處理多元函數范圍（最值）問題的八大視角1.均值不等式2.柯西不等式3.三角代換4.利用等高線與鉛垂線消元5.尋找幾何意義6.切線分析7.同構8.一些重要的多元結論例1．記的內角，，的對邊分別為，，．已知．（1）求的值：（2）求的最大值．解析：（1）由余弦定理可得，代入，得到，化簡得，即.由正弦定理可得，即，展開得，即，所以．（2）由得，故，當且僅當，即時等號成立．因為，所以，所以的最大值為.例2．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）求的最小值．解析：（1）由余弦定理知，所以，由,得，即,又因為，所以，即，在中，，所以．（2）由（1）知，則，得，所以，當且僅當時等號成立．所以的最小值為．2.柯西不等式柯西不等式：若，則，當且僅當時等號成立.或者中至少有一方全為零.例3．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，P為橢圓與雙曲線的交點，且則的最大值為（

）A． B． C． D．解析：設P為第一象限的交點，，，在中，由余弦定理得，即，則，化簡得，即，則，由柯西不等式得，所以，當且僅當時，等號成立，故選：D例4．已知為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交于，兩點，則A．的準線為 B．直線與相切 C． D．解析：點在拋物線上，，解得，拋物線的方程為，準線方程為，選項錯誤；由于，，則，直線的方程為，聯立，可得，解得方程有兩個相等的根，故直線與拋物線相切，選項正確；根據對稱性及選項的分析，不妨設過點的直線方程為，與拋物線在第一象限交于，，，，聯立，消去并整理可得，則，，，由柯西不等式可得：，由于等號在時才能取到，故等號不成立，選項正確；，選項正確．故選：．3.三角代換例5．若，滿足，則A． B． C． D．解析：由可得，，令，則，，，故錯，對，，，故對，錯，故選：．例6．已知點是圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5解析：由，令，則，所以當時，的最大值為.故選：A例7．實數滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．解析：由題意得，即點在直線上，點在曲線上，表示兩點距離的平方，不妨設，則到直線的距離為，故的最小值為，當時取等號.故選：A4.等高線與鉛垂線例8．已知，，若，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．解析：令，即，所以，，，令，則，所以，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，因為，所以，所以，的最小值是.故選：D例9．已知函數，，若成立，則n－m的最小值為（

）A． B．C． D．解析：令，則，，∴，，即，，，∴，有，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；∴，即的最小值為.故選：A.5.尋找幾何意義例10．已知，則y的最小值為（

）A． B． C． D．解析：y的最小值即為上的點與上的點的距離的平方的最小值.，令，解得：，又，故圖象上與平行的切線在圖像上的切點為.于是圖像上的點與上的點的最短距離為點到的距離，即最短距離，則，y的最小值為.故選：B.例11．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．解析：由，則點在函數上，，則點在函數上，則表示、兩點的距離的平方，要求的最小值，即求的最小值，當過的點切線與直線平行時，點到直線的距離即為的最小值，由可得，所以，解得，所以，即，所以到的距離，即，所以的最小值為；故選：C例12．已知且，則的最小值是（

）A． B． C． D．8解析：代數式可以看成點到點距離的平方，點在平面直角坐標系中，表示單位圓上的點，點表示曲線上的點，如下圖所示：，由，所以曲線在點處的切線方程為：，此時直線與直線垂直于點，交圓于點，由數形結合思想可以確定：當點運動到點時，當點運用到點時，有最小值，即，故選：B6.切線分析例13.若直線和的圖象相切，則的最小值為________.解析：設和的圖象相切于點，因為，所以的圖象在點P處的切線方程為，即,從而，，所以，設，則，所以，，故在上，在上，從而,所以的最小值為0.例14.已知直線是曲線的一條切線，則的最大值是________.解析：設切點為，，所以切線方程為，整理得：，所以，，從而，設，則，所以，,從而在上，在上，故，即的最大值為.7.同構例15．已知函數，.若存在，使得成立，則的最大值為（

）A．B．C． D．解析：，，由于，則，同理可知，，函數的定義域為，對恒成立，所以，函數在區間上單調遞增，同理可知，函數在區間上單調遞增，，則，，則，構造函數，其中，則.當時，，此時函數單調遞增；當時，，此時函數單調遞減.所以，.故選：C.例16．已知函數，，若，，則的最大值為（

）A． B． C． D．由題意得，，，即，令函數，則，所以，時，，在上單調遞減，時，，在上單調遞增，又當時，，時，，作函數的圖象.由圖可知，當時，有唯一解，故，且，∴.設，，則，令解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，∴，即的最大值為.故選：D.8.幾個特殊的結論（1）.先介紹兩個函數：，.這兩個函數的零點要注意，首先，一定是一個零點，其次，當滿足一定條件時，還會再有兩個零點出現，并且，這兩個函數有一個很重要的特點，若，則有，這就意味著剩下的兩個零點會有隱含關系：，這個關系在解決相關多極值點問題時至關重要！例17．已知函數有三個零點，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：定義域為，顯然，若是零點，則，，所以也是零點，函數有三個零點，不妨設，則，所以，，當時，結合定義域和判別式易知恒成立，即函數在上單調遞增，不符合題意；當時，設的兩根分別為，易知，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，，，當，，所以由零點存在定理易知有三個零點，滿足題意.綜上，的取值范圍是故選：B（2）常見結論：設函數，若且，證明：當時,，由于,即,即當時,由于,即,即例18．設函數，有四個實