第四節(jié)巖石的強度理論

研究巖石破壞原因、過程及條件的理論—巖石的強度理論。將表征巖石強度條件的函數(shù)稱為巖石的強度準(zhǔn)則，而將表征巖石破壞條件的函數(shù)稱為巖石的破壞判據(jù)。第四節(jié)巖石的強度理論研究巖石破壞原因、過程及1一、一點的應(yīng)力狀態(tài)1、正負號的規(guī)定①壓為正，拉為負；②剪應(yīng)力是使物體產(chǎn)生逆時針轉(zhuǎn)為正，反之為負；

③角度以X軸正向沿逆時針方向轉(zhuǎn)動所形成的夾角為正，反之為負。2、一點的應(yīng)力的表示方法三個正應(yīng)力：σx、σy、σz，正應(yīng)力的角標(biāo)為正應(yīng)力作用面的外法線方向；一、一點的應(yīng)力狀態(tài)1、正負號的規(guī)定2剪應(yīng)力的角標(biāo)為：第一個角標(biāo)表示剪應(yīng)力作用面的外法線方向；第二個角標(biāo)表示剪應(yīng)力作用的方向。三對剪應(yīng)力：在平面問題中，獨立的應(yīng)力分量只有三個，即：σx

、σy

、τxyτxy=τyxτyz=τzyτzx=τxz剪應(yīng)力的角標(biāo)為：三對剪應(yīng)力：在平面問題中，獨立的應(yīng)33、平面問題的簡化①平面應(yīng)力問題（垂直于平面方向應(yīng)力為零），如薄板問題；②平面應(yīng)變問題（垂直于平面方向應(yīng)變?yōu)榱悖?如大壩、路堤、隧道橫斷面等問題。不論那一種平面問題，用彈性力學(xué)的方法進行分析所得的結(jié)果，可以互相轉(zhuǎn)換：平面應(yīng)力計算公式中的

E

用E/（1-μ2）、

μ用μ/（1-μ）代入，即可將平面應(yīng)力問題的計算公式轉(zhuǎn)換成平面應(yīng)變問題的計算公式。3、平面問題的簡化①平面應(yīng)力問題（垂直于平面方向應(yīng)力為零），44、基本應(yīng)力公式

如圖所示：以二維平面問題為例任意角度傾斜截面上的應(yīng)力計算公式下：τxyτyxτyxτxyσx

σyσyσx

σnτnα4、基本應(yīng)力公式如圖所示：τxyτyxτyxτ5若上述公式對求導(dǎo)，即可求得最大、最小主應(yīng)力的表達式如下：若上述公式對求導(dǎo)，即可求得最大、最小主應(yīng)力的6

應(yīng)力圓二倍角對應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；點面對應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)值對應(yīng)著微元某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；應(yīng)力圓二倍角對應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——7最大主應(yīng)力與σx的夾角可按下式求得：此外，在分析任意角的應(yīng)力狀態(tài)時，也常用最大、最小主應(yīng)力表示：最大主應(yīng)力與σx的夾角可按下式求得：此外，在分析任意角的應(yīng)8莫爾應(yīng)力圓的表示方法如下：圓心為半徑等于o′σ3σ12αoστ莫爾應(yīng)力圓的表示方法如下：圓心為半徑等于o′σ3σ12αo92α-2ασ1σ1σ3σ3α-αDD′τσσ1σ3ODD′2α-2ασ1σ1σ3σ3α-αDD′τσσ1σ3ODD′10強度理論：關(guān)于材料破壞原因和條件的假說。

巖石強度理論基本思想：①確認(rèn)材料失效的力學(xué)原因，提出破壞條件假說。②用簡單受力情況下的破壞實驗指標(biāo)，建立復(fù)雜

應(yīng)力狀態(tài)下的彈性失效準(zhǔn)則。

巖石破壞類型：

①斷裂破壞：單軸拉斷、劈裂——由拉應(yīng)力引起；②剪切破壞：塑性流動、剪斷——由剪應(yīng)力引起。強度理論：關(guān)于材料破壞原因和條件的假說。11二、莫爾強度理論（Mohr1900年提出，莫爾強度準(zhǔn)則）在荷載作用下材料達到極限狀態(tài)時，破壞面上的剪應(yīng)力達到一個取決于破壞面正應(yīng)力與材料性質(zhì)的最大值。即：莫爾強度理論的建立是①用莫爾應(yīng)力圓來表示一點的應(yīng)力狀態(tài)；②由各種試驗確定材料破壞面上正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力—強度曲線；二、莫爾強度理論（Mohr1900年提出，莫爾強度準(zhǔn)則）12材料破壞時不同應(yīng)力狀態(tài)的—

極限應(yīng)力圓與強度曲線—建立強度準(zhǔn)則。

④①—單軸拉伸；②—單軸壓縮；

③—三軸壓縮；④—莫爾包絡(luò)線τσO②③①③莫爾強度曲線繪制(由單拉,單壓,三壓強度實驗得到）材料破壞時不同應(yīng)力狀態(tài)的—

13莫爾強度曲線繪制(由單拉,單壓,三壓強度實驗得到）特點：曲線左側(cè)閉合，向由側(cè)開放（耐壓、不耐拉）；曲線的斜率各處不同（內(nèi)摩擦角、似內(nèi)聚力變化，與所受應(yīng)力有關(guān)）；曲線對稱于正應(yīng)力軸(破壞面成對出現(xiàn)，形成X型節(jié)理)；不同巖石其強度曲線不同(不同巖石具有不同的強度性)。莫爾強度曲線繪制(由單拉,單壓,三壓強度實驗得到）特點：曲141、直線型強度線由于直線型強度線與庫倫強度線一致，因此也稱庫倫—莫爾強度線，即庫倫·莫爾強度理論（準(zhǔn)則）。C·A·Coulomb1773年提出的庫倫·莫爾強度理論,是莫爾準(zhǔn)則的一特例——簡潔、應(yīng)用簡便。1、直線型強度線由于直線型強度線與庫倫強度15oστσ3σ1c·ctgφcφ圖2-29庫侖—莫爾強度條件oστσ3σ1c·ctgφcφ圖2-29庫侖—16巖石的強度(條件)準(zhǔn)則：巖石的破壞判據(jù)：或或或（2）數(shù)學(xué)表達式巖石的強度(條件)準(zhǔn)則：巖石的破壞判據(jù)：或或或（2）數(shù)學(xué)表達17（3）與單軸抗壓強度的關(guān)系（2-42）由主應(yīng)力表示巖石的強度條件（2—42）（3）與單軸抗壓強度的關(guān)系（2-42）由主應(yīng)力表示巖石的強18由式（2-42）推出：

其中（5）破壞方向角當(dāng)時，；（）令為拉壓指數(shù)。σ1－σ3坐標(biāo)系圖由式（2-42）推出：其中（5）破壞方向角當(dāng)時，19σcσ1=

ξσ3+σcσtσ3Oσ1σ1=σ3σcσ1=ξσ3+σcσtσ3Oσ1σ1=σ3202、拋物線型強度曲線巖性較軟弱的巖石，如泥巖、頁巖等的強度線近似于此種類型。

根據(jù)拋物線方程式，以巖石單軸抗拉強度表示，巖石的強度準(zhǔn)則（強度條件）：

巖石的破壞判據(jù)：

2、拋物線型強度曲線巖性較軟弱的巖石，如泥巖21σcτ2=σt(σ+σt)σtσOτ拋物線σcτ2=σt(σ+σt)σtσOτ拋物線223、雙曲線型強度曲線

對于砂巖，石灰?guī)r等較堅硬的巖石，其強度曲線近似于雙曲線型。根據(jù)雙曲線方程式，其巖石的強度準(zhǔn)則

（強度條件）為：其破壞判據(jù)：

式中

所以不適用于的巖石。當(dāng)時tgη出現(xiàn)虛值，3、雙曲線型強度曲線對于砂巖，石灰?guī)r等23σtσcτ2=(σ+σt)2

tgη+σt(σ+σt)σOτ漸近線雙曲線ηη為包絡(luò)線漸近線

與水平軸夾角σtσcτ2=(σ+σt)2tgη+σt(σ+σt)σO24（四）對莫爾強度理論的評價：

優(yōu)點：①適用于塑性巖石，也適用于脆性巖石的剪切破壞；②較好解釋了巖石抗拉強度遠遠低于抗壓強度特征；③解釋了三向等拉時破壞，三向等壓時不破壞現(xiàn)象；④簡單、方便:同時考慮拉、壓、剪,可判斷破壞方向.不足：①忽視了σ2

的作用，誤差：±15％；②沒有考慮結(jié)構(gòu)面的影響；③不適用于拉斷破壞；破裂面趨于分離④不適用于膨脹、蠕變破壞。（四）對莫爾強度理論的評價：25三、格里菲斯準(zhǔn)則（Griffth1921）斷裂力學(xué)21年提出格里菲斯強度理論，并于70年代引入巖石力學(xué)領(lǐng)域。

1）基本假設(shè)（觀點）：

①物體內(nèi)隨機分布許多裂隙；

②所有裂隙都張開、貫通、獨立；

③裂隙斷面呈扁平橢圓狀態(tài)；

④在任何應(yīng)力狀態(tài)下，裂隙尖端產(chǎn)生拉應(yīng)力集中，導(dǎo)致裂隙沿某個有利方向進一步擴展。

⑤最終在本質(zhì)上都是拉應(yīng)力引起巖石破壞。三、格里菲斯準(zhǔn)則（Griffth1921）斷26第四節(jié)巖石強度理論課件27

裂紋將沿著與最大拉應(yīng)力成直角的方向擴展，格里菲斯認(rèn)為當(dāng)作用在裂紋尖端附近的有效應(yīng)力達到形成新裂紋所需能量時，裂紋開始擴展，其表達式為：式中：σt—裂紋尖端附近所作用的最大拉應(yīng)力；

ρ—裂紋的比表面能；

c—裂紋長半軸；

E—巖石的彈性模量。裂紋將沿著與最大拉應(yīng)力成直角的方向擴28σ3

σ3

βσ1ψβψσ1ψxyσ3σ3βσ1ψβψσ1ψxy292）兩個關(guān)鍵點：①最容易破壞的裂隙方向；②最大應(yīng)力集中點（危險點）。在壓應(yīng)力條件下裂隙開列及擴展方向帶橢圓孔薄板的孔邊應(yīng)力集中問題2）兩個關(guān)鍵點：在壓應(yīng)力條件下裂隙開列及擴展方向帶橢圓孔薄板30①數(shù)學(xué)式③Griffth準(zhǔn)則幾何表示②最有利破裂的方向角3）Griffth（張拉）準(zhǔn)則（a）在坐標(biāo)下圖2—43由此區(qū)可見，當(dāng)時，即壓拉強度比為8。①數(shù)學(xué)式③Griffth準(zhǔn)則幾何表示②最有利破裂的方向31在σ1—σ3坐標(biāo)軸下

格里菲斯強度判據(jù)的圖解σ3σ1σ1+3σ3=0σ3=σtσ1

=σ3非破裂區(qū)破裂區(qū)在σ1—σ3坐標(biāo)軸下

格里菲斯強度判據(jù)的圖解σ3σ32

（b）τ－σ

坐標(biāo)下設(shè)－應(yīng)力圓半徑；－圓心；又設(shè)，則Griffth強度準(zhǔn)則第二式寫成（a）

而應(yīng)力圓方程：（b）

（a）代入圓方程得：（c）上式即為滿足強度判據(jù)的極限莫爾應(yīng)力圓表達。求切點：由（c）式對σm求導(dǎo)得：（b）τ－σ坐標(biāo)下設(shè)－應(yīng)力圓33(d)(d)代入(c）得在下的準(zhǔn)則與庫侖準(zhǔn)則類似，為拋物線型。Griffh準(zhǔn)則僅考慮巖石開裂，并非宏觀上破壞，故強度值偏大。

小結(jié)(d)(d)代入(c）得在下的準(zhǔn)則34σc=-8σtτσσ3

=σt(σ1+3σ3)＜0τ=4σt(σ+σt

)oτ2β(σ1+3σ3)>0σc=-8σtτσσ3=σt(σ1+3σ3)＜0τ=435格里菲斯強度判據(jù)應(yīng)力條件

σ1+3σ3≥0

σ1+3σ3＜0圖形最易擴展的裂紋方向裂紋開始擴展的強度判據(jù)最易發(fā)生擴展的位置與擴展方向在裂紋尖端附近擴展方向與裂紋長軸夾角為2ψ在裂紋尖端擴展方向平行與裂紋長軸格里菲斯強度判據(jù)應(yīng)力條件σ1+3σ3≥0σ1+3σ36Grriffith強度準(zhǔn)則評價：優(yōu)點：①巖石抗壓強度為抗拉強度的8倍，反映了巖石的真實情況；②證明了巖石在任何應(yīng)力狀態(tài)下都是由于拉伸引起破壞；③指出微裂隙延展方向最終與最大主應(yīng)力方向一致。

不足：①僅適用于脆性巖石，對一般巖石莫爾強度準(zhǔn)則適用性遠大于Griffith準(zhǔn)則。②對裂隙被壓閉合，抗剪強度增高解釋不夠。③Griffith準(zhǔn)則是巖石微裂隙擴展的條件，并非宏觀破壞。Grriffith強度準(zhǔn)則評價：37四、巖石的屈服準(zhǔn)則

屈服準(zhǔn)則是指判別某一點的應(yīng)力是否進入塑性狀態(tài)的判別準(zhǔn)則。1、屈列斯卡（Tresca）準(zhǔn)則屈列斯卡準(zhǔn)則認(rèn)為：當(dāng)最大剪應(yīng)力達到一定數(shù)值時，巖石開始屈服（破裂），進入塑性狀態(tài)。其表達式為四、巖石的屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則是指判別某一點的應(yīng)力是否進38式中，K是與巖石性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。可由試驗確定。單向拉伸試驗時，則單向壓縮試驗時，則如以巖石強度參數(shù)表示，這時，則。式中，K是與巖石性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。可由試驗確定。39若各主應(yīng)力大小無法確定排序，則屈列斯卡判據(jù)可表示為：∣σ1－σ2∣=K∣σ2－σ3∣=K∣σ3－σ1∣=

K或?qū)懗蒣（σ1－σ2）2－

K2]·

[（σ2－σ3）2－

K2]·

[（σ3－σ1）2－

K2]=0若各主應(yīng)力大小無法確定排序，則屈列斯卡判據(jù)可表示為：402、米賽斯（Mises）準(zhǔn)則米賽斯（Mises）理論又稱為八面體應(yīng)力理論，亦屬于最大剪應(yīng)力強度理論。米賽斯認(rèn)為，當(dāng)八面體等傾斜面上剪應(yīng)力等于巖石單向受力至屈服時八面體等傾斜面上極限剪應(yīng)力值時，巖石屈服（破裂）。米賽斯屈服準(zhǔn)則：2、米賽斯（Mises）準(zhǔn)則41（1）八面體等傾斜面上應(yīng)力PPzPxPyσoctτoctn（1）八面體等傾斜面上應(yīng)力PPzPxPyσoctτoctn42八面體等傾傾斜面上應(yīng)力如上圖所示，等傾斜面外法線N與X、Y、Z軸夾角分別為α、β、γ，因等傾斜，故有cosα=cosβ=cosγ=S面上的合力整里得設(shè)等傾傾斜面ABC面積為S，則三個主應(yīng)力面COB、AOC、AOB之面積分別為SCOBα、SAOCβ、SAOBγ

根據(jù)力的平衡條件有：

px·S=σ1Scosα→px=σ1cosα

py·S=σ2Scosβ→py=σ2cosβ