第4講二次求導的目的及處理一、問題綜述在歷年高考試題中，導數部分是高考重點考查的內容，在六道解答題中必有一題是導數題．這類題主要考察函數的單調性、求函數的極值與最值以及利用導數的有關知識解決恒成立、不等式證明等問題．解決這類題的常規解題步驟為：①求函數的定義域；②求函數的導數；③求的零點；④列出的變化關系表；⑤根據列表解答問題．而在有些函數問題中，如含有指數式、對數式的函數問題，求導之后往往不易或不能直接判斷出導函數的符號，從而不能進一步判斷函數的單調性及極值、最值情況，此時解題受阻．若遇這類問題，則可試用求函數的二階導數加以解決．本文試以以下題目為例，說明函數的二階導數在解高考函數題中的應用．二、典例分析【例1】已知函數，證明：當時，．解析：，(無法求根也無法判斷正負)，令，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，，所以在上單調遞增，即．例題2當時，證明：．證明：令,則，而，當時，，∴在上遞減，即，從而在(0,1)遞減，∴f(x)<f(0)=0，從而原不等式得證.Ex:證明:當時,.略解:注意x=1時,原不等式”=”成立,而作F(x)=,則F(1)=0且，從而F(1)=0推出與同號，得證．例題3已知函數，，證明：．證：函數的定義域為．＝－1＝－當x∈（－1，0）時，＞0，當x∈（0，＋∞）時，＜0，因此，當時，≤，即≤0∴．令則＝．∴當x∈（－1，0）時，＜0，當x∈（0，＋∞）時，＞0．∴當時，≥，即≥0，∴．綜上可知，當時，有．例題4已知函數，若對任意，恒成立，求正整數的值．解析：問題可轉化為當時，恒成立，設，令，所以在定義域內單調遞增，（沒有用）………………..注意二階導失靈了，所以存在使得，當，單調遞減，當，單調遞增，=1\*GB3①又因為=2\*GB3②由由=1\*GB3①=2\*GB3②得，所以．例題5設函數，，證明．解析：，令，，，所以在上單調遞增，（此時二階導失效），因為且在單調，因此在定義域內有且只有一個零點設為，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②聯立可得，所以，即.例題6.（全國卷Ⅰ第20題）已知函數.若，求的取值范圍；證明：.原解答如下:解（1）函數的定義域為（0，+∞），，，.令從而當時，，故所求的范圍是[-1,+∞﹚.證明(2)由(1)知,,則①時，；②.綜上可知，不等式成立.對于（2）的證明，雖然過程簡單，但思維難度大，對學生的觀察能力和代數式的變形能力要求較高．我們可以運用二階導數的方法加以證明：證法二:令.因，顯然當時，，當時，，在（0,1﹚遞減；當時，，的符號仍不能判定，求二階導數得，從而在時遞增，，在[1,+∞﹚遞增，所以當時，，故成立，原不等式成立.例題7（2010年高考數學全國卷Ⅱ（22）小題）設函數．（Ⅰ）證明：當時，；（Ⅱ）設當時，，求的取值范圍．（原解答略）在原解答第（Ⅱ）問的解答中，用到了放縮代換，對考生的數學素質和解題能力要求很高，極少有考生能達到那樣的要求.若用求二階導數求解，則別有一番天地.（Ⅱ）解法二：由題設，若，則當；若.令，，,∵,∴，∴即原不等式成立.當從而當此時，∴.綜上可知，.例題8【理·2010安徽卷第17題】設為實數，函數．（Ⅰ）求的單調區間與極值；（Ⅱ）求證：當＞且＞時，＞．解析：第一問很常規，我們直接看第二問．首先要構造一個新函數，如果這一著就想不到，那沒轍了．然后求導，結果見下表．，繼續對求導得減極小值增由上表可知，而，由＞知＞，所以＞，即在區間上為增函數．于是有＞，而，故＞，即當＞且＞時，＞．例題9已知，當時，恒成立，求實數的取值范圍．解析：，則在上恒成立令，則令，則當時，恒成立，即所以，在上單調遞增，所以

針對訓練：1、（2010年新課標全國卷第（21）題）：設函數．（1）若，求的單調區間；（2）若當時，求的取值范圍2、（2008年湖南高考題改編）：已知函數，求函數的單調區間．