第二章一、導數和微分概念及應用二、導數和微分求法導數與微分三、典型題型解題辦法與技巧1第1頁一、導數和微分概念及應用★導數:當時,為右導數當時,為左導數★微分:★可導與可微概念：可導存在.可微其中A是與無關常數.特點是：“分子一定一動，分母有左有右”分子是函數值之差，分母是對應自變量之差，分母趨于零極限.能2第2頁聯系:區分：可從定義式子；實質；幾何意義三方面考查.

是函數相對于自變量變化率.

是相對于自變量變化量為時，★導數與微分區分與聯系函數變化量線性主部.即當是曲線縱坐標增量時，就是切線縱坐標對應增量.3第3頁★可導與可微區分與聯系:區分：可從定義式子；幾何意義兩方面考查.可導存在.可導一定有切線且切線不垂直于x軸.以直代曲當很小時，在點M附近，可用切線段近似地替代曲線段.可微聯系：可微必可導，可導必可微.可微其中A是與無關常數.能4第4頁★幾個定理

定理1定理2定理3在處可導在處連續在處極限一定存在，即存在.在可微可微可導連續有極限有定義在點可微在點處可導5第5頁思考：6第6頁★應用:(1)利用導數定義處理問題

(2)用導數可求切線與法線方程4）用導數定義求極限；2)求分段函數在分界點處導數,及某些特殊函數在特殊點處導數;3)由導數定義證明某些命題；1)利用導數定義求函數在某點處導數；用導數可求變速直線運動速度與加速度5）判斷函數在某一點可導性.7第7頁1）幾何應用(1)幾何意義：是y=f(x)在點(2)切線、法線方程：切線方程：法線方程：2）物理應用瞬時速度：瞬時加速度：處切線斜率.8第8頁二、導數和微分求法（微分法）1.正確使用導數及微分公式（16個）和法則（四則法則；鎖鏈法則；反函數求導法則）2.純熟掌握求導辦法和技巧(1)求分段函數導數注意討論分界點處左右導數是否存在和相等(2)隱函數求導法(直接法、微分法）(3)參數方程求導法（復合函數法、微商法）(5)復合函數求導法(可利用微分形式不變性)(6)高階導數求法（逐次求導歸納;間接求導法）(4)對數函數求導法（對多種因式積商、乘方開方及冪指函數有用）9第9頁3.常數和基本初等函數導數(P94)及法則10第10頁★有限次四則運算求導法則（注意條件）(C為常數)★復合函數求導法則（注意條件）★反函數求導法則（注意條件）★初等函數在定義區間內可導,且導數仍為初等函數.注意:11第11頁4.高階導數1）定義：假如函數導數在點處可導，即存在則稱為函數在點處二階導數.記作二階和二階以上導數統稱為高階導數.一般地，函數n-1階導數導數稱為函數n階導數.對應地，稱為零階導數，稱為一階導數.12第12頁2)高階導數計算：(C為常數)直接法和間接法(3)乘積該公式稱為萊布尼茲公式，它和二項式公式有類似記憶3)高階導數基本公式13第13頁1.有以上公式與法則，我們就能夠對各類函數（顯函數；隱函數；參數方程體現函數；分段函數等）求各階導(函）數及微分.2.求導時應認清構造及變量之間關系.3.求導時應認清誰是自變量誰是函數.對哪一種變量求導.4.應正確使用符號.如說明：符號長處:1.表達導數時能顯示誰是函數誰是自變量2.表達微分時有商含義，故3.隱含著微分形式不變性14第14頁例1.設存在,求解:原式=處可導三、典型題型解題辦法及技巧題型1：已知導數求極限一般若存在15第15頁一般若存在一般若存在16第16頁例2.設，討論在處可導性，并求解:

不存在不連續，從而不可導.不過一般若存在17第17頁例3.若且存在,求解:

原式=且聯想到湊導數定義式18第18頁例4.設在處連續,且求解:處可導，即處右可導，即題型2：已知極限求導數19第19頁在處可導一種充足條件是（）練習

設在某個鄰域內有定義，則處可導20第20頁題型3：利用導數定義求函數在某點導數提醒：下列情況必須用導數定義求導數1）求分段函數在分界點處導數時；2）不符合求導法則條件時3）體現式中抽象函數可導性未知時就不能盲目標用求導法則處導數.例5.求處導數.解:注意：可導可導=可導；可導不可導就不一定可導.注意：可導可導=可導；可導不可導就一定不可導.21第21頁例6.解:分析:不能用公式求導.求左右極限22第22頁設連續，且，求.可導不一定存在故用定義求例7.解:注意：求導法則成立是有條件.23第23頁設解:由于又例8.因此在處連續.即在處可導.處連續性及可導性.注：判斷可導性辦法不連續,一定不可導.連續直接用定義;看左右導數是否存在且相等.24第24頁例9.設求使存在最高分析:

不過不存在.2又階數25第25頁注意：

26第26頁

故分段函數分界點處導數必須用導數定義求；非分界點處導數用公式與法則求導.27第27頁解:

辦法1

利用導數定義.辦法2

利用求導公式.例10

28第28頁例11證明：處可導且為偶函數證明：定義法公式法即題型4：利用導數定義證明導函數性質29第29頁思考：[05數一、二，4分]設F(x)導數是f(x)，表達“M充足必要條件是N”，則必有(B)F(x)是奇函數f(x)是偶函數.F(x)是偶函數f(x)是奇函數.f(x)是周期函數.(C)F(x)是周期函數f(x)是單調函數.(D)F(x)是單調函數[A]30第30頁解題型5：求各類函數導數及微分例12求下列函數導數關鍵:弄清函數運算構造，對復合函數構造應由外向內逐層求導.求導次序：先加減后乘除，再用鎖鏈法則.其中可微,31第31頁其中可微,另解:解:32第32頁解：冪指函數求導辦法有兩種：辦法1：對數求導法然后用隱函數求導法求導.辦法2：利用復合函數求導法變形為然后用復合函數求導法求導.33第33頁例13.解：求導小技巧：先變形再求導34第34頁注：由參數方程所確定導數求導法：若參數方程可確定一種y與x之間函數可導,且關系,法1：由復合函數及反函數求導法則得即法2：由微商及微分計算求導?已知注意:對誰求導?35第35頁單值可導隱函數并求公式法：在點(0,0)某鄰域可確定一種兩邊微分微分法：36第36頁兩邊對x求導直接求導法：令x=0,注意此時兩邊對x求導小技巧單值可導隱函數并求在點(0,0)某鄰域可確定一種提醒：兩邊取對數37第37頁例15.設試確定常數a,b

使f(x)

到處可導,并求解：

得可導必連續即38第38頁是否為連續函數?如何求鑒別:即練習：注意：分段函數求導時，分界點處導數用左右導數定義求.其他點處導數用公式和法則求.39第39頁例16設解

例17設解注意辨別符號：40第40頁題型6：導數應用例18.解：對方程分別對t求導得所