第第頁2022-2023學年上海市楊浦區(qū)重點中學高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）2022-2023學年上海市楊浦區(qū)重點中學高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知常數(shù)，直線：，：，則是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知常數(shù)，如果函數(shù)的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為()

A.B.C.D.

3.若直線與圓：相交，則點與圓的位置關系是()

A.在圓內(nèi)B.在圓上C.在圓外D.以上都有可能

4.在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，點在直線上運動，為坐標原點，為的重心，則、、中正數(shù)的個數(shù)為，則的值的集合為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）

5.半徑為，弧長為的扇形的圓心角為______弧度．

6.函數(shù)的最小正周期是______．

7.向量的單位向量為______．

8.若角的終邊過點，則的值為．

9.如果復數(shù)其中為虛數(shù)單位，則______．

10.已知直角坐標平面上兩點、，若滿足，則點的坐標為______．

11.在中，角，，所對的邊為，，，若，，，則角______．

12.直線：繞著點逆時針旋轉與直線重合，則的斜截式方程是______．

13.已知函數(shù)的最大值為______．

14.直角三角形中，，，，點是三角形外接圓上任意一點，則的最大值為______．

15.已知常數(shù)，若關于的方程有且僅有一個實數(shù)解，則的取值范圍是______．

16.已知常數(shù)，集合，，若，則的取值范圍是______．

三、解答題（本大題共5小題，共78.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知直線：．

若直線：，求直線與直線的夾角；

若直線與直線的距離等于，求直線的一般式方程．

18.本小題分

設常數(shù)，已知關于的方程．

若，求該方程的復數(shù)根；

若方程的兩個復數(shù)根為、，且，求的值．

19.本小題分

記

求關于的方程的解集；

求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

20.本小題分

如圖，設是半徑為的圓的內(nèi)接正六邊形，是圓上的動點．

求的最大值；

求證：為定值；

對于平面中的點，存在實數(shù)與，使得，若點是正六邊形內(nèi)的動點包含邊界，求的最小值．

21.本小題分

設是一個關于復數(shù)的表達式，若其中，，，，為虛數(shù)單位，就稱將點“對應”到點例如：將點“對應”到點．

若，點“對應”到點，點“對應”到點，求點、的坐標．

設常數(shù)，，若直線：，，是否存在一個有序實數(shù)對，使得直線上的任意一點“對應”到點后，點仍在直線上？若存在，試求出所有的有序實數(shù)對；若不存在，請說明理由．

設常數(shù)，，集合且和且，若滿足：對于集合中的任意一個元素，都有；對于集合中的任意一個元素，都存在集合中的元素使得請寫出滿足條件的一個有序實數(shù)對，并論證此時的滿足條件．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，則直線：，：，

這兩條直線的斜率都為，且不重合，則，

反之，若，則，，

當時直線：，：，

此時兩條直線的斜率都為，且不重合，則，

則是的充分不必要條件．

故選：．

兩條不重合的直線，若斜率相等，則平行，由此可判斷．

本題考查兩條直線的位置關系，屬于基礎題．

2.【答案】

【解析】解：函數(shù)的圖像關于點中心對稱，

，，

即，，

當，，

即的最小值為，

故選：．

根據(jù)函數(shù)的對稱性，求出的表達式，然后進行求解即可．

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，利用余弦函數(shù)的對稱性進行求解是解決本題的關鍵，是基礎題．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查直線和圓的位置關系，點與圓的位置關系，是基礎題．

先求圓心到直線的距離，通過關系判斷點與圓的位置關系．

【解答】

解：直線與圓：相交，

圓心到直線距離，得，

則點到圓心距離為．

點與圓的位置關系為：在圓外．

故選：．

4.【答案】

【解析】解：設，，

因為為的重心，所以，即，

令，則；

令，則；

令恒成立，

所以當或時，；當時，，

綜上，的值的集合為．

故選：．

利用重心坐標公式表示出點的坐標，再結合平面向量數(shù)量積的坐標運算法則，并解不等式，分類討論，即可．

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，重心坐標公式，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：因為扇形的半徑為，弧長為，

所以扇形的圓心角弧度．

故答案為：．

利用扇形的弧長公式即可求解．

本題考查了扇形的弧長公式的應用，屬于基礎題．

6.【答案】

【解析】解：函數(shù)的最小正周期是，

故答案為：．

由題意，利用正切函數(shù)的周期性，得出結論．

本題主要考查正切函數(shù)的周期性，屬于基礎題．

7.【答案】

【解析】解：，

，

．

故答案為：．

可求出，從而得出，代入坐標即可．

本題考查了單位向量的定義及求法，根據(jù)向量的坐標求向量的長度的方法，向量坐標的數(shù)乘運算，考查了計算能力，屬于基礎題．

8.【答案】

【解析】

【分析】

利用三角函數(shù)的誘導公式以及三角函數(shù)的定義進行轉化求解即可．

本題主要考查三角函數(shù)值的計算，結合三角函數(shù)的誘導公式以及三角函數(shù)的定義是解決本題的關鍵．

【解答】

解：，

角的終邊過點，

，

則，

故答案為：

9.【答案】

【解析】解：復數(shù)其中為虛數(shù)單位，

．

故答案為：．

利用共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的運算法則即可得出．

本題考查了共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的運算法則，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：設點，

、，

，，

，

，解得，

故答案為：

設點，求出，的坐標，再結合，求出，的值即可．

本題主要考查了平面向量的坐標運算，屬于基礎題．

11.【答案】

【解析】解：中，，，，

由余弦定理得，

有，

所以．

故答案為：．

利用余弦定理求出，再根據(jù)反余弦函數(shù)求出的值．

本題考查了余弦定理和反余弦函數(shù)的應用問題，是基礎題．

12.【答案】

【解析】解：直線：繞著點逆時針旋轉與直線重合，

設直線的斜率為，則，解得，

所以直線的點斜式方程為：，

化為斜截式方程是．

故答案為：．

根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形利用直線到直線的角正切公式求出直線的斜率，再寫出點斜式方程，化為斜截式方程．

本題考查了直線的方程與應用問題，是基礎題．

13.【答案】

【解析】解：，

，

所以函數(shù)的最大值為：．

故答案為：．

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，利用輔助角公式，即可求出答案．

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．

14.【答案】

【解析】解：如圖建立平面直角坐標系，，，，

三角形外接圓，

設，則，，

，

故答案為：．

建立坐標系，設，則，，

本題考查了圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題。

15.【答案】

【解析】解：由，可得，

由題意可得，

即直線與曲線只有一個交點，

又因為曲線表示以原點為圓心，為半徑且位于軸上及上方的半圓，

如圖所示：

當直線過時，，此時直線與半圓只有一個交點，

當直線過點時，，此時直線與半圓有兩個交點，

結合圖象，當直線與半圓相切時，，

綜上所述，的取值范圍是

故答案為：

將問題轉化為直線與曲線只有一個交點，作出圖象，結合圖象求解即可．

本題考查了轉化思想、數(shù)形結合思想及直線與圓的位置關系，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：設，則，

，由，有，

，整理得，

所以集合表示以為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部，

而集合表示以為圓心，為半徑的圓或其內(nèi)部，如圖所示，

若，則兩圓內(nèi)含或內(nèi)切，

，

，解得，

即的取值范圍是

故答案為：

從復數(shù)模的幾何意義進行分析，將的集合關系轉化為圓的內(nèi)切或內(nèi)含問題，利用半徑關系即可求解．

本題考查了復數(shù)的幾何意義，圓與圓的位置關系，屬中檔題．

17.【答案】解：因為直線：，斜率為，

直線：，，

計算，所以，

即直線與直線的夾角為；

若直線與直線的距離等于，則，

設直線的一般式方程為，則，

解得，

所以直線的一般式方程為．

【解析】求出直線的斜率，利用斜率判斷兩直線垂直，從而得出兩直線的夾角；

根據(jù)題意判斷兩直線平行，利用兩平行直線間的距離公式求解即可．

本題考查了直線方程的應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題．

18.【答案】解：若，

則，即，解得；

方程的兩個復數(shù)根為、，

則，，

，

，解得．

【解析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，即可求解；

根據(jù)已知條件，結合韋達定理，即可求解．

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題．

19.【答案】解：，

令，即，

即，

即，

解得或，，

故關于的方程的解集是或，．

，

，

令，即，

解得：，，

故的遞減區(qū)間是．

【解析】解方程，求出方程的解集即可；求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可．

本題考查了三角函數(shù)問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，方程的解，考查導數(shù)的應用，是中檔題．

20.【答案】解：因為，均在圓上運動，

則

，圓上兩點間直徑最長；

證明：因為、為圓直徑的兩端，為圓上的動點，

所以，

故

．

即為定值；

建立如圖所示的坐標系，則，，

則由

，即，

要使最小，只需使最大，即點的縱坐標最大，

由點在正六邊形上及其內(nèi)部運動，

則，，從而，

即的最小值為．

【解析】根據(jù)向量的線性運算及圓上兩點直徑最短可求得；

由、在直徑兩端點上，在圓上運動，可知所證式等于直徑的平方，為定值；

建立坐標系，將的幾何意義找出來，從而求得最小值．

本題考查平面向量的基本運算，坐標法解決平面向量相關問題，屬中檔題．

21.【答案】解：由知，則，故，

設，則，

由知，，則，，即；

直線上的任意一點“對應”到點，

所以，，且，

所以，，即，

由題意，點仍在直線上，

則，又，

則，

展開整理得，

則，解得，

所以，所求的有序實數(shù)對為；

滿足條件的一個有序實數(shù)對為，

即，，，證明如下：