Runge-Kuttua方法和matlab原理

1Runge-Kuttua方法和matlab原理

1龍格－庫塔法（Runge-Kutta）數值分析中，龍格－庫塔法（Runge-Kutta）是用于模擬常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。這些技術由數學家卡爾·龍格和馬丁·威爾海姆·庫塔于1900年左右發明。經典四階龍格庫塔法龍格庫塔法的家族中的一個成員如此常用，以至于經常被稱為“RK4”或者就是“龍格庫塔法”。2龍格－庫塔法（Runge-Kutta）2四階Runge-Kutta方法3四階Runge-Kutta方法344這樣，下一個值(yn+1)由現在的值(yn)加上時間間隔(h)和一個估算的斜率的乘積決定。該斜率是以下斜率的加權平均：k1是時間段開始時的斜率；k2是時間段中點的斜率，通過歐拉法采用斜率k1來決定y在點tn+h/2的值；k3也是中點的斜率，但是這次采用斜率k2決定y值；k4是時間段終點的斜率，其y值用k3決定。當四個斜率取平均時，中點的斜率有更大的權值：

5這樣，下一個值(yn+1)由現在的值(yn)加上時間間隔(h誤差分析：注意上述公式對于標量或者向量函數(y可以是向量)都適用。

四階R-K方法的每一步需要計算四次函數值f，可以證明其局部截斷誤差為O(h5).

6誤差分析：四階R-K方法的每一步需要計算四次R-K(高階)方法不唯一,選擇不同的參數能得到不同的R-K公式注意的問題R-K方法的推導是基于Taylor展開法，因而要求解具有較好的光滑性，如果光滑性較差精度可能不如改進Euler方法,最好采用低階算法而將步長h

取小。Runge-Kutta法的主要運算在于計算

Ki

的值，即計算

f

的值。計算量與可達到的最高精度階數的關系：753可達到的最高精度642每步須算Ki的個數7R-K(高階)方法不唯一,選擇不同的參數能得到注意的問題R-四階Runge-Kutta方法的MATLAB實現原理：8四階Runge-Kutta方法的MATLAB實現原理：8四階R-K方法實現開始輸出x1,y1結束YN9四階R-K方法實現開始輸出x1,y1結束YN9functionff=rk(yy,x0,y0,h,a,b)%yy為y的導函數,x0,y0,為初值,h為步長,a,b為區間c=(b-a)/h+1;i1=1;%c為迭代步數；i1為迭代步數累加值y=y0;z=zeros(c,6);%z生成c行，6列的零矩陣存放結果；%每行存放c次迭代結果，每列分別存放k1~k4及y的結果10functionff=rk(yy,x0,y0,h,a,b)不斷迭代運算：forx=a:h:b

ifi1<=ck1=feval(yy,x,y);k2=feval(yy,x+h/2,y+(h*k1)/2);k3=feval(yy,x+h/2,y+(h*k2)/2);k4=feval(yy,x+h,y+h*k3);y=y+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);z(i1,1)=x;z(i1,2)=k1;z(i1,3)=k2;z(i1,4)=k3;z(i1,5)=k4;z(i1,6)=y;i1=i1+1;

endend11不斷迭代運算：11例4解例題412例4解例題412xnYn|yn-y(xn)|R-K3誤差y(xn)0.11.09590.00051.095440.45e-41.09540.21.18410.00091.183220.17e-41.18320.31.26620.00131.264910.15e-41.26490.41.34340.00181.341650.48e-41.34160.51.41640.00221.414220.25e-41.41420.61.48600.00281.483260.55e-41.48320.71.55250.00331.549210.14e-41.54920.81.61650.00401.6124780.21e-41.61250.91.67820.00491.673350.54e-41.67331.01.73790.00581.732090.06e-41.732113xnYn|yn-y(xn)|R-K3誤差y(xn)0.11.改進Euler法一步需要計算兩個函數值(h=0.1)四階Runge-Kutta方法一步需要計算四個函數值（h=0.2）總計算量大致相當，但四階Runge-Kutta方法精度更高14改進Euler法一步需要計算兩個函數值(h=0.1)14五、變步長Runge-Kutta方法從每一步看，步長越小，截斷誤差越小；但隨著步長的縮小，在一定求解范圍內所要完成的步數就會增加，步數的增加不但引起計算量的增大，而且可能導致舍入誤差的嚴重積累，因此需要選擇步長如何衡量和檢驗計算結果的精度如何依據所判定的精度來處理步長15五、變步長Runge-Kutta方法從每一步看，步長越小，截實施方案以經典四階Runge-Kutta方法為例