一、變量可分離方程如果一階微分方程可以化為下列形式：則稱(chēng)原方程為變量可分離的方程。運(yùn)用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：其中C為積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)。

將一個(gè)方程化為變量分離方程并求出其通解的過(guò)程，稱(chēng)為分離變量法。第二節(jié)、可分離變量微分方程

1精選ppt

例解原方程即對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解2精選ppt

例解對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解隱函數(shù)形式經(jīng)初等運(yùn)算可得到原方程的通解為你認(rèn)為做完了沒(méi)有？3精選ppt原方程的解為4精選ppt

例解兩邊同時(shí)積分，得故所求通解為你認(rèn)為還需要討論嗎？為什么？

因?yàn)橹磺笸ń猓圆槐卦儆懻摿恕?精選ppt

例解原方程即兩邊積分，得故通解為曲線族的包絡(luò)。

工程技術(shù)中解決某些問(wèn)題時(shí)，需要用到方程的奇解。6精選ppt成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡(jiǎn),得特解并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時(shí)

例7精選ppt二、齊次方程齊次方程變量分離方程變量代換代入原方程，得注意：須將u代回.8精選ppt

例解于是，原方程化為兩邊積分，得即9精選ppt例7解是齊次方程,10精選ppt11精選ppt例8解12精選ppt13精選ppt可得OMA=OAM=

例在制造探照燈反射鏡面時(shí),解:設(shè)光源在坐標(biāo)原點(diǎn),則反射鏡面由曲線繞

x

軸旋轉(zhuǎn)而成.過(guò)曲線上任意點(diǎn)M(x,y)作切線MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

軸平行于光線反射方向,從而AO=OM要求點(diǎn)光源的光線反射出去有良好的方向性,試求反射鏡面的形狀.而AO于是得微分方程:14精選ppt利用曲線的對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)

y>0,積分得故有得

(拋物線)故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程)

15精選ppt頂?shù)降椎木嚯x為

h,說(shuō)明:則將這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為若已知反射鏡面的底面直徑為d,代入通解表達(dá)式得16精選ppt三、可化為齊次方程的方程齊次方程可化為齊次方程的方程變量代換變量分離方程變量代換17精選ppt三、可化為齊次方程的方程齊次方程可化為齊次方程的方程變量代換變量分離方程變量代換18精選ppt

例解于是，原方程變?yōu)槁?lián)立方程組解之，得可化為齊次方程的可化為齊次方程的19精選ppt兩邊積分，得即20精選ppt你由這個(gè)例題的解題過(guò)程想到什么了？21精選ppt可化為齊次方程的方程22精選ppt變量可分離方程齊次方程可化為齊次方程的方程一階齊線性方程一階非齊線性方程伯努利方程變量代換變量代換變量分離常數(shù)變易變量代換23精選ppt四、一階線性微分方程形如的方程稱(chēng)為一階線性微分方程。方程稱(chēng)為一階齊線性方程。方程稱(chēng)為一階非齊線性方程。習(xí)慣上，稱(chēng)為方程所對(duì)應(yīng)的齊方程。24精選ppt一階齊線性方程的解運(yùn)用分離變量法，得兩邊積分，得故表示一個(gè)原函數(shù)25精選ppt的解存在，且唯一，其通解為26精選ppt

例解故該一階齊線性方程的通解為

套公式！27精選ppt

例解先求此一階齊線性方程的通解：故該初值問(wèn)題的解為28精選ppt變量可分離方程齊次方程可化為齊次方程的方程一階齊線性方程一階非齊線性方程伯努利方程變量代換變量代換變量分離常數(shù)變易變量代換29精選ppt一階非齊線性方程的解比較兩個(gè)方程：請(qǐng)問(wèn)，你有什么想法？請(qǐng)問(wèn)，你有什么想法？我想：它們的解的形式應(yīng)該差不多。但差了一點(diǎn)什么東西呢？行嗎?!30精選ppt怎么辦？故即31精選ppt上式兩邊積分，求出待定函數(shù)

以上的推導(dǎo)過(guò)程稱(chēng)為“常數(shù)變易法”。這種方法經(jīng)常用來(lái)由齊次問(wèn)題推出相應(yīng)的非齊次問(wèn)題、由線性問(wèn)題推出相應(yīng)的非線性問(wèn)題。齊次方程通解非齊次方程特解即32精選ppt33精選ppt

例解所以，方程的通解為34精選ppt

例解不是線性方程原方程可以改寫(xiě)為這是一個(gè)以y

為自變量的一階非齊線性方程，其中故原方程的通解為35精選ppt解例10通解為36精選ppt解例12兩邊求導(dǎo)，得通解為于是37精選ppt變量可分離方程齊次方程可化為齊次方程的方程一階齊線性方程一階非齊線性方程伯努利方程變量代換變量代換變量分離常數(shù)變易變量代換38精選ppt五、伯努利方程形如的方程稱(chēng)為伯努利方程。代入伯努利方程后，可將其化為一階線性微分方程于是，原方程的通解為39精選ppt

例解故從而，原方程的通解為40精選ppt變量可分離方程齊次方程可化為齊次方程的方程一階齊線性方程一階非齊線性方程伯努利方程變量代換變量代換變量分離常數(shù)變易變量代換41精選ppt變量可分離方程齊次方程可化為