精心整理精心整理SARS傳播的數學模型摘要通過對題目附件1的SARS模型進行分析和評價，加深了對SARS的認識和了解。根據傳染病的傳播特點，建立了關于SARS病人率和疑似病人率兩個常微分方程模型。以所給數據為基本依據，用Matlab軟件進行數值計算，與圖形模擬方法求得模型中的有關參數。當21=1.5和久2=1時，理論圖形與實際圖形有良好的吻合，分別得到了SARS病人率和疑似病人率比較符合實際數據的變化圖，能正確地預測它們的發展趨勢。他們對于模型中的參數有非常強的靈感性，久的值作微小的改變對于整個疫情的發展有很大的影響，所以政府采取對SARS疫情的有關措施是完全正確的。本文重點分析了關于SARS病人率的模型一，根據求得的參數，利用相軌線理論對結果加以分析并對整個疫情作出預測，并推論出SARS病人率關于t的表達式i(t),然后提出了對傳染病的控制方案，同時列舉了具體方法，并論證了方法的合理性和可行性，用其它地區的數據對模型進行檢驗，說明模型的參數有區域性。關鍵詞：SARS微分方程曲線擬合數學模型相軌線—、問題的提出SARS俗稱非典型肺炎，是21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病。我國作為發展中大國深受其害：SARS的爆發和蔓延給我國的經濟發展和人民生活帶來了很大影響。在黨和政府的統一領導下，全國人民與SARS頑強抗爭，取得了可喜的階段性勝利，并從中得到了許多重要的經驗和教訓，認識到在沒有找出真正病因和有效治煎方法前，政府采取的強制性政策對抑制SARS自然發展最有效辦法。而本題的目的就是要建立一個適當的模型對SARS傳播規律進行定量地分析、研究，為預測和控制SARS蔓延提供可靠、足夠的信息，無論對現在還是將來都有其重要的現實意義。二、模型的假設1?地總人數N可視為常數，即流入人□等于流出人口。據人□所處的健康狀態，將人群分為：健康者，SARS病人，退出者(被治煎者、免疫者和死亡者)。3?在政府的強制措施下，人□基本不流動，故無病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基數。4?隔離的人斷絕了與外界的聯系，不具有傳染性。SARS康復者二度感染的概率為0。國家完善了監控手段，加強了對SARS病毒監控的力度，故可假設所有感染SARS病毒的人群都進入了SARS病人類和疑似類。由于對SARS病原體的研究不夠深入，無有效藥物可以使人體免疫，同時SARS病毒感染后，大量繁殖，破壞免疫系統，故不可免疫。三、模型的建立(一)參數的設定和符號說明s(t):t時刻健康者在總體人群中的比例i(t):t時刻SARS病人在總體人群中的比例l(t):t時刻疑似病人在總體人群中的比例r(t):t時刻被治煎者、死亡者和免疫者在總體人群中的比例之和。

九：SARS病人日接觸率。為每個病人每天有效接觸（足以使健康者受感染變為病人）的平均1人數。u：日治愈率。為每天被治愈的病人占病人總數的比例。a:日轉化率。為每天危險群體中的疑似病人被確診為SARS患者的比例。：疑似感染率。為每天感染為疑似病人的比例。n:日死亡率。為每天SARS病人死亡的數量和當天病人總數量的比值。：疑似感染率。為每天感染為疑似病人的比例。九2（二）模型建立模型一感染為SARS患者情況由假設，每個病人每天可使珀s（t）個健康者變為病人，因為病人人數為Ni（t），所以每天共有入嚴（t）i⑴個健康者被感染，于是入1Nsi就是病人數Ni的增加率，又因為每天被治煎率為y，死亡率為n,所以每天有卩N個病人被治煎，有nNi個病人死亡。那么病人的感染為由于對于退出者孚=，屮（屮為所有退出者比例之和）⑵由假設可知：屮二y+n故SARS患者率模型一的方程建立如下:di=Asidi=Asi—Uidtiidsdt=一九si11-nii(0)=i0⑶s(0)=s0模型二疑似患者的變化情況與前面同樣的分析，得到疑似患者率模型二:=九sl—ladt22(5)ds()2=一九sldt22四、模型求解（一）參數的確定和分析：1.y,a,n的確定y=每天治愈的人數=每天確診的人數每天死亡的人數當天病人總數y=當天病人總數，a=當天疑似病人總數，n當天病人總數用EXCEL電子表格處理題目附件2中所給數據得：卩=0.055076,a=0.038183,耳=0.002443。（處理數據見附件）2.九，九的確定12（1）確定九1很明顯從我們建立的模型是無法得到s、i、i、s的解析解。為了解決這個問題我們用MATLAB00軟件中龍格—庫塔方法求出他們的數值解。先通過實際統計數據算出每一天的s、i、i、s做出它們與時間的函數圖象圖1,然后我們再00對九取一組數，分別畫出由通過模型解出的數值解隨時間變化的圖象圖2,將這組圖象與由實際數1據所得圖象相比較，調試。我們發現當九?1.5時，理論圖形與實際圖形有最佳的吻合。圖形如下：1〈圖1＞:根據實際數據擬合的圖象（畫圖程序見附件）〈圖2＞通過數值解作出的i關于時間t的變化（畫圖程序見附件）分析兩個圖形可知，它們的高峰期、緩解期和平穩期曲線相當符合，具有相同的發展趨勢。但是在［0,10］的SARS初期范圍內，曲線變化不相同。這主要是因為在4月24日之前，沒有相關數據的統計和報道，由于數據的不全，根據邊界值畫出來的曲線與通過數值解得到的i?t曲線相比較，不能準確反映SARS產生初期時的趨勢，所以邊界值應該去掉，而通過數值解模擬的曲線可以得到之前的發展趨勢。并且通過對SARS蔓延期特點的分析，〈圖2＞在符合所給數據反映的規律基礎上，還能夠模擬缺乏數據的SARS初始狀態，所以曲線是合理的。（2）確定九2與確定九時類似，先根據實際數據畫出圖形1〈圖3＞實際數據圖形然后再對九取一組數，分別畫出通過模型解出的數值解隨時間變化的圖象，將這組圖象與由2實際數據所得圖象相比較，調試。發現當九-1.0時，理論圖形與實際圖形有最佳的吻合。圖形如2下：〈圖4＞在［0,10］的初期范圍內，曲線趨勢不同，原因同前。整個曲線反映了疑似患者在SARS的過程中的變化規律。五、結果分析與檢驗（―）討論iQsC）的性質s?i平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域（s,i）eD為從模型（一）中消去dt，利用a的定義，可得

由（6）式解得di由（6）式解得di1dsb.s—1,iI=is=s006）i=(s+i)-s+丄*ln(=(7)00bs0（二）對于合理確定的九=1.5，我們可以畫出i?s圖，圖形如下：1<圖5>（畫圖程序見附件由于在這個SARS病毒發展過程中，b=是變化的，故可以畫出b取不同值時的圖形，如下取1/b=0.4192,0.2858、0.1858時的圖形。〈圖6>分析（3）式和（7）式，可知：不論初始條件s,i如何，病人終會消失，即SARS最終會被消滅，亦即i=0。證明省008略。從圖形上看，相軌線終將與s軸相交（t充分大）。設最終未被感染的健康者的比例是s，在（7）式中令i=0得到方程1ss+i—Ing=0（8）00bs0s是（8）在（0,1/b）內的根，在圖形上s是相軌線與s軸在（0,1/b）內交點的橫坐標。對于確定下來的1/b=0.0383，可以代入（8）式解出sQ0gSARS疾病傳染過程分析整個傳染過程，隨著政府和公眾對SARS的重視程度的變化，可知接觸數b=Xi/卩隨著治煎率卩、死亡率n和接觸率九］的不斷變化而變化。（1）在SARS爆發的初期，由于潛伏期的存在，社會對SARS病毒傳播的速度和危害程度認識不夠，所以政府和公眾沒有引起重視。治煎率卩和死亡率n很小，而接觸率九1相對較大，所以1/b很小。當s>1/b，則i（t）開始增加，可認為是疾病蔓延階段。0（2）當s=1/b時，i（t）達到最大值0i=s+i-丄（1+Insb）（9）m00b0對于我們確定的九=1.5，可以求出i=0.8368，可認為是疾病傳染到達了高峰期。1m

當s<1/G時，i(t)單調減小至零，s(t)單調減小至s。這一時期病人比例i(t)絕不會增加，08傳染病不會蔓延，進入緩解期。4．群體免疫和預防根據對模型的分析，當s<1/b是傳染病不會蔓延。所以為制止蔓延，除了提高衛生和醫療水0平，使閾值1/Q變大以外，另一個途徑是降低S，這可以通過預防接種使群體免疫。0第二個途徑通過預防接種使群眾免疫，免疫后就不會被感染上病毒。按照我們人群的分類系統將免疫人群歸為退出者類，所以免疫人群的出現，不與模型的分類系統相矛盾。忽略病人比例的初始值i0，有s0=1-r，于是SARS不再蔓延的條件s0<1/-可以表示為:r0>1-丄(10)0b所以只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例r°滿足(10),就可以制止SARS的蔓延。5.數值驗證與估量根據上面的分析，阻止SARS蔓延有兩種手段，一是提高衛生水平和醫療水平，即降低日接觸率，提高日治煎率卩，二是群體免疫，即提高移出者比例的初值r。我們以最終未感染的健康者0的比例S和病人比例達到最大值i，作為傳染病蔓延程度的度量指標。給定不同的九,卩，s,i，用(8)式計算s，用(9給定不同的九,008m可看出：(對可看出：(對1)于定的s,降

0低九,

提高卩，使1.00.30.30.980.020.0390.344890.60.30.50.980.020.1960.163550.50.51.00.980.020.8120.020200.40.51.250.980.020.9170.020201.00.30.30.700.020.0840.168050.60.30.50.700.020.3050.051680.50.51.00.700.020.6520.020800.40.51.250.700.020.6750.02050閾值1/q變大，會使s變大，i變小。于是驗證了群體免疫和預防中提出的提高衛生水平和醫療8m水平，可以使SARS最終的患者比例縮小，健康群體增加。對于一定的九,「提高r，會使s變大，i變小。所以實行群體免疫，降低受感染的0gm基數，可以有效地減緩SARS蔓延的速度。在(8)式中略去很小的i，即有011)Ins-In11)C=0s-s0g6．模型驗證首先，由方程(1)和(3)可以得到s(t)s(t)=se-6(t)012)=屮(1-r-se-rb)dt013)當r<l/b時取(13)式右端eqTaylor展開的前三項，在初始值r0-0下的解為/、1r/、1r(t)二sC20(sc-1)+Pth(色世-p)0c14)sC—1其中卩2二(于-1)2+2叩』2,thp=^^~，從(14)式算出15)15)dt將(14)代入(⑵,再將(12)代入(7),得到sc-1(其中p2二(sc-1)2+2sic2，thp=000p對于表達式中的參數，已通過前面的參數分析得出，代入表達式，就可以對t時的患病率i(t)做預測，達到了預測的目的，滿足題目的要求。7.對衛生部措施的評估在模型中，九］的取值大小能充分反映接觸率的變化。若采取的隔離措施提前T無那么九將相應減小，反之則增加。不妨將九的值取為1.3和1.7,11作出相應的圖形7和圖8。〈圖7〉〈圖8〉由以上圖形可見，T對SARS病人的增長有顯著影響，因此，衛生部采取的提前或延后5天的隔離措施有其數學背景和科學依據。至于到底提前或延后幾天最好，還有待進一步研究。六、模型評價及改進1、評價模型首先根據所給數據的分析，采用微分方程建立兩個模型，分設變量。再通過統計數據與數據擬和求得各自的參數值，利用數值計算得到結果并加以分析，得出傳染病的傳染規律，最后根據此分析提出對傳染病預測與控制的方案。模型采用了數值計算，圖形觀察與理論分析相結合的方法，先有感性認識，再用相軌線做理論分析，最后進行數值驗證和估算，可以看作計算機技術與建模的配合。模型采用微分方程本身就有一定的缺限，其計算結果的準確性、可靠性將受到限制，再加之數值解的不確定性，模型對長時間的預測有它的局限性。因時間限制模型沒能更多考慮交叉分類進行。2、改進若能建立以隨機偏微分方程組為基礎的數學模型，將大大提高計算的準確性與可靠性，使得預測更加準確，但這樣做將遇到模型求解，數據準確收集和數值求解的不精確性等諸多困難。七、對附件1模型的評價1、合理性該模型的基本假設符合事實，對照解得的結果與實際病例數據也相當吻合，所以該模型基本是合理的。具體表現：模型中的參數K（平均每病人每天可傳染K個人）、L（平均每個病人可以直接感染他人的時間為L天）的確定是由已公布的數據統計計算和數據擬合得來，具有一定的可靠性。特別是對K的分段處理，反映了傳染病的許多特性，同時也反應了社會的警覺程度、政府和公眾采取的措施反過來也會影響K值。但是該模型建立得較為粗糙，它沒有考慮疑似病例患者和已治煎病人的情況。因此為使建立的模型更準確，更符合實際，考慮將該模型優化的方向是把疑似病例患者和治煎患者加入到模型中。2、實用性模型對北京地區中期的計算值與實際值基本吻合，說明該模型有一定的實用性。但對后期預測與后來的實際情況卻有一定差距，同時該模型中K值是從香港和廣州兩地實際情況統計處理得來，而實際上，各地區的政策及人們生活習慣各有所不同，因此用一個地區所獲得的參數去預測另—地區，其結果只具有參考性，而不具備很強的可靠性。所以該模型的實用性有一定局限。八、SARS對北京旅游人數影響的經濟模型年1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月19979.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.619989.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9199910.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.5200011.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.5200111.526.420.426.128.928.025.230.828.728.122.220.7200213.729.723.128.929.027.426.032.231.432.629.222.9200315.417.123.511.61.782.618.816.2依據上表的統計數據，我們分別建立回歸模型對各個月的游客數量進行預測。由MATLAB統計工具箱中的回歸分析命令，編程可解得：若沒有受SARS沖擊，2003年1月到12月游客將達到的數量。再用當月實際游客量變化所呈現的規律對9月到12月進行預測，最后分別模擬作出受到SARS沖擊前后的游客量隨時間的變化趨勢圖。具體求法如下：我們記1997年為開始記為t=0,那么2003年就可表示成t=6。將年份用矩陣表示為：t=[0,1,2,3,4,5,];每年1月的游客量用矩陣表示為：y=[9.4，9.6，10.1，11.4，11.5，13.7]MATLAB命令：[p,S]=polyfit(t,y,2)%二次多項式回歸y二polyval(p,6)%計算出t=6,即2003年一月的預測量計算得y=15.2000,再用同樣方法求得2003年2月到12月的預測數量依次為36.4700、25.9700、32.1500、32.8300、31.6000、29.3300、36.4000、33.1400、32.8500、26.8500、27.7900。由命令函數：Y=polyconf(p,t,2)和plot(t,y,t,Y)作出如下曲線圖9再由2003年各月實際量推算出9月到12月的游客量分別為15.4127、20.1860、26.1721、33.3709。同樣我們作出圖10為便于直觀分析我們將兩組數據所作出的圖形移到圖11中：模型分析：從圖中我們可以看到，1月份實際游客量與預測數據較吻合，因為SARS剛出現，沒有引起人們重視;而以后各月差值先逐漸增大，到6月份后又開始漸漸縮小，這是因為SARS疫情逐漸攀升到六月份達到高峰后漸漸的得到有效控制。人們在這段時期內的出行受到SARS的影響，所以在2月到6月游客量不斷的大量減少，但是隨著SARS疫情得到控制，以及公共衛生系統的進一步完善，人們生活又漸漸的恢復到SARS前的一般規律，在圖形中反映為6月中下旬，隨著抗擊SARS取得初步成效，游客量開始逐步增加，旅游業也重新回升到常態。但是由于用以預測未知量的已知量較少，我們為了使得預測值真實可信，只考慮預測到11月份，這樣做同時還因為時間越長要考慮的不定因素也就越多。從模型及模型分析說明我們所預測的數據是基本合理、符合實際的。九、參考文獻姜啟源等，數學模型(第三版)，北京；高等教育出版社，2003.8李海濤等，MATLAB6.1基礎及應用技巧，北京；國防工業出版社，2002.3趙靜等，數學建模與數學實驗，北京；高等教育出版社，2002.9王沫然，MATLAB5.X與科學計算，北京；清華大學出版社，2000.5幺煥民等，數學建模，哈爾濱；哈爾濱工業大學出版社，2003.4短文SARS與數學模型2003年春天，SARS這一突發疫情襲擊了世界上20多個國家和地區，給全球經濟的發展以及人們的正常生活等帶來了很大的影響，在經過與SARS幾個回合的較量之后，我們終于贏了。當SARS正在慢慢淡出我們身邊，我們的工作和生活漸漸回歸正常時，那曾經經歷的恐懼、困擾、焦慮、無奈和痛苦，那曾深深擊中過我們軟肋，使我們的弱點暴露無遺的SARS將會成為烙在我們心靈上一塊永遠抹不去的印。不過，令人欣慰的是我們并沒有被擊倒，尤其是我們的白衣天使們，他們在與SARS的較量中，充分展現了職業道德和人性的光輝，書寫出了最壯麗的人生篇章。現在這個時刻，我們有必要梳理和總結過去的日子，將我們對SARS、對病毒、對疾病、對危機的認識、責任以及處理方法推向前進。因為我們將不得不面對將有可能和SARS共存相當長時間的現實。在我們還不能完全認識它、戰勝它并最終消滅它時，我們必須時刻警覺，將SARS對我們的侵害降低到最小。使得若當它卷土重來時，我們能夠聚集起更強大的力量，快速而從容地與它過招。我們都知道SARS的傳播，在沒能找到真正的藥物治療方法前，只能依靠政府采取強制性政策去預防、控制疫情。人類對傳染病的研究長期以來還都只是通過不斷的試驗來獲取數據，而且相關試驗只能在動物身上做，而不可能在活人體上做類似試驗，另外有關傳染病的數據也只能從爆發后的相關報道與文字材料中獲得，不但不能快速得到信息，連其數據的全面性都很難達到。因而，在對傳染病流行的控制研究問題上，迫切需要有一種行之有效、簡便易行的辦法來代替它。而數學模型

恰恰是通過采用數學基礎工具以及計算機模擬等手段從非醫學中的病理分析研究角度去進行科學描述，所以我們可以根據以前總結的一些經驗和統計的實際數據，從數學角度建立SARS傳染病模型，通過科學、合理的分析和推論，提供足夠的可靠數據、信息給政府用以制定相關政策。這是一項艱巨的任務，不但需要我們的努力，也更需政府和媒體的大力支持。附件已確診病例累計339現有疑似病例402死亡累計18治愈出院累計33當天退出數當天病當天病例人數退出率0.039443治愈率0.07656617431482610254365200.0115380.0826925886662846166190.0258480.0743136937823555136840.0190060.0804097748633964127740.0155040.082687877954427398730.0103090.0836298810934876109900.0101010.076768111412555678310650.0028170.0732391199127559781212100.0099170.0644631347135866831612910.0123930.0642911440140875901713880.0122480.06484115531415821001814540.012380.06877616361468911091115410.0071380.0707331741149396115715920.0043970.07223618031537100118616790.0035740.07028189715101031211717360.0097930.0697196015231071341018080.0055310.074115204915141101411318850.0068970.074801213614861121521819130.0094090.07945621771425114168919450.0046270.086375222713971161751519740.0075990.088652226514111201863119980.0155160.093093230413781292084120100.0203980.103483234713381342441319920.0065260.1224923701308139252619970.0030050.126189238813171402571720080.0084660.127988240512651412733820060.0189430.136092242012501453072719820.0136230.154894243412501473322019580.0102150.169561243712491503495019450.0257070.179434244412251543955418950.0284960.208443244412211564478318530.0447920.24123245612051585285617790.0314780.296796246511791605828817480.0503430.332952249011341636674116690.0245660.399641249911051677044416330.0269440.431108250410691687478515970.0532250.467752251210051728284115140.0270810.54689625149411758666314760.0426830.58672125178031769287914160.0557910.655367252076017710068513380.0635280.7518682521747181108797512530.7781320.86751825217391902053672780.2410077.38489225217341902120352110.16587710.0473925217241912154171760.09659112.2386425217181912171181590.11320813.6540925217161912189421410.29787215.524822521713191223126990.26262622.535352521550191225720730.27397330.9178125214511912277-116354-21.53742.16667252235118111243312170.0271160.92358325227118111573211840.0270270.9771962522418111897411520.0642361.0321182522318112635810780.0538031.171614252266818113218410200.0823531.295098252225718314031419360.1506411.498932252215518415431107950.1383651.940881252231841653966850.1401462.4131392522518617471985890.3361632.966044252241871944523910.1329924.971867252231891994213390.0619475.882006252231892015-575319-1.802516.3166142523218314463788940.4228191.61745252321861821565160.1085273.52907252321871876-0.289883.118497求病人變化(數值解)functiony二ill(t,x)w=1.5;z=0.0575;y=[w.*x(1).*x(2)-z.*x(l),-w.*x(l).*x(2)]'ts=0:0.01:70;[