4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪（作業(yè)）（夯實基礎+能力提升）【夯實基礎】一、單選題1．（2022·四川省儀隴宏德中學高一開學考試）下列選項中，計算結果等于4a3的是（

）A． B．

C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則，即可判斷出答案.【詳解】由題意可得，A錯誤；時，，B錯誤；，C錯誤；，D正確，故選：D2．（2022·全國·高一課時練習）設，為方程的兩個根，則（

）A．8 B．-8 C．1 D．3【答案】A【分析】利用根與系數(shù)的關系，結合指數(shù)冪的運算，可得答案.【詳解】由于，為方程的兩個根,利用根與系數(shù)的關系，得，所以,故選:A3．（2022·江蘇·高一）若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定根式，結合其變形及結果列式計算作答.【詳解】因，則有，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D4．（2022·湖南·長郡中學高一期末）如果關于的不等式的解集是，那么等于（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三個二次的關系確定參數(shù)，結合指數(shù)運算可得結果.【詳解】∵不等式的解集是，∴是方程的兩個實根，∴，∴，∴.故選：B.5．（2022·全國·高一課時練習（理））若，，則的值為（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件利用根式的性質直接計算即可得解.【詳解】依題意，，，則，所以的值為1.故選：A二、多選題6．（2022·江蘇省如皋中學高一階段練習）若，則下列說法中正確的是（

）A．當為奇數(shù)時，的次方根為B．當為奇數(shù)時，的次方根為C．當為偶數(shù)時，的次方根為D．當為偶數(shù)時，的次方根為【答案】BD【分析】根據(jù)，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，求出的次方根，即可判斷得出結果.【詳解】當為奇數(shù)時，的次方根只有1個，為；當為偶數(shù)時，由于，所以的次方根有2個，為.所以B，D說法是正確的.故選：BD.7．（2022·福建省永泰縣第一中學高一開學考試）下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A． B．y=t+1 C． D．【答案】BD【分析】函數(shù)的定義域是.選項AC函數(shù)與已知函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，選項BD滿足同一函數(shù)的定義，所以是同一函數(shù).【詳解】解：兩個函數(shù)只有定義域和對應關系分別相同，兩個函數(shù)才是同一函數(shù).函數(shù)的定義域是.的定義域為與的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；與的對應關系、定義域都相同，所以兩個函數(shù)為同一函數(shù)；與的定義域不同，所以兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；與的對應關系、定義域都相同，所以函數(shù)為同一函數(shù).故選：BD．三、填空題8．（2022·吉林省實驗中學高一階段練習）比較大?。篲__________.（填：>?<?=）【答案】<【分析】將已知兩式化簡即，比較分母大小，即可求得答案.【詳解】由題意可得，因為，故，即，故答案為：<9．（2022·全國·高一專題練習）如果，，那么的值是______.【答案】【分析】根據(jù)平方差公式即可求解.【詳解】由知：為非負數(shù)，∵，∴故答案為：10．（2022·全國·高一專題練習）計算：的結果是__________________．【答案】2【分析】根據(jù)根式的運算法則即可求解.【詳解】

故答案為：2．11．（2022·全國·高一專題練習）________.【答案】【分析】利用分母有理化化簡即得解.【詳解】解：原式=.故答案為：.12．（2022·全國·高一專題練習）若滿足關系+=+，則的值為_______________．【答案】21【分析】根據(jù)已知分析出x＋y＝19，得到＋＝0，再利用非負數(shù)的性質求解.【詳解】解：由題意得：，則，∴x＋y＝19，∴＋＝0，則3x＋5y?2?m＝0①，2x＋3y?m＝0②，①?②得：x＋2y?2＝0，∵x＝19－y，∴y＝?17，∴x＝36，∴，∴m＝21．故答案為：21．13．（2022·全國·高一專題練習）二次根式成立的條件是_________【答案】【分析】利用得到，從而得到.【詳解】二次根式，所以.故答案為：14．（2022·全國·高一專題練習）化簡的結果為________【答案】##【分析】直接將表示成，結合平方差公式即可得結果.【詳解】.故答案為：.15．（2022·全國·高一課時練習）求值_______．【答案】4【分析】直接利用根式的運算性質化簡【詳解】.故答案為：416．（2022·江蘇省如皋中學高一階段練習），則實數(shù)a的取值范圍_________

【答案】【分析】由二次根式的化簡求解【詳解】由題設得，，所以所以，．故答案為：17．（2022·遼寧錦州·高一期末）______．【答案】8【分析】根據(jù)給定條件化根式為分數(shù)指數(shù)冪求解作答.【詳解】.故答案為：818．（2022·江蘇·高一）已知，則________.【答案】【分析】通過平方，得兩式的轉化關系，，從而得，再由，開方即可求得.【詳解】因為，所以，又因為，所以故答案為：.19．（2022·河南洛陽·高一期末）計算：______．【答案】【分析】根據(jù)冪的運算法則，根式的定義計算．【詳解】．故答案為：．四、解答題20．（2022·全國·高一專題練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)0【分析】根據(jù)根式的運算即可求解（1）（2）.（1）；（2）=021．（2022·全國·高一課時練習）計算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】本題應用，為奇數(shù)，進行整理計算．（1）（2）22．（2022·江蘇·高一）計算：．【答案】.【分析】根據(jù)給定條件利用根式及指數(shù)運算法則計算作答.【詳解】原式=.23．（2022·江西南昌·高一期末）（1）若求的值；（2）計算：．【答案】（1）23；（2）.【分析】（1）由兩邊同時平方可得答案.（2）利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質結合根式的運算性質可得答案.【詳解】（1）（2）原式24．（2022·全國·高一）化簡下列各式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的轉化和冪的運算性質即可求解；（2）利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的轉化及冪的運算性質即可求解.(1)(2)【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高一專題練習）把代數(shù)式中的移到根號內，那么這個代數(shù)式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)二次根式的性質得出，進而求出的取值范圍，然后確定的正負情況，再將移入根號內即可.【詳解】，即，，.故選：A.2．（2022·江蘇·高一）已知實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的運算求解.【詳解】設，，，，，..又，，，.故選：D3．（2022·全國·高一課時練習）若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把等式左邊變形為，結合，可得，則答案可求.【詳解】解：由，可得，即．實數(shù)的取值范圍是．故選：．4．（2022·全國·高一課時練習）化簡(其中，)的結果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件化根式為分數(shù)指數(shù)冪，再借助冪的運算法則計算即得.【詳解】因，，所以.故選：C5．（2022·全國·高一課時練習）已知，，，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)的單調性可得.再由的單調性可得.從而可得選項.【詳解】因為在R上遞減，且，所以.又因為在R上遞增，且，所以.所以.故選：D.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調性的應用之比較指數(shù)式的大小，屬于中檔題.6．（2022·全國·高一課時練習）已知，則的值是A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意結合根式的運算法則整理計算即可求得最終結果.【詳解】由題意知，，由于，故，則原式.故選B.【點睛】本題主要考查根式的運算法則及其應用，屬于中等題.7．（2022·全國·高一課時練習）若，則等式成立的條件是A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由題意利用根式的性質得到關于x,y的不等式組，然后確定x,y的符號即可.【詳解】，，．由，得.故選C.【點睛】本題主要考查根式的定義與運算法則，屬于基礎題.8．（2022·全國·高一）設函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立，一定會有，從而求得結果.詳解：將函數(shù)的圖像畫出來，觀察圖像可知會有，解得，所以滿足的x的取值范圍是，故選D.點睛：該題考查的是有關通過函數(shù)值的大小來推斷自變量的大小關系，從而求得相關的參數(shù)的值的問題，在求解的過程中，需要利用函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖像，從而得到要出現(xiàn)函數(shù)值的大小，絕對不是常函數(shù)，從而確定出自變量的所處的位置，結合函數(shù)值的大小，確定出自變量的大小，從而得到其等價的不等式組，從而求得結果.二、填空題9．（2022·全國·高一專題練習）化簡：________．【答案】【分析】分析式子可以發(fā)現(xiàn)，若在結尾乘以一個，則可以從后到前逐步使用平方差公式進行計算，為保證恒等計算，在原式末尾乘以即可﹒【詳解】原式故答案為：﹒10．（2022·全國·高一專題練習）若，則的立方根為_______.【答案】2【分析】首先根據(jù)函數(shù)有意義可求出的值，把的值代入即可求出的值，從而可求出答案.【詳解】由，得，所以，所以，所以的立方根為.故答案為：.11．（2022·全國·高一專題練習）關于圓周率，祖沖之的貢獻有二：①；②用作為約率，作為密率，其中約率與密率提出了用有理數(shù)最佳逼近實數(shù)的問題.約率可通過用連分數(shù)近似表示的方法得到，如：，舍去0.0625135，得到逼近的一個有理數(shù)為，類似地，把化為連分數(shù)形式：（m，n，k為正整數(shù)，r為0到1之間的無理數(shù)），舍去r得到逼近的一個有理數(shù)為__________.【答案】.【分析】利用題中的定義以及類比推理直接進行求解即可.【詳解】舍去得到逼近的一個有理數(shù)為.故答案為：【點睛】本題考查了類比推理，解題的關鍵是理解題中的定義，屬于基礎題.12．（2022·全國·高一專題練習）已知m=2，n=3，則[÷]3的值是______．【答案】【分析】先利用有理指數(shù)冪的運算法則化簡，再代值．【詳解】m=2，n=3，則原式==m?n-3=2×3-3=，故答案為．【點睛】本題考查了有理指數(shù)冪及根式．屬基礎題．三、解答題13．（2022·全國·高一專題練習）閱讀材料，解決問題：化簡：．由于題目沒有給出x的取值范圍，所以要分類討論，．令，，令，得；∴的零點值為3，的零點值為，在數(shù)軸上標出3和的點，數(shù)軸被分成三段，即，，；當時，原式；當時，原式=5；當時，原式．(1)求和的零點值；(2)化簡：．(3)求方程：的整數(shù)解．【答案】(1)，(2)答案見解析(3)，，，，，，【分析】（1）令，，求出的值即可．（2）利用零點分段法分類討論，分別計算可得．（3）利用零點分段法分類討論，分別計算可得．（1）解：可令和，解得和，∴，分別為和的零點值．（2）解：當時，，原式當時，，原式當時，，，原式（3）解：當時，∴，∴方程左邊；當時，∴，∴方程左邊；當時，∴，，∴方程左邊，∴，∴整數(shù)解為：，，，，，，．14．（2022·全國·高一課時練習）（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用立方差公式將分解為，結合已知即可求得答案;（2）將化為，化簡并結合，可求得答案.【詳解】（1），則．（2），且,．15．（2022·江蘇·高一單元測試）求下列各式的值；(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】分析：（1）利用進行化簡，求得答案；（2）先將式子和化成完全平方式，再化簡，即得答案.（1）=．（2）原式=因為，所以，當，即時，當，即時，,所以.16．（2022·全國·高一課時練習）（1）計算：；（2）已知，求．【答案】（1）3；（2）.【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則進行計算，求得答案；（2）先判斷出，然后將平方后結合條件求得答案.【詳解】（1）原式，．（2）由于，所以，，所以．17．（2022·江蘇·高一）計算下列各式：(1).(2).(3)已知，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)利用實數(shù)指數(shù)冪的運算法則直接計算作答.(2)利用實數(shù)指數(shù)冪的運算法則結合單項式的除法法則直接計算作答.(3)將給定等式兩邊平方直接計算即可作答.(1)原式.(2)原式.(3)因，兩邊平方得，所以.18．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)（且），其中a，b均為實數(shù).(1)若函數(shù)的圖象經過點，，求函數(shù)的解析式；(2)如果函數(shù)的定義域和值域都是，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）將已知點代入函數(shù)即可求出；（2）討論和根據(jù)函數(shù)單調性列出方程即可求解.（1）因為函數(shù)的圖象經過點，，∴，∴∴函數(shù).（2）如果函數(shù)的定義域和值域都是，若，則函數(shù)為增函數(shù)，∴，無解.若，則函數(shù)為減函數(shù)，∴，解得，∴.19．（2022·全國·高一課時練習）（1）已知，，且，用，表示；（2）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先分母有理化，再利用完全平方公式得到的值，進而求解出結果.（2）通過除以法則，變?yōu)槌朔?，看出分子是立方差公式的逆用，進而約分，化為最簡，再代入求值【詳解】（1），因為，所以，所以．原式．（2）原式=．20．（2022·全國·高一專題練習）設表示不超過的最大整數(shù)，如，，.化簡：（結果用表示，其中是大于0的整數(shù)）.【答案】【分析】利用設表示不超過的最大整數(shù)，依次化簡個根式，然后利用裂項相消法即可得結論.【詳解】由題意，表示不超過的最大整數(shù)，設為正整數(shù)，則，于是，，原式.【點睛】本題主要考查對定義的理解以及用裂項相消對數(shù)列求和