經典截長補短法巧解截長補短法是證明幾何題中的重要方法之一，通常用于證明線段之間的數量關系。其中，截長法可以通過過某一點作長邊的垂線或在長邊上截取一條與某一短邊相等的線段來證明數量關系。而補短法則可以通過延長短邊或旋轉等方式使兩短邊拼合到一起來證明數量關系。例如，在正方形ABCD中，若DE=DF，DG垂直于CE交CA于G，GH垂直于AF，交AD于P，交CE延長線于H，要證明三條粗線DG、GH、CH的數量關系與另一短邊相等。對于另一個問題，正方形ABCD中，點E在CD上，點F在BC上，且∠EAF=45°，要證明EF=DE+BF。我們可以通過延長CD到點G，使得DG=BF，連接AG，再利用相似三角形證明DE=AG，從而得出EF=DE+BF的結論。另外一個問題是，正方形ABCD中，點E在CD延長線上，點F在BC延長線上，且∠EAF=45°，要求出△AEF的面積。我們可以通過延長AD和AF相交于點G，再利用相似三角形證明AE=AG和AF=AG，從而得出△AEF的面積為1/2×AE×EF=1/2×AG×(AG+GF)。又AG=AF=AE所以三角形EAG和EAF是全等的（SAS）。根據題目給出的圖形，我們可以得到EF的長度為BF-DE，或者DE-BF，具體取決于我們在BC或者DC上截取什么長度。因此，我們可以對題目中的每個圖形進行簡單的變形和推導，得到EF的長度為BE+FC或者CG+FC，具體取決于我們在AC或者CD上截取什么長度。在Rt$\triangle$ADG中，$\angle$GAD=30°，AD=3；$\angle$AGD=60°，AG=2。設EH=x，在Rt$\triangle$EGH和Rt$\triangle$EHA中，$\angle$AGD=60°，$\angle$HAE=45°。由三角形的正弦定理可得，$HG=\frac{3}{\sqrt{3}},AH=x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，所以$AG=HG+AH=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。又因為$\triangle$EAF和$\triangle$EAG共邊EA，且$\angle$EAF=$\angle$EAG=90°，所以$\triangle$EAF和$\triangle$EAG全等，所以S$\triangle$EAF=S$\triangle$EAG=EH$\times$AG$\div2=\frac{3-\sqrt{3}}{4}$。正方形ABCD中，對角線AC與BD交于O，點E在BD上，AE平分$\angle$DAC。因為四邊形ABCD是正方形，所以$\angle$ADC=90°，BD平分$\angle$ADC，AC$\perp$BD，所以$\angle$ADB=$\angle$ADC/2=45°。因為AE平分$\angle$DAC，EO$\perp$AC，EG$\perp$AD，所以$\angle$EAO=$\angle$EAG，$\angle$DGE=$\angle$AOE=$\angle$AGE=90°，又AE=AE，所以$\triangle$AEO全等于$\triangle$AEG（AAS），所以AG=AO，EO=EG。又因為$\angle$ADB=45°，$\angle$DGE=90°，所以$\triangle$DGE為等腰直角三角形，DG=EG=EO，AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2，即AC/2=AD-EO。正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延長線上，CM=AN，點E在BD上，NE平分$\angle$DNM。按照上一個問題的思路，可得到$\triangle$GNE全等于$\triangle$FNE（AAS），$\triangle$DGE為等腰直角三角形，AG=AD-DG=AD-EF。因為四邊形ABCD為正方形，$\angle$ABC=$\angle$GAQ=$\angle$BCM=90°，BD平分$\angle$ABC，BC=BA，$\angle$ABD=$\angle$ABC/2=45°，又$\angle$EQB=90°，$\triangle$EQB為等腰Rt三角形，$\angle$BEQ=45°。因為$\angle$GAQ=$\angle$EGA=$\angle$EQA=90°，所以四邊形AGEQ為矩形，$EQ=AG=AD-EF$，$EQ\parallelAG$，$\angle$QEN=$\angle$ENG，又$\angle$ENG=$\angle$ENF，所以$\angle$QEN=$\angle$ENF。由BC=BA，$\angle$BCM=$\angle$BAN=90°，CM=AN，所以$\triangle$BCM全等于$\triangle$BAN（SAS），BM=BN，$\angle$CBM=$\angle$ABN，$\angle$ABC=90°=$\angle$ABM+$\angle$CBM=$\angle$ABM+$\angle$ABN=$\angle$MBN，又BM=BN，所以$\triangle$MBN為等腰直角三角形，MN=$\sqrt{2}BM=\sqrt{2}BN=\sqrt{2}AD/2=\sqrt{2}/2$。又因為$\triangle$NEF和$\triangle$NEA共邊NE，且$\angle$NEF=$\angle$NEA=90°，所以$\triangle$NEF和$\triangle$NEA全等，所以EF=EA=AD-$\sqrt{2}$MN=AD-$\sqrt{2}$/2。所以MN/2=AD-EF。根據題目所給信息，可以得出三角形MBN是等腰直角三角形，因為BP垂直于斜邊MN于點P，所以三角形NPB也是等腰直角三角形。由此可以得到BP等于MN的一半，且角PNB等于45度。角BNE等于角ENF加上角PNB，角BEN等于角QEN加上角QEB。因為角QEN