時間序列的平穩性及其檢驗一、問題的引出：非平穩變量與經典回歸模型

時間序列數據是最常見，也是最常用到的數據經典回歸分析暗含著一個重要假設：

數據是平穩的數據非平穩，大樣本下的統計推斷基礎——“一致性”要求——被破懷。1精選ppt經典回歸分析的假設之一：解釋變量X是非隨機變量放寬該假設：X是隨機變量，則需進一步要求：(1)X與隨機擾動項

不相關∶Cov(X,)=0(2)依概率收斂：如果X是非平穩數據（如表現出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計量不滿足“一致性”，基于大樣本的統計推斷也就遇到麻煩。2精選ppt

表現在:兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很高的相關性（有較高的R2)。例如：如果有兩列時間序列數據表現出一致的變化趨勢（非平穩的），即使它們沒有任何有意義的關系，但進行回歸也可表現出較高的可決系數。

在現實經濟生活中，實際的時間序列數據往往是非平穩的，而且主要的經濟變量如消費、收入、價格往往表現為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經典的因果關系模型進行分析，一般不會得到有意義的結果。數據非平穩的后果——

導致出現“虛假回歸”問題3精選ppt二、時間序列數據的平穩性定義：假定某個時間序列是由某一隨機過程（stochasticprocess）生成的，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=

是與時間t無關的常數；

2）方差Var(Xt)=

2是與時間t無關的常數；

3）協方差Cov(Xt,Xt+k)=

k

是只與時期間隔k有關，與時間t無關的常數；

則稱該隨機時間序列是平穩的（stationary)，而該隨機過程是一平穩隨機過程（stationarystochasticprocess）。4精選ppt

例1．一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列：

Xt=

t

，

t~N(0,2)該序列常被稱為是一個白噪聲（whitenoise）。

由于Xt具有相同的均值與方差，且協方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩的。5精選ppt

例2．另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走（randomwalk），該序列由如下隨機過程生成：

Xt=Xt-1+

t

這里，

t是一個白噪聲。

容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)

為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設Xt的初值為X0，則易知:6精選pptX1=X0+

1X2=X1+2=X0+1+2

…

…Xt=X0+

1+2+…+

t

由于X0為常數，t是一個白噪聲，因此:Var(Xt)=t2即Xt的方差與時間t有關而非常數，它是一非平穩序列。7精選ppt然而，對X取一階差分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于

t是一個白噪聲，則序列{

Xt}是平穩的。

后面將會看到:如果一個時間序列是非平穩的，它常常可通過取差分的方法而形成平穩序列。8精選ppt事實上，隨機游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例:Xt=Xt-1+t

不難驗證:1)||>1時，該隨機過程生成的時間序列是發散的，表現為持續上升(

>1)或持續下降(

<-1)，因此是非平穩的；

2)=1時，是一個隨機游走過程，也是非平穩的。事實上可以證明:只有當-1<

<1時，該隨機過程才是平穩的9精選ppt給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩的。一個平穩的時間序列在圖形上往往表現出一種圍繞其均值不斷波動的過程。而非平穩序列則往往表現出在不同的時間段具有不同的均值（如持續上升或持續下降）。

三、平穩性檢驗的圖示判斷10精選ppt11精選ppt進一步的判斷:檢驗樣本自相關函數及其圖形

定義隨機時間序列的自相關函數（autocorrelationfunction,ACF）如下：

k=k/0

自相關函數是關于滯后期k的遞減函數。

實際上,對一個隨機過程只有一個實現（樣本），因此，只能計算樣本自相關函數（Sampleautocorrelationfunction）。12精選ppt一個時間序列的樣本自相關函數定義為：

隨著k的增加，樣本自相關函數下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩序列要比非平穩序列快得多。13精選ppt14精選ppt可檢驗對所有k>0，自相關系數都為0的聯合假設，這可通過如下QLB統計量進行：

該統計量近似地服從自由度為m的

2分布（m為滯后長度）。

因此:如果計算的Q值大于顯著性水平為

的臨界值，則有1-

的把握拒絕所有

k(k>0)同時為0的假設。

例3:

下表序列Random1是通過一隨機過程（隨機函數）生成的有19個樣本的隨機時間序列。15精選ppt16精選ppt容易驗證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。

從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關系數迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。17精選ppt從QLB統計量的計算值看，滯后17期的計算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關系數

k(k>0)都為0的假設。因此，該隨機過程是一個平穩過程。

18精選ppt

序列Random2是由一隨機游走過程

Xt=Xt-1+

t生成的一隨機游走時間序列樣本。其中，

t是由Random1表示的白噪聲。19精選ppt

圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關圖看，雖然自相關系數迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發散趨勢。從QLB統計量的計算值看，滯后1期的計算值為5.116，超過5%顯著性水平的臨界值3.84，因此,拒絕自相關系數

k(k>0)都為0的假設。

該隨機游走序列是非平穩的。20精選ppt例檢驗中國支出法GDP時間序列的平穩性。表1978~2000年中國支出法GDP（單位：億元）

21精選ppt22精選ppt

圖形：表現出了一個持續上升的過程，可初步判斷是非平穩的。

樣本自相關系數：緩慢下降，再次表明它的非平穩性。

從滯后18期的QLB統計量看：

QLB(18)=57.18>28.86=

0.052拒絕：該時間序列的自相關系數在滯后1期之后的值全部為0的假設。

結論:1978~2000年間中國GDP時間序列是非平穩序列。23精選ppt

1、DF檢驗

隨機游走序列:Xt=Xt-1+

t是非平穩的，其中

t是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型:Xt=

Xt-1+

t中參數

=1時的情形。四、平穩性的單位根檢驗（unitroottest）24精選ppt

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(-1)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗（*）式是否存在單位根

=1，也可通過（**）式判斷是否有

=0。對式：

Xt=

Xt-1+

t

（*）

進行回歸，如果確實發現

=1，就說隨機變量Xt有一個單位根。25精選ppt

可證明，（*）式中的參數

>1或

=1時，時間序列是非平穩的;

對應于（**）式，則是

>0或

=0。

因此，針對式：

Xt=+Xt-1+t

我們關心的檢驗為：零假設H0：

=0。

備擇假設H1：

<026精選ppt上述檢驗可通過OLS法下的t檢驗完成。然而，在零假設（序列非平穩）下，即使在大樣本下t統計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗無法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統計量服從的分布（這時的t統計量稱為

統計量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統計量的向下偏倚性，它呈現圍繞小于零值的偏態分布。27精選ppt

因此，可通過OLS法估計：

Xt=+Xt-1+t并計算t統計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：28精選ppt如果：t<臨界值，則拒絕零假設H0：

=0，認為時間序列不存在單位根，是平穩的。注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結果是相同的。例如：“如果計算得到的t統計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕ρ=0”的假設，原序列不存在單位根，為平穩序列。29精選ppt

問題的提出：

在利用

Xt=+Xt-1+t對時間序列進行平穩性檢驗中，實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行估計均會表現出隨機誤差項出現自相關（autocorrelation），導致DF檢驗無效。

2、ADF檢驗30精選ppt

另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導致上述檢驗中的自相關隨機誤差項問題。

為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗。31精選pptADF檢驗是通過下面三個模型完成的：32精選ppt模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數項和趨勢項。

檢驗的假設都是：針對H1:<0,檢驗H0：

=0，即存在一單位根。33精選ppt

實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。

何時檢驗拒絕零假設，即原序列不存在單位根，為平穩序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續檢驗，直到檢驗完模型1為止。

檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應的臨界值。下表給出了三個模型所使用的ADF分布臨界值表。34精選ppt2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01樣本容量統計量模型

不同模型使用的ADF分布臨界值表ststat35精選ppt2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01樣本容量統計量模型

不同模型使用的ADF分布臨界值表statbt36精選ppt

同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設H0：

=0。

1）只要其中有一個模型的檢驗結果拒絕了零假設，就可以認為時間序列是平穩的；

一個簡單的檢驗過程：2）當三個模型的檢驗結果都不能拒絕零假設時，則認為時間序列是非平穩的。

這里所謂模型適當的形式就是在每個模型中選取適當的滯后差分項，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要保證不存在自相關）。37精選ppt例檢驗1978~2000年間中國支出法GDP序列的平穩性。1）經過嘗試，模型3取了2階滯后：

通過拉格朗日乘數檢驗（Lagrangemultipliertest）對隨機誤差項的自相關性進行檢驗：

LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，38精選ppt

小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的

2分布的臨界值，可見不存在自相關性，因此該模型的設定是正確的。從

的系數看，t>臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。時間T的t統計量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設。需進一步檢驗模型2

。39精選ppt

2）經試驗，模型2中滯后項取2階：

LM檢驗表明模型殘差不存在自相關性，因此該模型的設定是正確的。從GDPt-1的參數值看，其t統計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。常數項的t統計量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數項的零假設。需進一步檢驗模型1。40精選ppt3)經試驗，模型1中滯后項取2階：

LM檢驗表明模型殘差項不存在自相關性，因此模型的設定是正確的。從GDPt-1的參數值看，其t統計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。可斷定中國支出法GDP時間序列是非平穩的。41精選pptADF檢驗在Eviews中的實現42精選pptADF檢驗在Eviews中的實現43精選pptADF檢驗在Eviews中的實現—檢驗GDPP44精選pptADF檢驗在Eviews中的實現—檢驗GDPP從GDPP(-1)的參數值看，其t統計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。同時，由于時間項T的t統計量也小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設。需進一步檢驗模型2。

45精選pptADF檢驗在Eviews中的實現—檢驗GDPP46精選pptADF檢驗在Eviews中的實現—檢驗GDPP從GDPP(-1)的參數值看，其t統計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。同時，由于常數項的t統計量也小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設。需進一步檢驗模型1。

47精選pptADF檢驗在Eviews中的實現—檢驗GDPP48精選pptADF檢驗在Eviews中的實現—GDPP從GDPP(-1)的參數值看，其t統計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。至此，可斷定GDPP時間序列是非平穩的。

49精選pptADF檢驗在Eviews中的實現—檢驗△GDPP50精選ppt從△GDPP(-1)的參數值看，其t統計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。同時，由于時間項項T的t統計量也小于AFD分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設。需進一步檢驗模型2。在1%置信度下。

51精選ppt從△GDPP(-1)的參數值看，其統計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。同時，由于常數項的t統計量也小于AFD分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設。需進一步檢驗模型1。52精選ppt從△GDPP(-1)的參數值看，其統計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。至此，可斷定△GDPP時間序列是非平穩的。

53精選pptADF檢驗在Eviews中的實現—檢驗△2GDPP54精選ppt55精選ppt56精選ppt從△2GDPP(-1)的參數值看，其統計量的值小于臨界值，拒絕存在單位根的零假設。至此，可斷定△2GDPP時間序列是平穩的。GDPP是I(2)過程。

57精選ppt1、單整（integratedSerial）如果一個時間序列經過一次差分變成平穩的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。一般地，如果一個時間序列經過d次差分后變