第六章晶體中電子的輸運性質第六章晶體中6.1用緊束縛方法可以導出體心立方晶體s態電子的能帶為（1）試求能帶頂部和底部的電子有效質量；（2）試畫出沿方向，和的曲線。解：（1）由能帶的表示式及余弦函數的性質可知，當時，取最小值，即是能帶底，電子有效質量為6.1用緊束縛方法可以導出體心立方晶體s態電子的能帶為（1同理可得其他交叉項的倒數全為零。而在布里淵區邊界上的處是能帶頂，電子的有效質量為其他交叉項的倒數也全為零。同理可得其他交叉項的倒數全為零。而在布里淵區邊界上的處是能帶（2）在能帶底部時當時它們的曲線如圖所示。（2）在能帶底部時當時它們的曲線如圖所示。6.2已知一維晶體的電子能帶可寫成式中是晶格常數。試求（1）能帶的寬度；（2）電子在波矢的狀態時的速度；（3）能帶底部和頂部電子的有效質量。解：（1）能帶寬度為由極值條件6.2已知一維晶體的電子能帶可寫成式中是晶格常數得上式的唯一解是的解，此式在第一布里淵區內的解為當時，取極小值，且有當時，取極大值，且有得上式的唯一解是的解，此由以上可得能帶寬度為（2）由（3）由式，可得電子的速度可求得帶頂和帶底電子的有效質量分別為式，由以上可得能帶寬度為（2）由（3）由式，可得電子的速度可求得固體物理答案第六章ppt課件6.3設晶格勢場對電子的作用力為，電子受到的外場力為，證明：因為證明：為電子的動量，另一方面，加速度

(1)(2)而速度代入(2)式，并應用關系式所以有6.3設晶格勢場對電子的作用力為，電子受到的外場力為可得(3)式中為電子的有效質量。聯合(1)(3)兩式，即得可得(3)式中為電子的有效質量。聯合(1)(3)兩式，即得6.4證明：對于能帶中的電子，狀態和狀態的速度大小相等，方向相反，即并解釋為什么無外場時，晶體總電流等于零。態的電子速度為證明：(1)于是(2)6.4證明：對于能帶中的電子，狀態和狀態的速度大小相即因為能量是波矢的偶函數，，代入(2)式，有因此即因為能量是波矢的偶函數，，代入(2)式，有因此對比(1)式，即得電子占有某個狀態的幾率只同該狀態的能量有關。因為，電子占有狀態和狀態的幾率相同。而由知道，這兩個狀態的電子電流互相抵消，因此，無外場時，晶體中總電流為零。對比(1)式，即得電子占有某個狀態的幾率只同該狀態的能量有關6.5應用緊束縛方法于一維單原子鏈，如只計及最近鄰原子間的相互作用，(1)證明其s態電子的能帶為式中，為能帶底部的能量；J為交迭積分.

(2)求能帶的寬度及能帶底部和頂部附近的電子的有效質量。證明：結果可寫成(1)（1）在一維情況下，用緊束縛近似討論晶體電子的能量，6.5應用緊束縛方法于一維單原子鏈，如只計及最近鄰原子間式中和分別代表參考原子及其最近鄰的位矢。在一維原子鏈中，只有兩個最近鄰。選取參考原子為坐標原點，，則兩個最近鄰的位矢可分別記為，此處a為原子間距。由于交迭積分對兩個最近鄰是相等的，記為，便得(2)式中代表能帶底的數值。（2）從上式可知，當時，能量取最大值式中和分別代表參考原子及其最近鄰的位矢。在一維原子鏈這就是能帶頂的數值，故能帶寬度在能帶底附近，k值很小，，(2)式可寫成此處為能帶底部電子的有效質量。這就是能帶頂的數值，故能帶寬度在能帶底附近，k值很小，，(顯然，，即能帶底部電子的有效質量為正值。在能帶頂附近，，代入(2)式，并應用泰勒級數公式展開，得式中為能帶頂部電子的有效質量，因為，故，即能帶頂部電子的有效質量為負值。顯然，，即能帶底部電子的有效質量為正值。在能帶頂附近，6.6設二維正三角形晶格中原子間距為a，只計最近臨電子間的相互作用試根據緊束縛近似的結果，求出能量的表達式，并計算相應的電子速度和有效質量各個分量。若只計及最近鄰的相互作用，用緊束縛近似法處理晶體中解：s態電子的能量，其結果是式中和分別是參考原子及其各個最近鄰的位矢。在二維正三角形晶格中，有6個最近鄰(如圖)。如選取參考原子為坐標6.6設二維正三角形晶格中原子間距為a，只計最近臨電子間原點，即，6個最近鄰的坐標分別為對于s態電子，各個最近鄰的交迭積分皆相等，xoya，則得令原點，即，6個最近鄰的坐標分別為對于s態電子，各個最近至于速度，可按如下方法求得至于速度，可按如下方法求得所以其次，由公式可求得有效質量各分量為所以其次，由公式可求得有效質量各分量為6.7試根據5.10題的結果，求面心立方晶格中能帶底附近電子的有效質量。解：能帶底即的最小值對應的為，可得在能帶底處電子的有效質量為同理可得其他交叉項的倒數全為零。6.7試根據5.10題的結果，求面心立方晶格中能帶底附近電6.8已知某簡立方晶體的晶格常數為，其價電子的能帶（1）已測得能帶頂電子的有效質量，試求參數A；（2）求出能帶寬度；（3）求出布里淵區中心點附近電子的狀態密度。解：一、假定A大于0（1）對于能帶為簡單立方晶體中的電子，其能帶頂在布里淵區中心。6.8已知某簡立方晶體的晶格常數為，其價電子的能在布里淵區中心，電子的有效質量為由此可知A=2。（2）電子能帶的能帶底在處。在布里淵區中心，電子的有效質量為由此可知A=2。（2）電子能由帶頂和帶底的能量得知能帶寬度為4。（3）在布里淵區中心附近，令，則上式化為由帶頂和帶底的能量得知能帶寬度為4。（3）在布里淵區中心附近可見在布里淵區中心附近，等能面是球面。因此，能量和能量兩等能面間的波矢空間體積為相應的量子態數目能態密度可見在布里淵區中心附近，等能面是球面。因此，能量二、假定A小于0（1）對于能帶為簡單立方晶體中的電子，其能帶頂在第一布里淵區8個角頂處在這些點，電子的有效質量為二、假定A小于0（1）對于能帶為簡單立方晶體中的電子，其能由此可知A=-2。（2）電子在能帶頂的能量。在布里淵區中心能帶底的能量。可見能帶寬度為4。（3）在布里淵區中心附近，由此可知A=-2。（2）電子在能帶頂的能量。在布里淵區中心能令，則上式化為可見在布里淵區中心附近，等能面是球面。因此，能量和能量兩等能面間的波矢空間體積為令，則上式化為可見在布里淵區中心附近，等能面是球面。因此，能相應的量子態數目能態密度相應的量子態數目能態密度6.9設電子的等能面外加磁場相對于能量橢球主軸的方向余弦分別為。（1）寫出電子的運動方程；（2）證明電子繞磁場回轉的頻率可寫成其中因為電子的運動速度解：加速度(1)（1）6.9設電子的等能面外加磁場相對于能量橢球主軸的方向余由于單位時間內電子能量的增加，等于力在單位時間內所作的功，設外力為恒力，代入(1)式得把上式寫成分量形式：則有由于單位時間內電子能量的增加，等于力在單位時間內所作的功，(2)同理，(3)式中按題給:(2)同理，(3)式中按題給:容易求得同理，而同理，容易求得同理，而同理，因此，(2)(3)式所給出的運動方程便化為(4)當存在磁場時，（2）電子受到洛倫茲力的作用。若相對于橢球主軸的方向余弦為，(4)式的運動方程可寫成(5)因此，(2)(3)式所給出的運動方程便化為(4)當存在磁場式中，，且由于電子將作周期性的運動，設試探解為代入(5)式中得由不全為零的解的條件是式中，，且由于電子將作周期性的運動，設試探解為代入(5)解此行列式得所以此處解此行列式得所以此處6.10設電子的等能面式中和分別是橫向和縱向的有效質量。證明：（1）當磁場在平面上時，回旋共振頻率（2）當磁場在平面并與軸成角時，回旋共振頻率因為證明：（1）6.10設電子的等能面式中和分別是橫向和縱向的有效質由公式得當存在磁場時，電子受到洛倫茲力則式中代表電子的準動量。由公式得當存在磁場時，電子受到洛倫茲力則式中代表電子若以表示相對于橢球主軸的方向余弦，寫成如下分量式：稍加整理即為則可把上式若以表示相對于橢球主軸的方向余弦，寫成如下分量式：稍加整由于電子應作周期性運動，故取試探解為代入前面方程得由于電子應作周期性運動，故取試探解為代入前面方程得有非零解的條件是有非零解的條件是解之便得電子的回旋頻率當磁場在平面上時，從上式得當磁場在(2)平面上并與軸成角時，于是，，解之便得電子的回旋頻率當磁場在平面上時，從上式得當6.11體心立方晶格，原子總數為N。假設電子等能面為球面，試求：當費密面正好與第一布里淵區的界面相切時，第一布里淵區實際填充的電子數。解：因此，在第一布里淵區內實際填充的電子數應等于同布里淵區的邊界面相切的費米球內所容納的電子數。設體心立方的晶格常數為a，則其倒格子是基矢為2/a的面心立量相當于等能面和布里淵區的邊界面相切處的能量。在電子等能面是球面的情況下，第一布里淵區內的最高能相切的費米球的半徑R將等于布里淵區中心到最近鄰面心的距離方格子，第一布里淵區是一個十二面體，同布里淵區的邊界面6.11體心立方晶格，原子總數為N。假設電子等能面為球之半，即等于面心立方格子的面對角線的1/4，因而另一方面，在體心立方晶格中，每個晶胞包含兩個原子，每個原子平均占有體積，包含N個原子的晶體的總體積因為空間中狀態密度為2V，那么，費米球內容納的電子數之半，即等于面心立方格子的面對角線的1/4，因而另一方面，6.12假設平衡時電子服從波耳茲曼統計分布，試應用波耳茲曼方程，推導金屬的電導率。解：由波耳茲曼方程可知電子的分布函數可寫成設想均勻的金屬晶體處于恒定的溫度下，在外電場的作用下形成穩定的電流密度。由于式中和偏差不大，可近似用代替。所以6.12假設平衡時電子服從波耳茲曼統計分布，試應用波耳茲曼根據泰勒定理，上式可以看成式泰勒展開的結果。由于只是能量的函數，而是波矢的函數，故根據泰勒定理，上式可以看成式泰勒展開的結果。由于只是設金屬的體積為單位體積。電流密度可用垂直于電流方向單位時間單位面積所通過的電子數來算出，即所以上式積分由于是波矢的偶函數，是的奇函數，中的第一部分為零，所以體積元所以電流密度化成設金屬的體積為單位體積。電流密度可用垂直于電流方向單位時間單附近，這樣上述積分簡化為在費米面上的面積分因為所以積分的貢獻主要來自如果外電場沿x軸方向，則上式變為附近，這樣上述積分簡化為在費米面上的面積分因為所將上式與立方晶系金屬中電流與電場的關系式比較可得到立方結構金屬的電導率將上式與立方晶系金屬中電流與電場的關系式比較可得到立方結構金6.13應用上題結果，求各向同性晶體的電導率的表示式。解：如果金屬電子的等能面是球面，即各向同性，則又知可得各向同性立方晶系金屬的電導率則為6.13應用上題結果，求各向同性晶體的電導率的表示式。解：(1)證明其s態電子的能帶為:6.14應用緊束縛近似法于一維單原子鏈,如只計及最近鄰原子間的相互作用,(2)求能帶寬度及能帶頂部和能帶底部附近電子的有效質量.(P2725)解:一維:只有兩個最近鄰:(1)證明其s態電子的能帶為:6.14應用緊束縛近似法于(2)(2)6.15設二維正三角形晶格中原子間距為a,只計及最近鄰原子間相互作用,試根據緊束縛近似的結果,求出能量的表達式,并計算相應的電子速度和有效質量各個分量解:有6個最近鄰原子,其坐標為:6.15設二維正三角形晶格中原子間距為a,只計及最近鄰原子間固體物理答案第六章ppt課件6.16證明二維正方格子第一布里淵區角隅處的一個自由電子的動能比該區側面中心點處的電子動能大1倍.對于三維簡單立方晶格,其相應的倍數是多少?CA二維正方格子邊長為a,則其倒格子邊長為6.16證明二維正方格子第一布里淵區角隅處的一個自由電子6.17半導體材料的價帶基本上填滿了電子(近滿帶)，價帶中電子能量表示式E(k)=-1.01610-34k2(J)，其中能量頂點取在價帶頂