結構力學

Structuralmechanics第5章用力法計算超靜定結構水利工程仿真與安全國家重點實驗室5.1超靜定結構及其計算方法概述超靜定結構—在任意荷載下，未知力僅由靜力平衡方程不能完全確定。未知力數>獨立靜力平衡方程數基本特性—靜力平衡方程解不唯一，有無限多組；為確定內力，除平衡外，還須考慮幾何及物理方面其他特性—與靜定結構相反基本計算方法—力法（本章）、位移法（第6章）力法基本未知量為力，位移法基本未知量為位移，基本未知量是“突破口”，其余未知量可視為基本未知量的函數。求得基本未知量，其余問題迎刃而解未知力數>獨立靜力平衡方程數存在多余力有多余約束（幾何組成特征）存在多余力圖5.1a，1個多余約束；3個平衡方程，4個未知力∴多余力數=15.2超靜定次數的確定多余力數稱為超靜定次數圖5.1a為1次超靜定。靜定結構為0次超靜定。超靜定次數=多余力數=多余約束數

=轉化為靜定所需撤除的約束數撤除（或截斷）1根鏈桿=撤除1個約束撤除1個單鉸=撤除2個約束撤除1個單剛結點=撤除3個約束將1個單剛結點換成鉸結點=撤除1個約束5.2超靜定次數的確定圖5.2a、b、c，超靜定撤除多余約束圖5.3a、b、c，靜定，X1、X2等為多余力（矩）∴圖5.2為2、3、10次超靜定5.2超靜定次數的確定圖5.2c圖5.4，有3個閉合無鉸“框”圖5.3，1個閉合無鉸“框”為3次超靜定∴圖5.4為9次超靜定圖5.2c為10次超靜定圖5.5a，36次；圖5.5b，3次5.2超靜定次數的確定圖5.6a，撤多余約束并保留多余力X1、X2及荷載

基本體系（圖5.6b）如果荷載相同并且X1=FRBx，X2=FRBy，則兩個剛架的受力狀態完全相同∴可通過計算基本體系的內力求得原結構的內力5.3力法的基本概念和解題步驟關鍵是求X1和X2—力法的基本未知量原結構和基本體系的變形及位移也完全相同∴在荷載和多余力共同作用下，基本體系相應于X1和X2的位移都應=0（變形協調條件）。由疊加原理5.3力法的基本概念和解題步驟其中：δ11和δ12是單位荷載引起的與X1相應的位移

δ21和δ22是單位荷載引起的與X2相應的位移Δ1P和Δ2P是實際荷載引起的與X1和X2相應的位移（5.1）稱為力法基本方程δij和ΔiP（i，j=1，2）稱為系數和自由項系數就是§4.6中的位移影響系數（柔度系數）系數和自由項下標的意義同§4.6位移互等定理用單位荷載法計算系數和自由項解力法方程，求得基本未知量用疊加原理求內力：5.3力法的基本概念和解題步驟在荷載作用下，n次超靜定結構力法計算步驟：（1）建立基本體系—撤除n個多余約束，保留多余力X1、X2、…、Xn。注意，基本結構必須幾何不變。（2）寫基本方程：由位移互等定理（5.3）又稱力法典型方程5.3力法的基本概念和解題步驟（3）計算系數和自由項對梁和剛架，先做基本結構的單位彎矩圖和MP圖對桁架，先計算基本結構的單位軸力和FNP5.3力法的基本概念和解題步驟（4）解基本方程，求基本未知量X1、X2、…、Xn（5）求內力對梁和剛架：對桁架：用力法計算超靜定結構在支座位移和溫變作用下的內力，原理和步驟與上述大體相同，但各有特點，§5.55.3力法的基本概念和解題步驟超靜定梁和剛架例5-1圖5.7a，作M圖和FQ圖。EI=常數。解（1）建基本體系，“串聯”簡支梁。（2）寫基本方程意義：在荷載和多余力共同作用下，基本結構在支座A轉角為零，在支座B、C左右截面相對轉角為零。5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算（3）計算系數和自由項。先作單位彎矩圖和MP圖。5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算（4）解基本方程，得X1=-ql2/16，X2=-ql2/8，X3=-ql2/16（5）作M圖。基本未知量為支座截面彎矩，M圖可用分段疊加法直接作出。如基本體系為其他形式，要先按（5.6a）求桿端彎矩。由M圖作FQ圖。5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算討論：基本體系不是唯一的，只要幾何不變，都可作為基本結構。但是，基本體系不同，計算有繁簡之分?！按摵喼Я骸钡膬烖c：1）系數和自由項計算簡便且有規律；2）解基本方程可直接得出各桿端彎矩。比較：圖5.8a、5.8b。對連續梁采用“串聯簡支梁”作基本體系，基本方程為“三彎矩方程”5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算例5-2圖5.9a，作M圖。解（1）建基本體系，圖5.9b。借鑒上例。（2）寫基本方程5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算（3）計算系數和自由項。先作單位M圖和MP圖。（4）解基本方程，得（5）作M圖5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算討論：本例及上例內力計算結果均不含EI，但本例結果包含柱梁抗彎剛度之比k。荷載作用下，超靜定結構的內力與各桿剛度比值有關，而與剛度的實際大小無關。（重要特性?。├?-1各桿剛度比為1，改變剛度比，內力也隨之改變。本例中柱彎矩和梁左端彎矩的絕對值隨k增大而增大，梁下部彎矩隨k增大而減小。當k∞，柱下端和上端（梁左端）彎矩的絕對值分別ql2/16和ql2/8，梁左端固定右端簡支；當k0，柱端和梁端彎矩0，柱對梁端彎曲變形幾乎無約束，梁簡支梁。在其他外因（溫變、支座位移等）作用下，超靜定結構的內力不僅與各桿剛度的比值有關，而且與剛度的實際大小有關。5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算超靜定桁架基本結構的兩種方案：1）截斷多余桿件，基本方程與（5.3）相同2）撤除多余桿件，基本方程與（5.3）有別“截斷”二力桿，僅撤除與軸力相應的約束，“截斷”后兩部分可沿軸線相對移動，但不能相對錯動或轉動，圖5.10b。圖5.10a=圖5.10b。5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算

(3)計算系數和自由項。表5.1（表中剛度為相對值）注意：求和時要將被截斷的桿件也計算在內。由表5.1的最后一行，得（4）解基本方程，得

X1=X2=-7FPa/9（5）計算軸力：（圖5.11c）5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算超靜定組合結構例5-4圖5.12a，求二力桿的軸力并作梁式桿的彎矩圖解：（1）建基本體系，圖5.12b。（2）寫基本方程5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算（3）作梁式桿單位彎矩圖，并計算二力桿的相應軸力，圖5.12c；作荷載下梁式桿的彎矩圖，二力桿相應軸力為零，圖5.12d。系數和自由項5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算（4）解基本方程，得（5）求內力梁式桿（圖5.12e）：二力桿5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算例5-5排架如圖5.13a所示，作彎矩圖。工業廠房中常用。屋面結構簡化為鏈桿，不考慮屋面豎向荷載時，該桿為二力桿。解（1）截斷桿CD，建基本體系，圖5.13b。（2）寫基本方程：δ11X1+Δ1P=05.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算（3）作單位多余力和荷載下的彎矩圖，圖5.13c、d。

FNCD分別為1和0?！逤D桿EA=∞，∴計算系數和自由項不必考慮CD桿。5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算（4）解基本方程，得（5）作彎矩圖（5.13e）5.4超靜定結構在荷載作用下的內力計算原理和步驟與荷載問題相同，但自由項的含義及其計算不同在支座位移情況下，基本方程的形式也與荷載問題有所不同內力完全由多余力引起溫度變化問題基本方程為其中δij(i，j=1，2，…，n)的意義和計算方法同前；Δit(i=1,2,…,n)的下標“t”表明位移的原因是溫變。5.5溫變和支座位移下的內力計算溫變在基本結構中不引起內力，∴結構的內力（以彎矩為例）為：5.5溫變和支座位移下的內力計算例5-6剛架溫變如圖5.14a。桿截面為矩形，b=20cm，h=50cm，E=3×107kN/m2，α=10-5，作彎矩圖。解：（1）建基本體系，圖5.14b。（2）寫基本方程：δ11X1+Δ1t=05.5溫變和支座位移下的內力計算（3）作單位彎矩圖和單位軸力圖，圖5.14c、d。注意：計算系數可忽略軸變的影響，計算自由項一般必須考慮軸變的影響。5.5溫變和支座位移下的內力計算（4）解基本方程，得（5），圖5.14e。討論：基本方程中系數與桿件剛度成反比，而自由項與剛度無關∴多余力與剛度成正比溫變在超靜定結構中引起的內力，不僅與各桿剛度的比值有關，而且與剛度的實際大小成正比。與荷載作用下的情況不同！5.5溫變和支座位移下的內力計算支座位移問題基本方程為第i個方程：在支座位移和多余力共同作用下，基本體系與Xi相應的位移與原結構相同。Δi是原結構相應于Xi的位移。

δij（i，j，…，n）的意義和計算同前Δic是基本體系的支座位移引起的與Xi相應的位移：其中是引起的與基本體系的第j個支座位移cj相應的反力。5.5溫變和支座位移下的內力計算Δic和Δi對應同一個Xi，但Δic是基本結構的位移

而Δi是原結構的位移基本體系的支座位移∈原結構的支座位移，是撤除多余約束后保留在基本體系中的支座位移如果原結構的支座位移數≤超靜定次數，并且建立基本體系時已將發生支座位移的所有約束全部撤掉，結果基本體系將不含有任何支座位移→所有的Δic=0。在荷載或溫變情況下，基本方程的右邊也可寫成Δi，不過在這兩種情況下，所有的Δi（i=1，2，…，n）=0支座位移在基本結構中不引起內力，因此，在解出基本未知量以后，內力計算公式與式（5.10）相同：5.5溫變和支座位移下的內力計算例5-7圖5.15a，作彎矩圖。解：3次超靜定，但由于不涉及軸力且軸力不影響彎矩，∴可作為2次超靜定求解。（1）建基本體系，圖5.15b。保留原結構右端與豎向位移相應的約束，撤除左端與轉角相應的約束。5.5溫變和支座位移下的內力計算（2）原結構與X1和X2相應的位移為Δ1=θA，Δ2=0，∴基本方程為（3）作單位彎矩圖并畫出相應反力，圖5.14c、d。5.5溫變和支座位移下的內力計算（4）解基本方程，得（5），圖5.15e。討論：系數與剛度成反比，而自由項與剛度無關，∴多余力與剛度成正比?！嘀ё灰圃诔o定結構中引起的內力不僅與各桿件剛度比有關，而且與剛度的實際大小成正比。與溫變情況相同，與荷載情況不同。5.5溫變和支座位移下的內力計算對稱性：圖5.16a，結構的軸線形狀、支撐方式、截面幾何特征(I、A)、材料性質(E、G)對稱于同一軸線例5-5（圖5.13a）、例5-7（圖5.15a）均為對稱結構例5-3（圖5.11a）、例5-4（圖5.12a），除左邊水平支桿都對稱，豎向荷載，水平反力為零，受力對稱，可視為對稱結構。5.6對稱性的利用利用對稱性的方法（之一）—采用對稱基本結構圖5.16a→圖5.16b，基本未知量：X1、X2、X3軸力X1、彎矩X2是對稱多余力剪力X3是反對稱多余力對稱多余力的單位彎矩圖也對稱，圖5.16c、d；反對稱多余力的單位彎矩圖也反對稱，圖5.16e。5.6對稱性的利用易知：δ13=

δ31=

δ23=

δ32=0∴三元聯立方程組被“解耦”、降階為：荷載對稱，MP圖也對稱，圖5.17a。Δ3P=0→X3=0∴，對稱！荷載反對稱，MP圖也反對稱，圖5.17b。Δ1P=

Δ2P=0→X1=X2=0

，反對稱！5.6對稱性的利用結論：荷載對稱，對稱結構的反力和內力也對稱荷載反對稱，對稱結構的反力和內力也反對稱非對稱荷載：將荷載分組，對稱+反對稱分別計算，再疊加例5-8圖5.18a，利用對稱性簡化計算。解：荷載分組：對稱（圖5.18b）+反對稱（圖5.18c）5.6對稱性的利用采用對稱基本體系，圖5.18d。在對稱荷載作用下，X1=X4，X2=X3，2個對稱廣義基本未知量，圖5.18e在反對稱荷載作用下，X1=-X4，X2=-X3，2個反對稱廣義基本未知量，圖5.18f結果：4次超靜定問題變成了兩個2次超靜定問題，分別求解，最后疊加，彎矩圖見圖5.19。5.6對稱性的利用常用超靜定拱：二鉸拱（1次，圖5.20a、b）無鉸拱（3次，圖5.20c）主要力學特征：在豎直向的荷載下，支座水平推力(拉桿拉力)兩種超靜定拱比較無鉸拱施工相對簡單，地基不均勻沉降時產生較大力(例5-11)二鉸拱在地基不均勻沉降時不產生內力，更適用于軟弱地基本節只討論對稱超靜定拱5.7用力法計算超靜定拱5.7.1二鉸拱在荷載作用下的計算分為帶拉桿和不帶拉桿兩種帶拉桿二鉸拱對支座不產生水平推力不帶拉桿二鉸拱（5.20a）可視為帶拉桿二鉸拱（圖5.20b）的特例（E’A’→∞）圖5.21a，帶拉桿二鉸拱，軸線方程為y=y(x)已知曲桿的E、A、I及拉桿的E’A’5.7用力法計算超靜定拱（1）建基本體系，圖5.21b（切斷拉桿）（2）基本方程為δ11X1+Δ1P=0意義：在荷載和X1共同作用下，拉桿斷口兩邊無相對位移（3）在

作用下，拉桿中

，曲桿中在荷載作用下，基本體系中拉桿不受力，曲桿的彎矩為系數和自由項：5.7用力法計算超靜定拱以上略去了曲桿剪切變形的影響計算Δ1P時還略去了曲桿軸變的影響計算δ11時，曲桿軸變的影響一般不能忽略，拉桿軸變的影響更必須考慮當拱不很扁（）或拱身不很厚（）時，曲桿軸向變形對δ11的影響也可以忽略（4）解力法方程，得5.7用力法計算超靜定拱（5）求曲桿內力：（5.14）與三鉸拱公式（3.10）、（3.11）相同，但三鉸拱FH是靜定的，按（3.8）計算而二鉸拱FH是超靜定的，按（5.13a）計算當E’A’→∞（不帶拉桿）時，式（5.13a）為曲桿內力公式仍為（5.14）5.7用力法計算超靜定拱例5-9圖5.22，等截面拋物線二鉸拱，軸線方程為忽略軸變影響，求圖示集中荷載下的FH，并利用所得結果，求左半跨及全垮均布荷載（集度為q）下的彎矩。積分時可近似取ds=dx。5.7用力法計算超靜定拱解：在集中荷載下，基本體系中曲梁的彎矩為略去曲桿軸變影響并取E’A’=∞及ds=dx，得5.7用力法計算超靜定拱左半跨受均布荷載：將上式中的a換成x，FP換成qdx，由疊加原理代梁彎矩為彎矩圖見圖5.23b。5.7用力法計算超靜定拱全跨受均布荷載：由對稱性，水平推力為半跨均布荷載下單兩倍，即代梁彎矩為討論：無論全垮或半跨均布荷載，拋物線二鉸拱的支座反力和內力都與三鉸拱相同，不能因此認為兩者在任何荷載下反力和內力都相同。5.7用力法計算超靜定拱在集中荷載下（圖5.22），三鉸拱的推力為僅當a≈0.348l和a≈0.652l時才與二鉸拱推力相等當a=l/2時，三鉸拱推力為0.25FPl/f，二鉸拱推力≈0.195FPl/f，相差>20%另外，以上二鉸拱的推力是在忽略軸變的前提下得出的，如果考慮軸變，在全跨或半跨均布荷載下，二鉸拱和三鉸拱的計算結果也不同。在全跨均布荷載下，如果考慮軸變，結果二鉸拱中存在微小的彎矩。5.7用力法計算超靜定拱5.7.2對稱無鉸拱的計算3次超靜定（圖5.24a）采用對稱基本體系（圖5.24b），基本方程為希望：將二元方程組進一步“解耦”，即使得

δ12=δ21=0，從而將它化成兩個一元方程5.7用力法計算超靜定拱方法：在對稱點C的切口兩側沿對稱軸加兩個長度為a、EI=∞，EA=∞的剛臂，剛臂與拱剛接，圖5.24c如果切口兩側截面沒有相對的水平位移、豎向位移和轉角，則剛臂下端也不會有相對位移和轉角。反之亦然?！鄬⒍嘤辔粗釉趧偙巯露?，力法基本方程與前面相同。問題：選擇剛臂長度a，使δ12=δ21=05.7用力法計算超靜定拱假想一條狀圖形，其軸線為無鉸拱的軸線，其寬度等于1/EI，圖5.25，則剛臂的端點就是該條狀圖形的形心，稱為拱的彈性中心。當剛臂端點為彈性中心時，基本方程為系數和自由項（坐標原點在彈性中心）：5.7用力法計算超靜定拱對稱無鉸拱計算步驟小結建基本體系確定彈性中心→切斷、加剛臂、加多余未知力寫基本方程（全解耦）求系數和自由項解基本方程求反力和內力（疊加原理）5.7用力法計算超靜定拱5.8.1超靜定結構位移的計算結構位移計算的一般公式，式（4.5）：變形體系虛功原理+單位荷載法適用于靜定結構和超靜定結構∴超靜定結構位移計算的原理和方法都不是新問題原理—變形體系虛功原理方法—單位荷載法5.8超靜定結構位移的計算和內力計算結果的校核圖5.27a，EI=常數，已知MP圖（圖5.27b），求φB。方案1—將單位力偶加在原結構結點B，單位彎矩圖見圖5.27c。5.8超靜定結構位移的計算和內力計算結果的校核方案2—將單位力偶加在基本結構結點B，單位彎矩圖見圖5.27d。5.8超靜定結構位移的計算和內力計算結果的校核方案2的優越性：作靜定結構而不是超靜定結構的彎矩圖原結構超靜定次數越高，方案2優越性越顯著單位彎矩圖簡單且有局部性，圖乘法工作量小方案2的合理性：在荷載和多余力共同作用下，基本結構內力、變形、位移與原結構完全相同原結構的φB=基本體系的φB原結構在荷載作用下的內力=基本結構在荷載和多余力共同作用下的內力結論：計算超靜定結構的位移單位荷載可加在任何一個基本結構上！5.8超靜定結構位移的計算和內力計算結果的校核超靜定結構受溫變和支座位移作用，求位移仍可將單位荷載加于靜定基本結構，但計算位移必須考慮兩個方面：1）溫變或支座位移的作用；2）多余力的作用例5-12圖5.28a，已知l、EI、α，梁截面為矩形，高度h。溫變下彎矩圖見圖5.28b。求B端的轉角。解：選基本結構，在B加單位力偶，作單位彎矩圖，圖5.28c。5.8超靜定結構位移的計算和內力計算結果的校核B端由于溫變的轉角為B端由于多余力的轉角為∴原結構B端由于溫變的轉角為5.8超靜定結構位移的計算和內力計算結果的校核5.8.2力法計算結果的校核校核：1）階段性校核；2）計算結果總校核靜定結構滿足平衡條件的內力解是唯一的，∴只要從平衡方面進行校核超靜定結構滿足平衡條件的內力解不唯一滿足平衡條件的解不一定正確必須同時滿足平衡條件和變形協調條件例如，只要所有單位彎矩圖和MP圖都滿足平衡條件，則無論X1、X2、…、Xn是否正確，一定滿足平衡條件。∴對超靜定結構內力必須從平衡和協調兩方面校核！5.8超靜定結構位移的計算和內力計算結果的校核5.8超靜定結構位移的計算和內力計算結果的校核校核圖5.27b所示彎矩圖，荷載見圖5.27a。平衡條件校核：該圖滿足任選隔離體（例如結點B）的平衡條件（略）協調條件校核：1）取圖5.29a所示基本結構，在結點A施加單位力偶，作單位彎矩圖，圖5.29a，與圖5.27b相乘，結果=0∴圖5.27b滿足原結構支座A為固定的條件！2）仍取圖5.29a，在結點B施加一對單位力偶，作單位彎矩圖，圖5.29b，與圖5.27b相乘，結果=0∴圖5.27b滿足原結構結點B為剛接的條件！5.8超靜定結構位移的計算和內力計算結果的校核（3）校核其他約束條件，例如：原結構支座A和C處水平位移和豎向位移都=0，略。校核要盡可能全面某人作圖5.27a所示剛架的彎矩圖如圖5.29c所示，試校核之。

平衡條件校核：OK！

協調條件的校核：1）與圖5.29a所示單位彎矩圖相乘，

結果=0。原結構支座A為固定，

OK！2