不能太短.（2）“以大于MN的長為半徑畫弧”是因為小于MN的長為半徑畫弧時兩弧沒有交點，等于MN的長為半徑畫弧時不容易操作.

（3）應該在角的內部找所作兩弧的交點，因為所作的射線為角的平分線，而角的平分線應該在角的內部.（4）“畫射線OC”不能說成“連接OC”，因為連接OC得到的是線段，而角的平分線是一條射線.

知識點1尺規作角平分線

新知探究

知識點2角的平分線的性質經過測量發現，PD=PE.

思考(1)如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點P，過點P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE并作比較，你得到什么結論？猜想

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.BADOPEC(2)在OC上再取幾個點試一試.仍能得到同樣的結論.

新知探究如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，

OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE.

驗證猜想

BADOPEC

知識點2角的平分線的性質

新知探究一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據題意，畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證；3.經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程.

知識點2角的平分線的性質

新知探究角平分線的性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.該性質定理的幾何語言：∵OC是∠AOB的平分線，

點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB，∴PD=PE.BADOPEC

知識點2角的平分線的性質角平分線上的點P到OA的距離P到OB的距離

新知探究（1）該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，不需要再證三角形.（2）使用該性質定理的前提條件是圖中有平分線，點在該平分線上，有垂直，三者缺一不可.

知識點2角的平分線的性質跟蹤訓練

新知探究1.判斷下列結論是否成立，不成立的請說明原因.①如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，D，E分別為OA、OB上的點，則PD=PE.（

）因為PD不垂直OA，PE不垂直OB，即PD，PE不是角平分線上的點到角兩邊的距離.不成立OBACPDE跟蹤訓練

新知探究②如圖，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE.（

）

OBACPDE┐┐不成立因為OC不是∠AOB的平分線.跟蹤訓練

新知探究③如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA，垂足為D.若PD=3，則點P到OB的距離為3.（

）

OBACPD┐成立跟蹤訓練

新知探究2.如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D,E，PD=4cm，則PE=______cm.

4MBACPD┐┐E存在兩條垂線段，可直接應用角平分線的性質定理跟蹤訓練

新知探究3.（2021?福建改編）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝2，則點D到AC的距離是

．

2存在一條垂線段，則過角平分線上一點向另一邊構造垂線段

課堂小結角平分線的性質尺規作角平分線內容屬于基本作圖，必須熟練掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.常見輔助線的添加性質定理過角平分線上一點向兩邊作垂線段證明幾何命題

課堂訓練1.如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D，則下列結論錯誤的是（）A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=ODBBADOPC

課堂訓練2.用尺規作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA

課堂訓練3.（2021?青海）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（）A．8

B．7.5

C．15

D．無法確定EB【解析】如圖，過點D作DE⊥BC于點E.又BD平分∠ABC，∠A＝90°，∴DE＝AD＝3，∴△BCD的面積＝

×5×3＝7.5．故選B．

課堂訓練4.（2021?長沙）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，若BC＝4，DE＝1.6，則BD的長為

．

【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案為2.4.

課堂訓練5.如圖,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,E、D為垂足，CF=CB.求證:BE=FD.證明：∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,∴CD=CE,在Rt△CBE和Rt△CFD中,CB=CF，

CE=CD，

∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL).∴BE=FD.

課堂訓練6.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，若AB=8cm，求△DEB的周長.解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD，

DC=DE，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE.∵AC=BC，∴AE=BC，

∴△DEB的周長=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=8cm.找出題中的相等線段進行等量代換是解題的關鍵.

課堂訓練7.如圖,CD是△ABC的角平分線,DE⊥BC,垂足為E,AC=4,BC=10,S△ABC=14,求DE的長.解:如圖，過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于點F.F又CD是△ABC的角平分線,DE⊥BC,∴DE=DF.∵S△BCD+S△ACD=S△ABC,∴BC×DE+AC×DF=14，∴×10×DE+×4×DE=14,即5DE+2DE=14,解得DE=2.

課堂訓練8.求證：三角形的一邊的兩端點到這條邊上的中線所在的直線的距離相等.已知:如圖，AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于點F，BE⊥AD交AD的延長線于點E.求證：BE=CF.證明：∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD.∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠BED=∠CFD=