線性代數(shù)線性代數(shù)1第二章

矩陣及其運算第二章

矩陣及其運算2線性代數(shù)ppt課件第二章矩陣及其運算第2節(jié)3１、定義一、矩陣的加法設(shè)有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為１、定義一、矩陣的加法設(shè)有兩個矩陣4說明

只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.例如說明只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進例如52、矩陣加法的運算規(guī)律2、矩陣加法的運算規(guī)律61、定義二、數(shù)與矩陣相乘1、定義二、數(shù)與矩陣相乘72、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.（設(shè)為矩陣，為數(shù)）2、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的8１、定義并把此乘積記作三、矩陣與矩陣相乘設(shè)是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中１、定義并把此乘積記作三、矩陣與矩陣相乘設(shè)9例１設(shè)例2例１設(shè)例210故解故解11注意

只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例如不存在.注意只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣例如不存在.12２、矩陣乘法的運算規(guī)律（其中為數(shù)）;

若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且２、矩陣乘法的運算規(guī)律（其中為數(shù)）;13注意

矩陣不滿足交換律，即：例

設(shè)則注意矩陣不滿足交換律，即：例設(shè)則14但也有例外，比如設(shè)則有但也有例外，比如設(shè)則有15例3

計算下列乘積：解例3計算下列乘積：解16解=(）解=(）17解例4解例418由此歸納出由此歸納出19用數(shù)學(xué)歸納法證明當時，顯然成立.假設(shè)時成立，則時，用數(shù)學(xué)歸納法證明當時，顯然成立.假設(shè)20所以對于任意的都有所以對于任意的都有21定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例１、轉(zhuǎn)置矩陣四、矩陣的其它運算定義把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的例１、轉(zhuǎn)22轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)23例5已知解法1例5已知解法124解法2解法2252、方陣的行列式定義

由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運算性質(zhì)2、方陣的行列式定義由階方陣的元素263、對稱陣與伴隨矩陣定義設(shè)為階方陣，如果滿足，即那末稱為對稱陣.對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.說明3、對稱陣與伴隨矩陣定義設(shè)為階方陣，如果27例6設(shè)列矩陣滿足證明例6設(shè)列矩陣滿足28例7

證明任一階矩陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和.證明

所以C為對稱矩陣.

所以B為反對稱矩陣.命題得證.例7證明任一階矩陣都可表示成對29定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)證明則稱為矩陣的伴隨矩陣.定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所性304、共軛矩陣定義當為復(fù)矩陣時，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為的共軛矩陣.

故同理可得4、共軛矩陣定義當為復(fù)矩陣時，31運算性質(zhì)（設(shè)為復(fù)矩陣，為復(fù)數(shù),且運算都是可行的）:運算性質(zhì)（設(shè)為復(fù)矩陣，為復(fù)數(shù),且運算都是32五、小結(jié)矩陣運算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣五、小結(jié)矩陣運算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對稱陣33思考題成立的充要條件是什么?