第第頁2022-2023學年內蒙古阿拉善盟征重點中學高二（下）期中數學試卷（理科）（含解析）2022-2023學年內蒙古阿拉善盟征重點中學高二（下）期中數學試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合，，則()

A.B.

C.D.

2.已知命題：，，則命題的否定為()

A.，B.，

C.，D.，

3.已知復數為虛數單位，則的共軛復數在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.雙曲線的漸近線方程是()

A.B.C.D.

5.下列求導運算中，正確的是()

A.B.

C.D.

6.極坐標的直角坐標為()

A.B.C.D.

7.()

A.B.C.D.

8.在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為()

A.B.C.D.

9.函數的圖象如圖，是的導函數，則下列數值排列正確的是()

A.B.

C.D.

10.函數的圖象大致是()

A.B.

C.D.

11.已知函數，，則下列結論正確的是()

A.一定有極大值

B.當時，有極小值

C.當時，可能無零點

D.若在區間上單調遞增，則

12.已知函數若過點可以作曲線三條切線，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.函數在點處的切線方程為______．

14.已知復數為純虛數，則______．

15.______．

16.設點在直線上，點在函數的圖象上，則的最小值為______．

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知函數．

求函數的單調區間；

求函數在上的最大值和最小值．

18.本小題分

已知橢圓中，，離心率．

求橢圓的方程；

設直線與橢圓交于、兩點，求．

19.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為中點．

求證：平面；

若，求直線與平面所成角的正弦值．

20.本小題分

已知函數在處取得極值．

求，的值；

若方程有三個相異實根，求實數的取值范圍．

21.本小題分

如圖，在棱長為的正方體中，點，分別是棱，上的動點，且．

求證：；

當三棱錐的體積取得最大值時，求二面角的正弦值．

22.本小題分

已知．

求證：當時，；

若對于，恒成立．

求的最大值；

當取最大值時，若函數，求證：對于，，，恒有為自然對數的底．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：集合，，

則．

故選：．

利用交集定義直接求解．

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

2.【答案】

【解析】解：否定：否定兩次，否定結論．

故命題：，，則命題的否定，．

故選：．

否定：否定兩次，否定結論．

本題考查命題的否定，屬于基礎題．

3.【答案】

【解析】解：復數，

，

的共軛復數在復平面內對應的點為，位于第四象限．

故選：．

利用復數的四則運算先化簡，再求出復數的共軛復數，求解即可．

本題考查了復數的四則運算，復數的共軛復數的求法，復數的幾何意義，是基礎題．

4.【答案】

【解析】解：由雙曲線可得：，，

解得．

雙曲線的漸近線方程為．

故選：．

利用雙曲線即可得到漸近線方程為．

本題考查了雙曲線的漸近線方程，屬于基礎題．

5.【答案】

【解析】解：因為，所以選項錯誤；

因為，所以選項錯誤；

因為，所以選項錯誤．

故選：．

利用基本初等函數的導數公式、導數的四則運算公式求解．

本題考查常見函數的導數，屬于基礎題．

6.【答案】

【解析】解：設點的直角坐標為，極坐標為，

則有，

，并且點在第三象限，解得．

故選：．

根據直角坐標與極坐標轉化的規則計算．

本題主要考查直角坐標與極坐標轉化的規則，屬于基礎題．

7.【答案】

【解析】解：．

故選：．

利用定積分的運算性質，化簡即可求解．

本題考查了定積分的運算性質，屬于基礎題．

8.【答案】

【解析】解：如圖，以點為原點，邊，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則：

，，

，

，，

．

故選：．

可以點為原點，邊，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，然后可求出點，，和點的坐標，進而得出向量和的坐標，根據向量夾角的余弦公式即可求出的值，進而得出答案．

本題考查了通過建立空間直角坐標系，利用向量求異面直線所成角的余弦值的方法，向量坐標的數量積運算，考查了計算能力，屬于基礎題．

9.【答案】

【解析】解：由圖象可知，函數隨著增加函數值增加的越來越慢，而可看作過點與點的割線的斜率，由導數的幾何意義可知．

故選：．

由圖象可知，函數隨著增加函數值增加的越來越慢，即導函數是減函數，據此即可得出答案．

本題考查導數的幾何意義，正確理解導數的幾何意義是解決問題的關鍵．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查利用導數研究函數的單調性，以及函數的圖象等基礎知識，考查了排除法，屬于基礎題．

本題可采用排除法進行逐一排除，根據可知圖象經過原點，以及根據導函數大于時原函數單調遞增，求出單調增區間，從而可以進行判定．

【解答】

解：由，排除；

因為，解，得，

所以在和上單調遞增，排除，．

故選A．

11.【答案】

【解析】解：，，

當時，，函數在上單調遞增，沒有極值，A錯誤；

當時，令可得，此時函數單調遞增，令可得，此時函數單調遞減，

故函數有唯一極大值，沒有極小值，B錯誤；

當時，，函數在上單調遞增，

又，時，，由零點判定定理可知，函數一定存在零點，C錯誤；

若在區間上單調遞增，則在上恒成立，

故在上恒成立，

因為，

所以，即，D正確．

故選：．

先對函數求導，然后結合導數與單調性及極值關系分別檢驗各選項即可判斷．

本題主要考查了導數與單調性及極值關系的應用，體現了分類討論及轉化思想的應用，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：設切點為，由可得，

所以在點處的切線的斜率為，

所以在點處的切線為：，

因為切線過點，所以，

即，

若過點可以作曲線三條切線，

則這個方程有三個不等根，

設，直線與圖象有三個交點，

則

由可得，由可得：或，

所以在和上單調遞減，在上單調遞增，

當趨近于正無窮，趨近于，當趨近于負無窮，趨近于正無窮，的圖象如下圖，且，

要使與的圖象有三個交點，則．

則的取值范圍是：．

故選：．

切點為，利用導數的幾何意義求切線的斜率，設切線為：，可得，設，求，利用導數求的單調性和極值，切線的條數即為直線與圖象交點的個數，結合圖象即可得出答案．

本題主要考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查數形結合思想與運算求解能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：由，得，則，

曲線在點處的切線方程為，

即；

故答案為：．

求出原函數的導函數，得到函數在時的導數，然后利用直線方程的點斜式得答案．

本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，是中檔題．

14.【答案】

【解析】解：因為復數為純虛數，

所以且，解得．

故答案為：．

根據純虛數的定義即可求解．

本題主要考查純虛數的定義，屬于基礎題．

15.【答案】

【解析】解：根據題意，，其幾何意義為圓在部分的面積，

即圓面積的，所以．

故答案為：．

根據題意，分析的幾何意義，由此計算即可．

本題考查定積分的計算，考查了轉化思想，屬于基礎題．

16.【答案】

【解析】解：設函數與直線平行的切線為，

則的斜率為，

由，得，

所以切點為，

則點到直線的距離就是的最小值，即．

故答案為：．

設函數與直線平行的切線為，利用導數的幾何意義得出切點，再由距離公式得出的最小值．

本題主要考查利用導數研究某點切線的方程，屬于基礎題．

17.【答案】解：的定義域為，且，

令，可得或；令，可得，

遞增區間為，，遞減區間；

根據列表如下：

單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

函數在上的最大值為，最小值為．

【解析】求定義域，求導，解不等式，得到單調區間；

求出極值和端點值，比較后確定最值．

本題考查利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的最值，屬中檔題．

18.【答案】解：由題知，，即，

又，

解得，

所以橢圓方程為．

設，，

聯立直線與橢圓方程得，

整理得，

則，，．

所民認．

【解析】根據條件得到，再結合，即可求解；

設，，聯立直線與橢圓方程消得到關于的方程，利用韋達定理和弦長公式，即可求解．

本題考查橢圓的標準方程及其性質，考查直線與橢圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：證明：連接交于點，則為中點，連接，

又為中點，

則在中，有，

又平面，平面，

所以，平面；

以為原點，，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，

因為，

則，，，，，

所以，

設平面的法向量為，

則，取，

設直線與平面所成角為，

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為．

【解析】連接交于點，則為中點，連接，在在中，由中位線定理可得，然后根據線面平行的判定定理即可證明；

根據條件建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和，利用向量的夾角公式計算即可．

本題考查了線面平行的證明以及直線與平面所成的角的計算，屬于中檔題．

20.【答案】解：，

依題意，，

解得，，

經檢驗，，符合題意，

，的值分別為，；

由可得，，

若方程有三個相異實根，

即的圖象與直線有三個不同的交點，

因為，

令，解得或，令，解得，

在，單調遞增，在單調遞減，

且，

，即實數的取值范圍為．

【解析】對函數求導，根據題意建立關于，的方程組，解出即可；

由求出函數的單調性及極值情況，由此可得答案．

本題主要考查了導數與單調性及極值關系的應用，體現了轉化思想的應用，屬于中檔題．

21.【答案】解：證明：以坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，，，，

設，則，，

，，

，

；

，

當取得最大值時，三棱錐的體積取得最大值，

，

當時，即，分別是棱，的中點時，三棱錐的體積取得最大值，

此時，坐標分別為，，

由可得，，

設平面的法向量為，

則，取，

又底面的一個法向量為，

，，

二面角的正弦值為．

【解析】設以為原點建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，通過計算，證明；

判斷當取得最大值時，三棱錐的體積取得最大值，求出平面的法向量，底面的法向量，再利用向量夾角公式及同角關系，即可求解．

本題考查向量法證明線線垂直，向量法求解二面角問題，化歸轉化思想，屬中檔題．

22.【答案】證明：當時，，

令，則，

所以當時，；當時，；

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，即．

解：由題意知：對于，恒成立，

令，則，

所以當時，；當時，；

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，所以，所以，即的最大值為；

證明：由得：，

要證對于，，，恒有，

只需證：當時，，

即證：

令，

則只需證：在上單調遞增；

因為，

令，則，

所以當時，；當時，；

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，