4.2.2指數函數的圖像和性質（分層作業）（夯實基礎+能力提升）【夯實基礎】一、單選題1．（2022·全國·高一專題練習）函數(是自然底數)的大致圖像是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據指數函數的圖像與性質即可得出答案.【詳解】解析，函數為偶函數，且過，，函數在上遞增，在上遞減，故C符合.故選：C.2．（2022·全國·高一課時練習）函數①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數：，，，中的一個，則a，b，c，d的值分別是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】C【分析】由直線與函數圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b即可求解.【詳解】解：直線與函數圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b，而，所以a，b，c，d的值分別是，，，，故選：C.3．（2022·全國·高一課時練習）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據二次根式的被開方式非負，列出不等式，求解不等式可得答案.【詳解】由題意得，即，解得．故選：C.4．（2022·河南開封·高一期末）已知函數則函數值域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結合分段函數的單調性來求得的值域.【詳解】當時，單調遞增，值域為；當時，單調遞增，值域為，故函數值域為.故選：B5．（2022·全國·高一課時練習）若函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷出函數的奇偶性和單調性，再利用其性質解不等式即可【詳解】的定義域為,因為，所以是奇函數，所以不等式可化為，因為在上均為增函數，所以在上為增函數，所以，解得，故選：A.6．（2022·湖南省衡南縣衡云中學高一開學考試）已知，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據指數函數的單調性比較大?。驹斀狻俊呤菧p函數，，所以，又，∴．故選：C．7．（2022·四川宜賓·高一期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，舉例說明判斷A，C，D；利用指數函數單調性判斷B作答.【詳解】取，滿足，顯然有、、成立，即選項A，C，D都不正確；指數函數在R上單調遞增，若，則必有，B正確.故選：B8．（2022·全國·高一專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據指數函數的單調性結合中間量法即可得出答案.【詳解】解：是增函數，故，而，故.故選：A.9．（2022·全國·高一課時練習）若函數（且）在區間上的最大值和最小值的和為，則a的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分與兩種情況，結合函數單調性表達出最值，列出方程，求出a的值.【詳解】當時，函數在上為減函數，則，解得：，當時，函數在上為增函數，則，解得：．綜上，或．故選：D10．（2022·全國·高一）已知函數，則函數的圖像經過（

）．A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限C．第二、四象限 D．第一、二象限【答案】B【分析】根據指數函數的單調性和函數圖象的平移變換即可得出結果.【詳解】因為，所以函數的圖象經過一、二象限，又的圖象是由的圖象沿y軸向下平移2個單位得到，所以函數的圖象經過二、三、四象限，如圖，故選：B11．（2022·湖北武漢·高一期末）函數與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標系中有可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據單調遞增可排除AC，再根據與y軸交點位置可排除B.【詳解】，則單調遞增，故排除AC；對于BD，單調遞減，則，與y軸交于0和1之間，故排除B.故選：D.12．（2022·江蘇·南京市第十三中學高一階段練習）已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據中間值比較大小即可.【詳解】解：根據題意，，，所以．故選：B．二、多選題13．（2022·全國·高一單元測試）已知函數，則（

）A．的值域為R B．是R上的增函數C．是R上的奇函數 D．有最大值【答案】ABC【分析】，而得到的值域為R，判斷A正確，D錯誤，根據增函數加增函數還是增函數進行判斷B選項，根據函數奇偶性定義判斷得到C選項.【詳解】，而，所以值域為R，A正確，D錯誤；因為是遞增函數，而是遞增函數，所以是遞增函數，B正確；因為定義域為R，且，所以是R上的奇函數，C正確；故選：ABC三、填空題14．（2022·全國·高一課時練習）若且，則函數的圖像恒過的定點的坐標為______．【答案】【分析】任意指數函數一定過定點，根據該性質求解.【詳解】令，得，所以，所以函數的圖像恒過定點．故答案為：15．（2022·湖南·岳陽市第四中學高一階段練習）函數（且）恒過一定點________.【答案】【分析】令，求出的值后，再代入函數解析式，即可得解.【詳解】令可得，則，因此，函數的圖象恒過定點.故答案為：.16．（2022·廣東廣州·高一期末）函數的定義域為______．【答案】【分析】根據題意，結合限制條件，解指數不等式，即可求解.【詳解】根據題意，由，解得且，因此定義域為.故答案為：.17．（2022·上海市延安中學高一期末）函數的值域為___________.【答案】【分析】根據指數函數的性質，結合自變量范圍求值域.【詳解】由，又遞增，∴函數值域為.故答案為：.四、解答題18．（2022·河北·元氏縣第四中學高一開學考試）已知函數．（1）求函數的定義域；（2）判斷函數的奇偶性，并證明；（3）解不等式．【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）或.【分析】（1）由指數函數的定義域可得解；（2）由可知函數為偶函數；（3）利用對數函數的單調性可知，得，從而得解.【詳解】（1）易知函數，.所以定義域為.（2）由，從而知為偶函數；（3）由條件得，得，解得或.所以不等式的解集為：或.【點睛】本題主要考查了指數型函數的定義域，奇偶性及解指數不等式，屬于基礎題.19．（2022·全國·高一課時練習）已知滿足，求函數的最大值及最小值．【答案】，【分析】先求的范圍，再通過換元法求最值.【詳解】由可得：可得：，令，，則，，當即時，；當即時，．20．（2022·全國·高一課時練習）已知函數在區間上的最大值與最小值之和為7．(1)求a的值；(2)證明：函數是上的增函數．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據單調性代入計算即可；（2）根據定義法證明函數為增函數即可.（1）因為在區間上單調遞增，所以函數在區間上的最大值與最小值之和為，所以，解得，又因為，所以．（2）由（1）知，，任取，且，則．因為，所以，，所以，即，所以是上的增函數．21．（2022·湖南·高一課時練習）在同一直角坐標系內作出函數與的圖象.【答案】作圖見解析【分析】直接在平面直角坐標系中作出兩個指數函數的圖象即可.【詳解】解：作出函數與的圖象如下圖所示：22．（2022·全國·高一課時練習）已知函數（1）在給出的坐標系中畫出函數的圖象．（2）根據圖象寫出函數的單調區間和值域．【答案】（1）圖見解析；（2）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，值域為.【解析】（1）利用指數函數和一次函數的圖象特征即可畫出所求分段函數的圖象；（2）根據圖象觀察可知即可得出結果.【詳解】（1）利用指數函數和一次函數的圖象特征即可畫出分段函數的圖象為：（2）由函數的圖像可知，函數的單調遞增區間為

單調遞減區間為，函數的值域為23．（2022·廣東·東莞市石龍中學高一期中）已知定義域為R的函數是奇函數.(1)求實數a的值；(2)判斷函數的單調性，并用定義加以證明；(3)若對任意的，不等式成立，求實數m的取值范圍.【答案】(1)1(2)函數在定義域內單調遞增，證明見解析(3)【分析】（1）由是奇函數可得，求出a的值，再驗證此時是奇函數；（2）先分離常數，再判斷其單調性，利用定義證明函數在R上單調遞增；（3）利用的奇偶性和單調性將不等式變成，再利用二次函數恒成立求出實數m的取值范圍.（1）因為函數的定義域為R，所以，∴.經檢驗當時，有，所以.（2），函數在定義域內單調遞增，證明如下：設，所以，因為，所以，所以函數在R上單調遞增.（3）∵是奇函數，由已知可得，則，∴，故，.∴實數m的取值范圍為.24．（2022·江蘇省阜寧中學高一階段練習）已知函數且在上最大值和最小值的和為12，令．(1)求實數的值.(2)并探究是否為定值，若是定值，寫出證明過程；若不是定值，請說明理由；(3)解不等式：．【答案】(1)(2)是定值，證明見解析(3)【分析】（1）由單調性得最大值與最小值的和，從而求得值；（2）由（1）所得參數值，直接計算可得；（3）根據（2）的結果化簡不等式求得，再解之可得．（1）因為函數且在上為單調函數，所以，解得或．因為且，所以；（2）由（1）得，，所以；（3）由（2）得，，且，所以，所以，所以，整理得，，解得，所以原不等式的解集為．【能力提升】一、單選題1．（2022·江蘇省阜寧中學高一階段練習）已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構造函數，可證得是奇函數，且在上單調遞增.可化為，進而可解得結果.【詳解】令，（），則，所以是奇函數；又都是上增函數，所以在上單調遞增.所以可化為，進而有，所以，解得或.故選：B.2．（2022·全國·高一課時練習）若存在正數x，使得關于x的不等式成立，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】問題轉化為在上能成立，根據右側的單調性求值域，進而求參數范圍.【詳解】由題意知成立，即成立．令，顯然在上單調遞增，所以，，所以實數a的取值范圍是．故選：C二、多選題3．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函數（，），則下列說法正確的是（

）A．函數圖象關于軸對稱B．函數的圖像關于中心對稱C．當時，函數在上單調遞增D．當時，函數有最大值，且最大值為【答案】AD【分析】根據函數奇偶性可判斷A,B,由復合函數的單調性可判斷C,D.【詳解】的定義域為，當時，則，故是偶函數，因此圖象關于軸對稱，故A正確，B錯誤，當時，，令，則，當時，單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，由復合函數的單調性可知:在上單調遞減，在上單調遞增，故C錯誤，當時，當時，由于單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增，故在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，取最大值，且最大值為，當時，由于是偶函數，故最大值為，故D正確，故選：AD4．（2022·全國·高一課時練習）（多選）定義在上的函數，則下列結論中正確的是（）A．的單調遞減區間是 B．的單調遞增區間是C．的最大值是 D．的最小值是【答案】ACD【分析】首先換元，設，，，再結合復合函數的單調性，判斷AB；根據函數的單調性，再判斷函數的最值，判斷CD.【詳解】設，，則是增函數，且，又函數在上單調遞增，在上單調遞減，因此在上單調遞增，在上單調遞減，故A正確，B錯誤；，故C正確；，，因此的最小值是，故D正確．故選:ACD．三、填空題5．（2022·全國·高一專題練習）已知函數關于點對稱，若對任意的，恒成立，則實數的取值范圍為_______.【答案】【分析】由得使得不等式一邊是參數，另一邊是不含關于的式子，分離參數.【詳解】由為奇函數，可得其圖像關于對稱，所以的圖像關于對稱，由題目可知函數關于點對稱，可得，對任意的，恒成立恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，設，當時，取得最大值，所以的取值范圍是.故答案為：.【點睛】①分離參數法：遇到類似或等不等式恒成立問題，可把不等式化簡為或的形式，達到分離參數的目的，再求解的最值處理恒成立問題；②恒成立問題最終轉化為最值問題，而分離參數法，最好之處就是轉化后的函數不含參，避免了麻煩的分離討論.四、解答題6．（2022·浙江·杭州高級中學高一期末）已知實數大于0，定義域為的函數是偶函數.(1)求實數的值并判斷并證明函數在上的單調性；(2)對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)，在上單調遞增，證明見解析；(2).【分析】（1）利用偶函數的性質求，利用單調性的定義證明函數的單調性即可；（2）利用函數的奇偶性和單調性解不等式即可.（1）因為為偶函數，且，所以，解得，又，所以,；設，則，因為，所以，，所以，所以在上單調遞增.（2）因為為定義在上的偶函數，且在上單調遞增，，所以，平方得，又因為對任意不等式恒成立，所以，解得.7．（2022·全國·高一課時練習）已知函數是定義在上的奇函數．(1)求a的值；(2)求函數的值域；(3)當時，恒成立，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用函數是奇函數求解即可．（2）利用指數函數的值域以及不等式的性質求解即可．（3）利用函數恒成立，參變分離，利用換元法，結合函數的單調性求解最大值，推出結果即可．（1）因為是定義在上的奇函數，所以，解得，當時，，此時，所以時，是奇函數.所以；（2）由（1）可得，因為，可得，所以，所以，所以，所以函數的值域為；（3）由可得，即，可得對于恒成立，令，則，函數在區間單調遞增，所以，所以，所以實數m的取值范圍為．【點睛】求不等式恒成立問題常用分離參數法若不等式（是實參數）恒成立，將轉化為或恒成立，進而轉化為或，求的最值即可.8．（2022·全國·高一課時練習）已知函數（其中，為常數，且，）的圖象經過點，．(1)求的值；(2)當時，函數的圖象恒在函數圖象的上方，求實數t的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）將點代入函數，即可求出的值，則可求出答案；（2）當時，函數的圖象恒在函數圖象的上方可等價于當時，不等式恒成立，利用參變分離可得當時，，易知函數在上單調遞減，由此即可求出答案.（1）∵函數（其中，為常數，且，）的圖象經過點，，∴∴，∴（舍）或，，∴；（2）由（1）得當時，函數的圖象恒在函數圖象的上方，即當時，不等式恒成立，亦即當時，．設，∵在上單調遞減，在上單調遞減，∴在上單調遞減，∴，∴．9．（2022·全國·高一單元測試）已知指數函數（且）的圖像過點．(1)設函數，求的定義域；(2)已知二次函數的圖像經過點，，求函數的單調遞增區間．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據條件求出解析式，再列出不等式即可求得定義域.（2）由待定系數法求得解析式，再根據復合函數的單調性即可得到結果.（1）由題意知，解得，所以，，令，解得．所以的定義域為．（2）設，則，，由，得，解得，則，又，所以，所以在上單調遞減，又在上是減函數，所以函數的單調遞增區間為．10．（2022·全國·高一課時練習）已知函數（且）在上的最大值與最小值之和為20，記．(1)求a的值；(2)求證：為定值；(3)求的值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）函數在上單調，得到，排除，得到答案.（2），代入數據計算得到，得到證明.（3）根據，兩兩組合計算得到答案.（1）解：因為函數（且）在上的最大值與最小值之和為，且函數（且）在上單調，所以當和時，函數（且）在上取得最值，即，解得或（舍去），所以．（2）解：由（1）知，，所以，故．（3）解：由（2）知，，因為，，，，所以．11．（2022·全國·高一課時練習）已知函數（，且），求函數在上的值域．【答案】答案見解析．【分析】應用換元法，令則，討論、，注意定義域的范圍，結合二次函數性質判斷單調性，根據單調性求值域即可.【詳解】令，則可化為．當，時，，又在上單調遞增，∴，即；當，時，，又在上單調遞增，∴，即．綜上，當時，函數在上的值域是；當時，函數在上的值域是．12．（2022·全國·高一課時練習）對于函數（且）．(1)判斷函數的奇偶性；(2)當時，求函數在上的最大值和最小值．【答案】(1)奇函數(2)最大值為，最小值為．【分析】（1）利用奇函數的定義判斷可得答案；．（2）利用單調性的定義判斷可得函數為