直線與圓的方程的應用類型一：直線與圓的方程在平面幾何中的應用例1．AB為圓的定直徑，CD為直徑，自D作AB的垂線DE，延長ED到P，使|PD|=|AB|，求證：直線CP必過一定點．證明：以線段AB所在的直線為x軸，以AB中點為原點，建立直角坐標系，如下圖．設圓的方程為x2+y2=r2，直徑AB位于x軸上，動直徑為CD．令C（x0，y0），則D（―x0，―y0），∴P（―x0，―y0―2r）．∴直線CP的方程為．即(y0+r)x―(y+r)x0=0．∴直線CP過直線：x=0，y+r=0的交點（0，―r），即直線CP過定點（0，―r）．舉一反三：【變式1】如圖，在圓O上任取C點為圓心，作一圓與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓D交于E、F，求證：EF平分CD．證明：令圓O方程為x2+y2=1．①EF與CD相交于H，令C（x1，y1），則可得圓C的方程(x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0．②①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0．③③式就是直線EF的方程，設CD的中點為H＇，其坐標為，將H＇代入③式，得．即H＇在EF上，∴EF平分CD．類型二：直線與圓的方程在代數中的應用例2．已知實數x、y滿足x2+y2+4x+3=0，求的最大值與最小值．【解析】（1）如圖所示，設M（x，y），則點M在圓O：(x+2)2+y2=1上．令Q（1，2），則設，即kx―y―k+2=0．過Q作圓O1的兩條切線QA、QB，則直線QM夾在兩切線QA、QB之間，∴kAQ≤kQM≤kQB．又由O1到直線kx―y―k+2=0的距離為1，得：，即．∴的最大值為，最小值為．舉一反三：【變式1】已知點A（―3，0），B（0，3），若點P在圓上運動，則△PAB面積的最小值為________．【答案】【解析】圓的標準方程為，圓心C（1，0），半徑r=1，當過P的直線和AB平行時，△PAB的面積最小，∵A（－3，0），B（0，3），∴AB的方程為，即x－y+3=0，此時圓心C到直線AB的距離，則△PAB的邊長，AB邊上的高，則△PAB面積，故答案為：【變式2】設函數和，已知當x∈[－4，0]時，恒有，求實數a的取值范圍．【解析】因為，所以，即，分別畫出和的草圖，利用數形結合法，當直線與半圓相切時取到最大值，由圓心到直線的距離為2，求出，即得答案．類型三：直線與圓的方程的綜合應用例3．已知圓C關于y軸對稱，圓心在x軸上方，且經過點，被x軸分成兩段弧長之比為1∶2，求圓C的標準方程．【解析】設圓心C（0，a），a＞0，則半徑為CA，根據圓被x軸分成兩段弧長之比為1∶2，可得圓被x軸截得的弦對的圓心角為，故有，解得a=1，半徑，故圓的方程為．舉一反三：【變式1】已知圓x2+y2+x―6y+m=0與直線x+2y―3=0相交于P、Q兩點，點O為坐標原點，若OP⊥OQ，求m的值．【解析】由得代入，化簡得：5y2-20y+12+m=0，y1+y2=4，設的坐標分別為，，由可得：===0解得：例4．已知：以點（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O，與y軸交于點O，B，其中O為原點．（1）當t=2時，求圓C的方程；（2）求證：△OAB的面積為定值；（3）設直線y=－2x+4與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．【解析】（1）當t=2時，圓心為C（2，1），∴圓C的方程為(x―2)2+(y―1)2=5；（2）由題設知，圓C的方程為，化簡得．當y=0時，x=0或2t，則A（2t，0）；當x=0時，y=0或，則，∴為定值．（3）∵OM=ON，則原點O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，∴C、H、O三點共線，KMN=－2，則直線OC的斜率，∴t=2或t=－2．∴圓心為C（2，1）或C（―2，―1），∴圓C的方程為(x―2)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5．由于當圓方程為(x+2)2+(y+1)2=5時，直線2x+y―4=0到圓心的距離d＞r，此時不滿足直線與圓相交，故舍去，∴所求的圓C的方程為(x―2)2+(y―1)2=5．【鞏固練習】1．自點A（－1，4）作圓(x－2)2+(y－3)2=1的切線，則切線長為（）．A．B．3C．D．51．【答案】B【解析】圓心C（2，3），，∴切線長．2．臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的地區為危險區，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區內的時間為（）．A．0.5小時B．1小時C．1.5小時D．2小時2．【答案】B【解析】A（0，0），B（40，0）．設臺風的移動方向是射OC，則射線OC的方程是y=x（x≥0），以B為圓心，30為半徑長的圓與射線OC交于M和N兩點，則當臺風中心在線段MN上移動時，B城市處于危險區內．點B到直線OC的距離是，則有（千米），因此B城市處于危險區內的時間為（小時）3．已知點A（－2，0），B（0，2），點C是圓x2+y2－2x=0上任意一點，則△ABC面積的最大值是（）．A．6B．8C．D．3．【答案】D【解析】直線AB的方程是，，則當△ABC面積取最大值時，邊AB上的高即點C到直線AB的距離d取最大值．又圓心M（1，0），半徑r=1，點M到直線的距離是，d的最大值是，△ABC面積的最大值是4．設圓C：，直線l：y=x+b．若圓C上恰有4個點到直線l的距離等于1，則b的取值范圍是（）A．B．C．D．4．【答案】D【解析】由圓C的方程：，可得圓C的圓心為原點O（0，0），半徑為2若圓C上恰有4個點到直線l的距離等于1，則O到直線l：y=x+b的距離d小于1直線l的一般方程為：x－y+b=0，∴，解得5．已知圓的方程為x2+y2－6x－8y=0．設該圓過點（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）．A．B．C．D．5．【答案】B【解析】圓心坐標是（3，4），半徑是5，圓心到點（3，5）的距離為1，根據題意最短弦BD和最長弦（即圓的直徑）AC垂直，故最短弦的長為，所以四邊形ABCD的面積為．6．已知圓C與直線x－y=0及x－y－4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為（）．A．(x+1)2+(y－1)2=2B．(x－1)2+(y+1)2=2C．(x－1)2+(y－1)2=2D．(x+1)2+(y+1)2=26.【答案】B【解析】因為兩條切線x―y=0與x―y―4=0平行，故它們之間的距離即為圓的直徑，故，所以．設圓心坐標為P（a，―a），則點P到兩條切線的距離都等于半徑，故，，解得a=1，故圓心為（1，―1），所以圓的標準方程為(x―1)2+(y+1)2=27．直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my－4=0交于M，N兩點，且M，N關于直線x+2y=0對稱，則k+m=（）A．－1B．1C．0D．27．【答案】B【解析】由題可知：直線x+2y=0是線段MN的中垂線，得，解之得k=2，所以圓方程為x2+y2+2x+mh－4=0，圓心坐標為，將代入x+2y=0，解得m=－1，得k+m=1．8．以直線2x+y－4=0與兩坐標軸的一個交點為圓心，過另一個交點的圓的方程為________．8．【解析】令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴直線與兩軸交點坐標為A（0，4）和B（2，0），以A為圓心過B的圓的半徑為，∴以A為圓心過B的圓的方程為；以B為圓心過A的圓的半徑為，∴以B為圓心過A的圓方程為，故過另一個交點的圓的方程為：或．9．若不同兩點P、Q的坐標分別為（a，b）、（3－b，3－a），則線段PQ的垂直平分線的斜率為________；圓(x－2)2+(y－3)2=1關于直線對稱的圓的方程為________．9．【答案】―1x2+(y―1)2=1【解析】由題可知，又k1kPQ=―1k1=―1，圓關于直線對稱，找到圓心（2，3）的對稱點（0，1），又圓的半徑不變，易得x2+(y―1)2=110．過原點的直線與圓x2+y2－2x－4y+4=0相交所得弦的長為2，則該直線的方程為________．10．【答案】2x―y=0【解析】設所求直線方程為y=kx，故圓心到直線距離等于，即圓心位于直線kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直線方程為2x―y=0．11．設兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），則兩圓心的距離|C1C2|=．11．【答案】8【解析】依題意，可設圓心坐標為（a，a）、圓半徑為r，其中r=a＞0，因此圓方程是(x―a)2+(y―a)2=a2，由圓過點（4，1）得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，則該方程的兩根分別是圓心C1，C2的橫坐標，．12．已知點M（－1，0），N（1，0），曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N的距離的倍．（1）求曲線E的方程；（2）已知m≠0，設直線l：x－my－1=0交曲線E于A，C兩點，直線l2：mx+y－m=0交曲線E于B，D兩點，若CD的斜率為－1時，求直線CD的方程．12．【解析】（1）設曲線E上任意一點坐標為（x，y），由題意，，整理得x2+y2－4x+1=0，即(x－2)2+y2=3，∴曲線E的方程為(x－2)2+y2=3．（2）由題知l1⊥l2，且兩條直線均恒過點N（1，0），設曲線E的圓心為E，則E（2，0），線段CD的中點為P，則直線EP：y=x－2，設直線CD：y=－x+t，由，解得點，由圓的幾何性質，，而，|ED|2=3，，解之得t=0，或t=3，∴直線CD的方程為y=―x，或y=―x+3．13．已知點P（x，y）在圓x2+y2－6x－6y+14=0上．（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最大值與最小值；（3）求x+y的最大值與最小值．13．【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0，變形為(x―3)2+(y―3)2=4．（1）表示圓上的點P與原點連線的斜率，顯然PO與圓相切時，斜率最大或最小．設切線方程為y=kx，即kx―y=0，由圓心C（3，3）到切線的距離等于半徑長2，可得，解得，所以，的最大值為，最小值為．（2）x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圓上的點P到E（―1，0）的