流體力學流體運動學第1頁，課件共69頁，創作于2023年2月引言

靜止（包括相對靜止）是流體的一種特殊的存在形態，運動（或流動）才是流體更普遍的存在形態，也更能反映流體的本質特征。因此相對流體靜力學而言，研究流體的運動規律及其特征具有更加深刻的意義。這也為流體動力學——研究在外力作用下流體的運動規律，打下了理論的基礎。第2頁，課件共69頁，創作于2023年2月

§3－l流體運動的描述方法

把流體流動占據的空間稱為流場。在流場中，每個質點均有確定的速度和壓力，都是空間坐標和時間的連續函數。流場也可以理解為速度場和壓力場的綜合。表征流體運動的量，如速度、壓力等統稱為運動要素。

一、拉格朗日法

拉格朗日法研究對象是單個流體質點，研究其運動要素（位置、速度）等的變化過程，顯然是一種質點系法。拉格朗日法著眼于流體各質點本身的運動情況，也就是要表示出每個流體質點自始自終的運動過程。把任一流體質點在初始時刻t0時的坐標（a，b，c）作為該質點的標志，則不同的（a，b，c）就表示流動空間的不同質點。這樣，不同的（a，b，c）變數表示流場中的不同質點。第3頁，課件共69頁，創作于2023年2月

運動開始前，質點的起始坐標為（a，b，c），經過時間t，它運動到（x，y，z）。x、y、z表示任一流體質點經過時間t的位置，是（a，b，c）及t的函數，即

這種通過描述每一質點的運動達到了解流體運動的方法，稱為拉格朗日法。表達式中的自變量（a，b，c），稱為拉格朗日變量。流體質點的速度為第4頁，課件共69頁，創作于2023年2月流體質點的加速度

流體質點的壓力p和密度ρ也同樣是（a，b，c）和的函數第5頁，課件共69頁，創作于2023年2月二、歐拉法

物理學中場定義為物理量在空間的分布，如速度場、壓力場等。流體力學中，流場是指流體質點運動經過的全部空間。歐拉法以流場為研究對象，以空間點為著眼點，研究空間點上各質點的運動要素及其變化規律，來獲得整個流場的運動特性。

歐拉法不是跟蹤個別質點，而是在同一時間研究流場中各質點的流速、壓力的變化。質點的流速、壓力和密度均是空間坐標（x，y，z）和時間t的函數，變量x，y，z，t統稱為歐拉變量。即第6頁，課件共69頁，創作于2023年2月加速度可用速度對時間的導數來表示，由全導數公式有

dx，dy，dz表示在無窮小一段時間內流體質點的位移分量，由位移分量對時間的導數得出速度分量表達式則

式中，右邊第一項表示流體質點在某一點（x，y，z）的速度隨時間的變化率，稱為當地加速度（時變加速度）。后三項之和則表示流體質點在同一時間內，因坐標位置變化而形成的加速度，稱為位變加速度（遷移加速度）。第7頁，課件共69頁，創作于2023年2月同理可得：用矢量表示哈密爾頓算子(Hamiton)式中第8頁，課件共69頁，創作于2023年2月

對比拉格朗日法和歐拉法的不同變量，就可以看出兩者的區別：前者以a、b、c為變量，是以一定質點為對象；后者以x、y、z為變量，是以固定空間點為對象。只要對流動的描述是以固定空間，固定斷面，或固定點為對象，應采用歐拉法，而不是拉格朗日法。第9頁，課件共69頁，創作于2023年2月§3－2流場的基本概念

恒定流與非恒定流跡線和流線一維、二維、三維流動流管、流束及總流過流斷面、流量和平均流速均勻流和非均勻流第10頁，課件共69頁，創作于2023年2月

§3－2流場的基本概念一、恒定流與非恒定流（定常流與非定常流）

恒定流動是指流場中流動參數不隨時間變化而改變的流動。它滿足下列條件：其速度和壓強表示為：

第11頁，課件共69頁，創作于2023年2月若流場的流動參數的全部或其中之一與時間變化有關，即隨時間變化而改變，則這類流場的流動稱為非恒定流，其速度和壓強的描述為

實際中，恒定流只是相對的，絕對的恒定流是不存在的。本課程主要研究恒定流動問題。第12頁，課件共69頁，創作于2023年2月

二、跡線和流線

1、跡線跡線是流體質點在一段時間過程中運動的軌跡線。跡線的特點是：對于每一個質點都有一個運動軌跡，所以跡線是一族曲線。如圖所示AB曲線是質點M的跡線，在這一跡線上取微元長度ds表示該質點M在dt時間內的微小位移，則其速度為速度的分量為

(3-1)上式為跡線的微分方程，表示質點M的軌跡。dx、dy、dz為ds在各坐標軸上的投影，由上式得dsczyxBAzyxu第13頁，課件共69頁，創作于2023年2月2、流線流線是在同一時刻流場中連續不同位置質點的流動方向線。流線的特點：①流線上各質點的流速都與流線相切。②流線不能相交，即某瞬時通過流場中固定點只能有一條流線。③恒定流時，流線與跡線重合。④流線是光滑曲線不能轉折。

第14頁，課件共69頁，創作于2023年2月邊界急劇變化處，液體質點受慣性作用會脫離固體邊界，主流與邊界之間產生旋渦區。而且隨著邊界的變化，流線有疏有密。流線密，表示流速大，流線疏，表示流速小。第15頁，課件共69頁，創作于2023年2月

★流線微分方程在流線上過任意點取微元有向線段，，過該點的速度與該點切線重合，即。則有設得流線的微分方程表達式為第16頁，課件共69頁，創作于2023年2月跡線與流線的比較：①流線由無窮多個質點組成的，它是表示這無窮多個流體質點在某一固定瞬間運動的曲線。跡線則表示在一段時間過程中同一流體質點運動的曲線。

②流線與跡線方程是不相同的，跡線方程式以時間t為自變量，由此決定其運動軌跡。流線方程式中，時間t是給定量，隨時間t不同，流線方程式也不相同。③在恒定流中，流線與跡線相重合。即流線和跡線是一致的，沒有區別。第17頁，課件共69頁，創作于2023年2月積分得例：流體運動的速度函數為ux＝x＋t，uy＝－y＋t，uz＝0求t＝0時過M(－1，－1)點的流線和跡線。解：流線的微分方程為

當t＝0時，x＝－1，y＝－1代入上式得：C＝－1。當t＝0時，過M(－1，－1)點的流線是即(等邊雙曲線方程)第18頁，課件共69頁，創作于2023年2月

則

那么

將(3)、(4)式代入(1)式得

跡線的微分方程

(1)、(2)式為非齊次常系數的線性常微分方程。由(1)式得(3)(4)(2)(1)第19頁，課件共69頁，創作于2023年2月

(分部積分公式：)同理

得用分部積分得(5)將(5)式代入(3)式得當t＝0時，x＝－1，y＝－1代入上式得A＝B＝0。當t＝0時，過M(－1，－1)質點的跡線為消去t后得

(直線方程)由此可見，當流動與時間t有關時，流線和跡線是不相重合的。第20頁，課件共69頁，創作于2023年2月三、一維、二維、三維流動流體的運動要素是空間坐標和時間的函數。按照流體運動要素與空間坐標有關的個數（維數），可以把流體分為一維流、二維流、三維流。

一維（一元）流動，若流場中的運動參數僅與一個空間自變量有關，這種流動稱為一維流動。即

二維（二元）流動，若流動參數與兩個空間自變量有關，則稱之為二維流動。在直角坐標系中，二維空間是個平面，因而二維流動又稱平面流動。

三維（三元）流動，運動參數與三個空間自變量有關，則稱為三維流動（空間流動）。第21頁，課件共69頁，創作于2023年2月四、流管、流束及總流

1、流管

在流場中取任意封閉曲線，通過這個閉合曲線上各點作流線，這些流線所圍成的管，稱為流管。

2、流束充滿在流管內部的全部流體，稱為流束。斷面無窮小的流束，稱為微小流束或元流。

3、總流在流動周界內全部微小流束（元流）的總和稱為總流。第22頁，課件共69頁，創作于2023年2月

2、流量

單位時間內流經過流斷面的流體量，稱為流量。通常用體積流量Q，質量流量M和重力流量G表示，其相應的單位是m3/s，kg/s和N/s。

1、過流斷面（過水斷面）

垂直于所有流線的流體橫斷面稱為過流斷面。如果流線互相平行，這時過流斷面為平面，否則過流斷面為曲面。五、過流斷面、流量和平均流速第23頁，課件共69頁，創作于2023年2月

設微小流束過流斷面積為dA，經過時間dt，微小流束以流速u相對于斷面1—1的位移為udt，則該時段內通過微小流束斷面1—1的流體體積。將等式兩邊同除dt，可得微小流束的體積流量總流的體積流量Q則應是微小流束流量dQ對總流過流斷面面積A的積分，即第24頁，課件共69頁，創作于2023年2月

3、平均流速平均流速是一種設想的速度，即假設總流同一過流斷面上各點的速度都相等，大小均等于斷面平均流速v。那么，以斷面平均流速通過的流量等于該過流斷面上各點實際流速所通過的流量，即則

把v定義為斷面平均流速?？偭鞯牧髁康扔跀嗝嫫骄魉賤與過流斷面面積A的乘積。即

Q＝

vA第25頁，課件共69頁，創作于2023年2月

六、均勻流和非均勻流均勻流——流線是平行直線的流動，即則

也就是說均勻流中位變加速度（遷移加速度）為零。均勻流中各過流斷面上的流速分布圖沿程不變，過流斷面是平面，沿程各過流斷面的形狀和大小都保持一樣。

例：等直徑直管中的液流或者斷面形狀和水深不變的長直渠道中的水流都是均勻流。非均勻流——流線不是平行直線的流動，即非均勻流中流場中相應點的流速大小或方向或同時二者沿程改變，即沿流程方向速度分布不均。第26頁，課件共69頁，創作于2023年2月

漸變流（緩變流）：流速沿流程變化緩慢，流線間的夾角很小，近似為相互平行的直線。

急變流：流速沿程變化急劇，流線間的夾角很大非均勻流第27頁，課件共69頁，創作于2023年2月

§3-3流體微團的運動微團運動的分解微團運動的組成分析無旋流動和有旋流動流體質點是可以忽略線性尺度效應的最小單元。流體微團則是由大量流體質點所組成的具有線性尺度效應的微小流體團。第28頁，課件共69頁，創作于2023年2月一、微團運動的分解從理論力學知道，剛體的運動可以分解為平移和繞某瞬時軸的轉動之和。流體微團基本運動形式除了平移和轉動之外，還有變形運動。

剛體運動＝平移＋轉動

流體微團運動＝平移＋轉動＋變形

怎樣把平移、轉動和變形這三種基本運動顯示出來？自19世紀40年代，英國數學家斯托克斯（Stokes,1845），德國力學家亥姆霍茲（Helmhotz,H.1858）先后提出速度分解定理，從理論上解決了這個問題。第29頁，課件共69頁，創作于2023年2月在流場中取一微團，設其上一點P的流體的速度分量為ux(x,y,z)、uy(x,y,z)、uz(x,y,z)，在同一瞬間，微團上另一點Q的速度分量為、、

三元函數的泰勒級數為

一元函數的泰勒級數為第30頁，課件共69頁，創作于2023年2月Q點速度按泰勒級數展開，并略去二階向量以上的各項，在此則（1）由上式可見，Q點的速度可以用P點的速度及九個速度分量的偏導數來表示。第31頁，課件共69頁，創作于2023年2月用上列類似的配項方法，其余二式得：上式的第一式右方加減及并重新加以組合得：，第32頁，課件共69頁，創作于2023年2月

為了簡化起見，引用下列符號：代入前式，則

(2)上式即為流體微團的速度分解公式，亦稱亥姆霍茲(Helmhotz)速度分解定理。第33頁，課件共69頁，創作于2023年2月二、微團運動的組成分析從形式上看，速度分解定理把比較簡單的式（1）變為結果反而更復雜的式（2），但這不是沒有原因的。為了便于討論，僅以二維流動為例來分析矩形微團ABCD的運動，設微團的邊長為dx及dy，A點的速度（ux，uy），按二元泰勒級數展開（忽略二階以上微量）得微團ABCD各點的速度分量：

A點

坐標(0,0)速度（ux，uy）

第34頁，課件共69頁，創作于2023年2月x方向f(x0,y0)＝ux速度y方向f(x0,y0)＝uy速度

C點坐標（dx,0）即h＝dx，k＝0x方向f(x0,y0)＝ux速度y方向f(x0,y0)＝uy速度

B點坐標（0，dy）即h＝0，k＝dy第35頁，課件共69頁，創作于2023年2月第36頁，課件共69頁，創作于2023年2月

D點

坐標（dx,dy）即h＝dx，k＝dyx方向f(x0,y0)＝ux速度y方向f(x0,y0)＝uy速度設流體微團從初始位置ABCD，經過dt時間后，矩形平面ABCD將變成A1B′D′C′的形狀和位置。第37頁，課件共69頁，創作于2023年2月

點x方向的速度分量y方向的速度分量ABCD各點各方向速度分量第38頁，課件共69頁，創作于2023年2月整個變化過程可以看作是由以下幾種基本運動形成所組成。1、平移運動A點的速度分量ux，uy是矩形微團其它各點相應速度分量的組成部分。若不考慮B、C、D各點的速度與A點相差部分，則經過dt時間后，微團平移到新的位置A1B1D1C1，其形狀及大小沒有改變。由此可知ux、uy是微團在x、y方向的平移速度。同理，對于空間流場，ux、uy、uz為平移速度。第39頁，課件共69頁，創作于2023年2月

在x方向上C點速度分量要比A點大(?ux/?x)dx；D點比B點大(?ux/?x)dx。故邊長AC和BD在x方向要拉長（或縮短）(?ux/?x)dxdt（拉長為正，縮短為負），即A1C1拉長到A1C2，B1D1拉長到B1D2。同理，邊長AB和CD在y方向拉長（縮短）均為(?uy/?y)dydt。2、變形運動（1）線變形線變形是直線線段單位長度單位時間的線變形。由于矩形微團ABCD各角點在x方向的速度分量的不相同。第40頁，課件共69頁，創作于2023年2月

線變形(線變形速率)為(3)同理

這里稱εxx為微團在x方向的線變形或線變率，εyy為y方向的線變形，εzz為z方向的線變形。由于線變形使微團ABCD變成A1B2D2C2。第41頁，課件共69頁，創作于2023年2月

（2）角變形如圖，因C點在y方向的速度分量比A點在y方向的速度分量有增量(?uy/?x)dx，使AC邊，即A1C2邊逆時針偏轉dα角。同理B點在x方向比A點在x方向有速度增量(?ux/?y)dy，使AB邊，即A1B2邊順時針偏轉dβ角?？紤]到dα和dβ是很小的角，所以：第42頁，課件共69頁，創作于2023年2月分母中第二項與第一項比是高階微量，可略去不計，于是：

因此，A1C2邊和A1B2邊的旋轉角速度分別為

第43頁，課件共69頁，創作于2023年2月

通常把微團的旋轉角速度之和的一半稱為角變形(角變形速率)。角變形同理

εxy表示微團在xoy平面上的角變形，或稱為繞z軸的剪切角速度。繞x軸的剪切角速度繞y軸的剪切角速度上式說明角變形是流體微團中某一直角減少速度的一半。第44頁，課件共69頁，創作于2023年2月

3、旋轉運動在一般情況下，dα≠dβ，流體微團在xoy平面上除了產生剪切變形外，還有繞z軸的旋轉。對角線A1D1經過dt時間轉到A1D′，旋轉的角度為dγ?！螧′A1C′的等分角線A1D′。第45頁，課件共69頁，創作于2023年2月由此可見，ωz代表流體微團繞z軸的旋轉角速度。

繞x軸的旋轉角速度繞y軸的旋轉角速度結論：流場中任何微團的運動一般都可以認為由平移、變形及轉動所組成。同理第46頁，課件共69頁，創作于2023年2月此運動稱為無旋流動或有勢流動。三、無旋流動和有旋流動流體運動根據流體微團有無旋轉角速度而劃分為有旋（有渦）流動和無旋（無渦）運動兩種。1、無旋（無渦）流動在流動空間中，流體微團僅有平移和變形運動，而沒有旋轉運動，即在流動空間中有第47頁，課件共69頁，創作于2023年2月

2、有旋（有渦）流動在流場中，流體微團存在旋轉運動，即ωx、ωy、ωz三者中，至少有一個不為零，則稱為有旋流動。一般來講，無旋流存在于無粘性的理想流體中，有旋流存在于有粘性的實際流體中。但實際流體運動在某些情況下也可以是無旋流，如實際流體的層狀滲流便是。流動究竟是有旋還是無旋，要根據流體微團本身是否繞自身軸旋轉來決定，而不是根據流體微團的軌跡形狀來決定。第48頁，課件共69頁，創作于2023年2月

判斷流體是否有旋與判斷剛體運動是否轉動是完全不同的。剛體只要質點作圓周運動，那么處處有旋；如果作直線運動，那么就處處無旋。而且對于剛體，圓心一點有旋，則點點有旋。而流體則不同，圓心一點有旋，其它點不一定有旋，一點不能代表全體，必須逐點檢驗。如圖所示的運動中微團運動軌跡是一條直線，但微團本身卻發生了轉動，這種運動是有旋流動。如圖所示的流動中，微團的軌跡是一個圓，但微團本身并沒有旋轉，因此這種流動是無旋流動。第49頁，課件共69頁，創作于2023年2月例：判別下列流動是有旋流動還是無旋流動。（1）已知速度場ux＝ay，uy＝uz＝0，其中a為常數，流線是平行于x軸的直線。（2）已知速度場ur＝0，uθ＝b/r，其中b是常數，流線是以原點為中心的同心圓。uyuxθ第50頁，課件共69頁，創作于2023年2月

是無旋流動。解：（1）本題為平面流動，只需判別ωz是否為零。是有旋流動。（2）取直線坐標，任意點P(x,y)的速度分量第51頁，課件共69頁，創作于2023年2月則稱Ω為渦量。與速度場u對應，Ω也構成一個場，稱之為渦量場。上式中▽為哈密爾頓（Hamilton）算子，其定義為

3、渦量定義設有速度場u，令在直角坐標系中，，根據定義式可寫出渦量分量式為第52頁，課件共69頁，創作于2023年2月

或

則此流場為無旋流動。渦量是表明流體旋轉運動的一個物理量。若流體流動中Ω≠0，即Ωx、Ωy、Ωz三個分量中只要有一個不為零，則稱該流場中流體流動為有旋流動，又稱為旋渦運動。若流場中處處有Ω＝0，則該流場中流體流動稱為無旋流動。即流場滿足下列方程第53頁，課件共69頁，創作于2023年2月§3－4連續性方程

三維流動的連續性方程微小流束的連續性方程總流連續性方程第54頁，課件共69頁，創作于2023年2月一、三維流動的連續性方程(continuityequation)

在流場中任取一點C（x，y，z）為中心的微小六面體，其邊長為dx，dy，dz。六面體中心點C的流速為u，u={ux，uy，uz}，流體密度為ρ。由于流體的連續性，在dt時間內：六面體的質量差值＝流入量－流出量在x方向質量差值用泰勒級數展開得：1—2面速度密度第55頁，課件共69頁，創作于2023年2月密度3—4面速度

密度流出3—4面的質量為在dt時間內，流入1—2面的質量為第56頁，課件共69頁，創作于2023年2月六面體x方向流體質量的差值為同理，y方向

z方向

在dt時間內，流體流入六面體與流出六面體質量之差總值為第57頁，課件共69頁，創作于2023年2月

流體密度隨時間的變化也影響六面體中的質量。設在t時刻流體密度為ρ，在t+dt時刻密度為，在dt時間內由于密度變化而使六面體中增加的流體質量為根據質量守恒定律，dt時間內流入與流出六面體的流體質量之差必等于六面體在該時間內流體質量的增量，即則得：

上式為可壓縮流體非恒定流的連續性方程。第58頁，課件共69頁，創作于2023年2月

可壓縮流體恒定流（）的連續性方程為

不可壓縮流體（ρ=常數）恒定流或非恒定流的連續性方程為

例1：已知空氣流動速度場為

ux=6(x+y2),uy=2y+z3,uz=x+y+4z試分析這種流動狀況是否連續？解：根據連續性方程所以說明空氣的流動是不連續的。

第59頁，課件共69頁，創作于2023年2月例2：下面的平面流場，流動是否連續？ux=x3siny,uy=3x2cosy解：因為所以這個流動是連續的。第60頁，課件共69頁，創作于2023年2月二、微小流束的連續性方程在總流中，任取一流段1，2的微小流束，其過流斷面面積分別為dA1和dA2，相應的流速為u1和u2，密度分別為ρ1和ρ2。經過dt時間，從1—1斷面流入的流體質量為從2—2斷面流出的流體質量為流入和流出微小流束的質量差值為第61頁，課件共69頁，創作于2023年2月

設在t時刻微小流束內的流體密度為ρ，t+dt時刻，密度為，在dt時間由于密度變化而使微小流束增加的流體質量為根據質量守恒定律，dt時間內流入與流出微小流束的流體質量之差必等于微小流束在該時間內流體質量的增量。即得式中dV——微小流束的體積。上式