北師大新版數學選擇性必修第一冊

第六章

概率4.2超幾何分布學習目標1.通過具體實例，了解超幾何分布的概念；（重點）2.理解超幾何分布與二項分布的區別與聯系（難點）3.會用超幾何分布解決簡單的實際問題.（難點）復習導入1.離散型隨機變量

所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列······3.分布列的性質Xx1x2…xi…xnPP1P2…Pi…Pn復習導入2.二項分布X01knP1.n重伯努利試驗與二項式定理有聯系嗎?(其中k=0，1，2，···，n)隨機變量X的分布列:

X01kn

P引例：已知在10件產品中有4件次品，現從這10件產品中任取3件，用X表示取得的次品數，試寫出X的分布列.

分析

已知在10件產品中有4件次品，故X的可能取值為0,1,2,3.

類似地，“X=1”表示“任取的3件產品中恰有1件次品”，這意味著，取出1件次品和3-1件正品，共有C41C10-43-1種取法。故

事實上，“X=k”（k=0,1,2,3）表示“取出的3件產品中恰有k件次品”，這意味著，從4件次品中取出k件，再從10-4件正品中取出3-k件，共有C4kC10-43-k種取法，故X的分布列為

當總產品個數為N個，其中次品個數為M個，從中任取n件產品，用X表示取出的次品個數，你能寫出它的分布列嗎？？因此，隨機變量X的分布列如下表：X0123P

超幾何分布

注意：1.由較明顯的兩部分組成；2.不放回抽樣；3.注意分布列的表達式中，各個字母的含義及隨機變量的取值范圍.1.公式中個字母的含義N—總體中的個體總數M—總體中的特殊個體總數(如次品總數)n—樣本容量k—樣本中的特殊個體數(如次品數)2.求分布列時可以直接利用組合數的意義列式計算,不必機械記憶這個概率分布列.3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數列式.4.各對應的概率和必須為1.

其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.注意：例1、下列隨機變量X是否服從超幾何分布？如果服從，那么各分布的參數（即定義中的N,M,n）分別是多少？（1）一個班共有45名同學，其中女生20人，現從中任選7人，用X表示其中女生的人數；是，N=45，M=20，n=7是，N=8，M=6，n=3題型一：判斷是否為超幾何分布（2）袋中有完全相同的6個黑球和2個白球，從中取出3個球，用X表示取出的黑球的個數.

超幾何分布與二項分布的區別與聯系（1）由古典概型得出超幾何分布，由獨立重復試驗得出二項分布，放回摸球是二項分布，不放回摸球是超幾何分布.（2）對于不放回摸球，當N充分大，且n遠遠小于N時，各次抽樣結果彼此影響很小，可近似認為是獨立的.此時，超幾何分布可以用二項分布近似.因此X的分布列為X0123P求分布列的步驟:定值

求概率

列表

（1）求取出的3個球的顏色都不相同的概率；

0123

現有10張獎券，其中8張1元的，2張5元的，從中同時任取3張，求所得金額的分布列．

3711因此，X的分布列為：

X

0

12

3

P變式訓練

盒中有16個白球和4個黑球，從中任取3個，設X表示其中黑球的個數，求出X的分布列.若X服從超幾何分布,

超幾何分布的均值若X服從超幾何分布,

探究2

超幾何分布的期望

根據國家工信部關于全面推行中國特色企業新型學徒制，加強技能人才培養的通知，我區明確面向各類企業全面推行企業新型學徒制培訓，深化產教融合，校企合作，學徒培養以符合企業崗位需要的中、高級技術工人.2022年度某企業共需要學徒制培訓200人，培訓結束后進行考核，現對考核取得相應崗位證書進行統計，統計情況如下表：崗位證書初級工中級工高級工技師高級技師人數2060604020問題1：.現從這200人中采用分層隨機抽樣的方式選出10人組成學習技能經驗交流團，則交流團中取得技師類（包括技師和高級技師）崗位證書的人數是多少？

0123

方法總結：

解決此類問題的關鍵是，先判斷所給的問題是否是超幾何分布問題，若是則直接利用公式求出離散型隨機變量X的概率，要注意N,M,n的取值.當然也可以用古典概型來求概率.

（1）從混合的芯片中任取1個，求這個芯片是合格品的概率；

0123

某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學.在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）．（1）

求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；

0123

當堂檢測2、一批產品共10件，次品率為20﹪，從中任取2件，則正好取到1件次品的概率是（）B10351、設10件產品中有3件次品，現從中抽取5件，用X表示抽到的次品的件數，則X服從參數為___、____、____(即定義中的N,M,n)的超幾何分布.

C

D

注意：1.由較明顯的兩部分組成；2.不放回抽樣；3.注意分布列的表達式中，各個字母的含義及隨機變量的取值范圍.

一般地，設有N件產品，其中有M(M≤N)件次品.從中任取n(n≤N)件產品，用X表示取岀的n件產品中次品的件數，那么

其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.1.超幾何分布

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