線彈性斷裂力學

郭素娟

華東理工大學機械與動力學院

sujuanguo@EngineeringFractureMechanics-2013線彈性斷裂力學

郭素娟

華東理工大學機械與動力學院

現代斷裂力學是在Griffith經典斷裂理論的基礎上發展起來的：內容簡介從理論體系的成熟程度來看，線性彈性斷裂力學發展最為完善。本章將重點介紹線性彈性斷裂力學的一些基本知識。線性彈性斷裂力學彈塑性斷裂力學動態斷裂力學現代斷裂力學是在Griffith經典斷裂理論的基礎上主要內容幾個相關的基本概念應力強度因子斷裂理論裂紋尖端塑性及應力強度因子塑性修正能量平衡方法應力場強度因子斷裂理論的應用案例思考題主要內容幾個相關的基本概念幾個相關的基本概念裂紋的基本形式內力、應力和應變的定義平面應力與平面應變狀態應力集中與斷裂破壞

線彈性斷裂力學的處理方法幾個相關的基本概念裂紋的基本形式幾個相關的基本概念裂紋的基本形式按裂紋在構件中的位置，可分為：穿透裂紋表面裂紋埋藏裂紋幾個相關的基本概念裂紋的基本形式按裂紋在構件中的位置，可分為幾個相關的基本概念按裂紋在外力作用下擴展方式，可分為：I型（張開型）II型（滑開型）III型（撕開型）如果同時受拉和剪的作用，這時I和II型（或）III同時存在，稱為復合型。I型裂紋最危險，且在工程中普遍存在，是研究的重點。幾個相關的基本概念按裂紋在外力作用下擴展方式，可分為：I型幾個相關的基本概念內力、應力和應變的定義外力作用引起構件內部的附加相互作用力內力不能反應材料受力程度A1先壞幾個相關的基本概念內力、應力和應變的定義外力作用引起構件內部應力

P

AM①平均應力：②全應力（總應力）：由外力引起的內力集度（單位面積內力），稱應力。大多數情形下，內力并非均勻分布，集度的定義不僅準確而且重要，“破壞”或“失效”往往從內力集度最大處開始。應力PAM①平均應力：②全應力（總應力）：由外力引起的內幾個相關的基本概念p

M

垂直于截面的應力稱為“正應力”

(NormalStress)；位于截面內的應力稱為“剪應力”(ShearingStress)。幾個相關的基本概念pM垂直于截面的應力稱為“正應力”(幾個相關的基本概念應變FCDEC’D’E’線（正）應變角（切）應變幾個相關的基本概念應變FCDEC’D’E’線（正）應變角（切幾個相關的基本概念平面應力與平面應變狀態xyzs

xsz

s

ytxy實際構件的應力表現為三維復雜情況?APTMNP幾個相關的基本概念平面應力與平面應變狀態xyzsxszs平面應力yAxo只有xoy平面內的三個應力分量平面應變垂直oz軸的橫截面相同，載荷垂直z軸且沿z軸方向無變化。Pzoxy一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多。厚度上應變不為零，因此是三向應變問題一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多。厚度上應力不為零，所以是三向應力狀態。注意：此時材料不易發生塑性變形，因此比平面應力狀態更危險。平面應力yAxo只有xoy平面內的三個應力分量平面應變垂直o幾個相關的基本概念應力集中與斷裂破壞應力集中截面突然變化而引起的應力局部驟然增大的現象。截面尺寸變化越劇烈，應力集中就越嚴重。含裂紋構件的斷裂應力比無裂紋構件的破壞應力低得多，為什么？幾個相關的基本概念應力集中與斷裂破壞應力集中截面突然變化而引幾個相關的基本概念線彈性斷裂力學的處理方法外加應力在彈性范圍內，而裂紋前端塑性區很小時，這種斷裂問題可以用線彈性力學處理，這種斷裂力學叫線彈性斷裂力學。線彈性斷裂力學處理裂紋問題有兩種方法：應力場強度分析能量分析考慮裂紋尖端的應力場強度，得出斷裂條件。考慮裂紋擴展時的能量變化，建立平衡方程，獲得斷裂條件。幾個相關的基本概念線彈性斷裂力學的處理方法外加應力在主要內容幾個相關的基本概念應力強度因子斷裂理論裂紋尖端塑性及應力強度因子塑性修正能量平衡方法應力場強度因子斷裂理論的應用案例思考題主要內容幾個相關的基本概念應力強度因子斷裂理論裂紋尖端應力場和位移場應力場強度因子的定義及確定方法典型結構的應力強度因子應力強度因子的疊加原理

應力場強度因子斷裂判據應力強度因子斷裂理論裂紋尖端應力場和位移場應力強度因子斷裂理論裂紋尖端應力場和位移場對裂紋的安全性分析評估，最重要的是在裂紋尖端附近，我們主要研究裂尖附近區域的應力場和位移場。可通過彈性力學理論求得裂紋尖端的應力場和位移場。應力強度因子斷裂理論裂紋尖端應力場和位移場對裂紋的安應力強度因子斷裂理論裂紋尖端應力場和位移場初始邊界條件：（1）當y=0,-a<x<a時，

y=0。（2）當y=0,|x|>a時，

y>

。（3）當y=0,x

時，

y=

。2axyo應力強度因子斷裂理論裂紋尖端應力場和位移場初始邊界條件：2a應力強度因子斷裂理論Westergaard應力函數法得到的結果：對Ⅰ型裂紋

應力分量：位移分量：2axyo高階小量高階小量r為到裂尖距離，當r=0出現歧義性KI應力強度因子斷裂理論Westergaard應力函數法得到的結應力強度因子斷裂理論對Ⅱ型裂紋

應力分量：位移分量：2axyo高階小量高階小量KIIr為到裂尖距離，當r=0出現歧義性應力強度因子斷裂理論對Ⅱ型裂紋應力分應力強度因子斷裂理論對Ⅲ型裂紋

2axyo應力分量：位移分量：高階小量高階小量KIIIr為到裂尖距離，當r=0出現歧義性應力強度因子斷裂理論對Ⅲ型裂紋2ax應力強度因子斷裂理論應力場強度因子的定義應力強度因子與坐標無關，與裂紋和裂紋體的幾何（包括尺寸與形狀）和外載荷條件有關，代表應力場強度，而不是應力分布。由于應力強度因子基于線彈性理論，因此它與外載荷呈線性關系，寫成通式為：從力學上說，在裂紋尖端附近，應力場具有1/階奇異性，這個奇異性的大小，稱為裂紋尖端附近應力場強度因子K。針對不同的裂紋模式，可將其分別記為KI，KII和KIII。

量綱：[力]﹒[長度]-3/2，國際單位：MPa﹒m1/2，應力強度因子斷裂理論應力場強度因子的定義應力強度因子與坐標無應力強度因子斷裂理論裂紋尺寸由Irwin等1957年導出。Kies的縮寫，Irwin的同事。載荷因素，根據裂紋形式不同可取拉應力、面內剪應力，面外剪應力幾何形狀因子，與裂紋形式有關應力強度因子斷裂理論裂紋尺寸由Irwin等1957年導出。K應力強度因子斷裂理論數學分析法，如復變函數法，積分變換法。近似計算法，如邊界配置法，有限元法。實驗標定法，如柔度標定法。實驗應力分析法，如光彈性法。應力場強度因子的確定方法常用的應力強度因子已匯編成冊，使用時只要根據實際問題從相關手冊中查找其表達式即可。應力強度因子斷裂理論數學分析法，如復變函數法，積分變換法。應應力強度因子斷裂理論典型結構的應力強度因子“無限大”板，中央具有貫穿裂紋，承受均勻拉伸、面內剪切和面外剪切

應力強度因子斷裂理論典型結構的應力強度因子“無限大”板，中央應力強度因子斷裂理論在“無限大”平板中具有2a的穿透裂紋，裂紋面上距離x=b處作用有一對集中力p。2axyo2bpppp應力強度因子斷裂理論在“無限大”平板中具有2a的穿透裂紋，裂應力強度因子斷裂理論在“無限大”平板中具有2a的穿透裂紋，裂紋面上距離x=b范圍內，受有均布載荷p的作用。2axyo2bpp問題：如果整個裂紋表面均受有均布載荷p作用，怎么求解？應力強度因子斷裂理論在“無限大”平板中具有2a的穿透裂紋，裂應力強度因子斷裂理論受二向均勻拉力作用下的“無限大”板，在x軸上有一系列長度為2a間距為2b的穿透板厚裂紋。2axyo2b應力強度因子斷裂理論受二向均勻拉力作用下的“無限大”板，在x應力強度因子斷裂理論利用周期性邊界條件，復變函數法求解，得到：與單個裂紋的一個應力強度因子比較，發現：

>1,反映了其它裂紋的影響上述結構承受II型和III型載荷情況，請參閱相關資料了解！！應力強度因子斷裂理論利用周期性邊界條件，復變函數法求解，得到應力強度因子斷裂理論無限體內有一橢圓裂紋，沿z向長軸為2c，沿x向的短軸為2a，沿y向受有均勻拉伸應力

作用。

xzca與位置有關。應力強度因子斷裂理論無限體內有一橢圓裂紋，沿z向長軸為2c，應力強度因子斷裂理論工程中表面半橢圓裂紋最常見，深長比（a/2c）多在1/2~1/10范圍。

xzac最小點最大點應力強度因子斷裂理論工程中表面半橢圓裂紋最常見，深長比（a/應力強度因子斷裂理論需要采用復變函數手段理論分析，也可采用有限元數值解獲得，國際上迄今仍在研究。本課程不作要求。Rxyoxyo復合型裂紋特例復合型裂紋應力強度因子應力強度因子斷裂理論需要采用復變函數手段理論分析，也可采用有應力強度因子斷裂理論

復雜載荷下的應力強度因子等于各單個載荷的應力強度因子之和應力強度因子的疊加原理應力強度因子斷裂理論復雜載荷下的應力強度因子等于應力強度因子斷裂理論應力場強度因子斷裂判據應力強度因子K是描述裂紋尖端附近應力場程度的參量，因此，裂紋是否會失穩擴展取決于K值的大小，可用K因子建立裂紋發生失穩擴展的判據。裂紋尖端實際K因子達到材料的臨界值KC時，裂紋就會發生失穩擴展導致裂紋體的斷裂。KC是材料常數，稱為材料的斷裂韌度，可通過實驗測定。KIC

KIIC

KIIIC測試方法，查閱資料，形成報告！！根據斷裂判據，可以計算臨界應力σC和臨界裂紋長度aC，從而進行斷裂安全分析。應力強度因子斷裂理論應力場強度因子斷裂判據應主要內容幾個相關的基本概念應力強度因子斷裂理論裂紋尖端塑性及應力強度因子塑性修正能量平衡方法應力場強度因子斷裂理論的應用案例思考題主要內容幾個相關的基本概念裂紋尖端塑性及塑性修正實際材料的應力應變關系

K主導的問題（小范圍屈服）裂紋尖端塑性區的形狀和大小應力松弛對塑性區的影響應力強度因子的塑性修正裂紋尖端塑性及塑性修正實際材料的應力應變關系裂紋尖端塑性及塑性修正前面的研究中，假定材料處于完全線彈性狀態，因此只適用于純線彈性裂紋體。對絕大多數工程結構材料，當裂紋前端正應力等于或大于材料的屈服極限σs時，裂紋尖端附近會形成一個微小的塑性區域，引起裂紋尖端區的應力松弛。

嚴格的講，當裂紋尖端附近出現塑性區，線彈性斷裂力學的理論就不再適用。但如果屈服區很小(稱為小范圍屈服)，則經過必要的修正后，線彈性斷裂力學的方法仍然有效。裂紋尖端塑性及塑性修正前面的研究中，假定材料處于完全裂紋尖端塑性及塑性修正實際材料的應力應變關系低碳鋼裂紋尖端塑性及塑性修正實際材料的應力應變關系低碳鋼裂紋尖端塑性及塑性修正典型的拉伸曲線

s=0.2

s

beeeeee彈性模量E屈服極限

s(

0.2)抗拉強度

b裂紋尖端塑性及塑性修正典型的拉伸曲線s=0.2裂紋尖端塑性及塑性修正Von.Mises屈服準則當復雜應力狀態的形狀改變能密度等于單向拉壓屈服時的形狀改變能密度時，材料發生屈服。Tresca屈服準則在復雜受力狀態下，當最大剪應力等于材料單向拉伸屈服剪應力時，材料屈服。材料屈服準則裂紋尖端塑性及塑性修正Von.Mises屈服準則TrescK主導的問題（小范圍屈服）線彈性斷裂力學認為，只有在裂紋尖端附近很小范圍內才能用單參數K表示其應力應變場強度。能用單參數K描述其應力應變場強度的區域稱為K主導區。屈服區在K主導區以內時，用線彈性斷裂力學計算出的應力強度因子KⅠ仍能控制裂紋體的變形和斷裂，決定裂紋是否擴展。將屈服區在K主導區以內的屈服叫做小范圍屈服.工程上規定r/a≤0.02的區域為K主導區(a)小范圍屈服(b)大范圍屈服K主導的問題（小范圍屈服）線彈性斷裂力學認裂紋尖端塑性區的形狀和大小（I型裂紋為例）根據I型裂紋的應力公式和材料力學的平面問題主應力計算公式：Von.Mises屈服準則當復雜應力狀態的形狀改變能密度等于單向拉壓屈服時的形狀改變能密度時，材料發生屈服。代入裂紋尖端塑性區的形狀和大小（I型裂紋為例）根據I型裂紋的應力裂紋尖端塑性及塑性修正裂紋尖端塑性區的邊界曲線方程平面應力平面應變曲線與x軸(θ=0°)的交點，即塑性區的特征尺寸為：平面應力平面應變平面應變狀態下的塑性區遠小于平面應力狀態下的塑性區裂紋尖端塑性及塑性修正裂紋尖端塑性區的邊界曲線方程平面應力平裂紋尖端塑性及塑性修正厚板I型裂紋尖端的變形，往往是兩種狀態同時存在。A.中央部分z方向約束大，處于平面應變狀態B.中心移向表面，約束逐漸變小，向平面應力狀態過度C.前后兩表面附近，z向約束極小，處于平面應力狀態D.板中心的塑性區較小，越接近表面塑性區越大裂紋尖端塑性及塑性修正厚板I型裂紋尖端的變形，往往是兩種狀態裂紋尖端塑性及塑性修正應力松弛對塑性區的影響材料屈服后，多出來的應力將要松馳（即傳遞給r>r0的區域），使r0前方局部地區的應力升高，又導致這些地方發生屈服，進而導致塑性區的進一步擴大平移后的彈性解根據平衡原理，AB和DE包含的面積相等平面應力平面應變理想彈塑性考慮了應力松弛效應后，塑性區在尺寸在x軸上都擴大了一倍。必須指出的是，以上考慮的是理想彈塑性材料，即無強化材料。對于實際工程材料，大都有強化現象，裂紋尖端塑性區的尺寸要小于上述結果。裂紋尖端塑性及塑性修正應力松弛對塑性區的影響材料屈服后，多出裂紋尖端塑性及塑性修正應力強度因子的塑性修正KI反映了裂紋尖端應力場的強度，因此發生屈服導致的應力松弛后，裂紋前端的應力場也發生了變化，KI的計算需要修正。Irwin提出了有效裂紋尺寸的概念。塑性引起的修正項應力松弛引起的裂紋體剛度下降與裂紋長度增加的效果是一樣的等效裂紋長度實際的彈塑性應力場用一個虛構的彈性應力場來代替裂紋尖端塑性及塑性修正應力強度因子的塑性修正KI反映了裂紋尖裂紋尖端塑性及塑性修正在小范圍屈服條件下，只需把有效裂紋長度帶入，即可得到修正后的應力強度因子。裂紋尖端塑性及塑性修正在小范圍屈服條件下，只需把有效裂紋長度主要內容幾個相關的基本概念應力強度因子斷裂理論裂紋尖端塑性及應力強度因子塑性修正能量平衡方法應力場強度因子斷裂理論的應用案例思考題主要內容幾個相關的基本概念能量平衡方法裂紋擴展規律也可用能量守恒和轉化的觀點分析。裂紋擴展需要的能量主要有：形成新裂紋面需要的能量，尖端的塑性變形能。裂紋擴展的阻力能量平衡方法裂紋擴展規律也可用能量守恒和轉化的觀點分析。裂紋能量平衡方法裂紋擴展的動力，需要由外界提供。U表示系統能量（勢能），則單位裂紋擴展長度導致的能量下降彈性應變能載荷所做的功應變能釋放率物理意義：GI為裂紋擴展單位長度時系統勢能的變化率。又稱為裂紋擴展力。MN·m-1。能量平衡方法裂紋擴展的動力，需要由外界提供。U表示系統能量（能量平衡方法平面應力情況下的應變能釋放率平面應變情況下的應變能釋放率材料有關的常數能量平衡方法平面應力情況下的應變能釋放率平面應變情況下的應變能量平衡方法類似于材料的屈服應力和斷裂強度，斷裂參量KI和GI同樣在工程上定義了臨界值，即KIc和GIc

，二者為材料的常數。失效判據能量平衡方法類似于材料的屈服應力和斷裂強度，斷裂參量KI和G能量平衡方法以平面應力情況為例：也可以通過應力分析和能量分析方法建立二者之間的關系。對于平面應變、II型和III型裂紋情況，可類似建立應變能釋放率與應力強度因子的關系能量平衡方法以平面應力情況為例：也可以通