第十一章風險管理決策的數理基礎——損失預測

第十一章風險管理決策的數理基礎——損失預測

1第一節損失預測概述

風險管理人員如何作出決策有賴于他們對將來損失的預測。這里運用數學常識來解釋損失預測的一種方法，這些方法要求風險管理部門完成以下幾項工作：

1．收集過去的損失資料，這些資料可用來預測將來的損失。

2．運用簡明的方法來編制預測損失的圖表。最常用的方法是概率分析和趨勢分析。第一節損失預測概述23．在預測時，決定在什么情況下運用概率分析比較合適，在什么情況下運用趨勢分析比較合適。

4．了解預測的局限性，并努力使局限性減少到最小。如果一家企業的財產損失、凈收益損失、責任損失和人員損失與它的銷售或產品成本一樣可以測算出來，那么風險管理與一般的管理便沒有什么兩樣。然而，成本最小化的風險管理決策的目標同其他營業決策是一樣的；先算出每種決策方案的收益和成本，然后選擇收益最大和成本最小的決策方案。3．在預測時，決定在什么情況下運用概率分析比較合適，在3第二節收集數據

預測意外損失要求風險管理人員掌握過去損失的模式，這些模式可能是固定不變的，但更多的情況是將來的情況中有一個因素是變化的。如果有足夠的過去損失資料，風險管理人員就可以通過仔細分析資料來決定使用某種模式。一、數據是完整的二、數據是一致的三、數據是有關主題的四、數據是有組織的第二節收集數據預測意外損失要求風險管理人員4第三節概率分析

如果該公司有相當多的過去損失的資料，而且相當穩定的經營會使過去損失的模式延續到將來，那么概率分析在預測這個公司將來的意外損失時就非常有效。

一、概率的特性從理論上可以推算出的概率叫做先驗概率，從經驗中估算出來的概率叫做經驗概率。二、建立概率分布一個正確的概率分布經常包括這些互不相容，但又完備的結果。以前面的火車出軌損失為例，建立概率分布，如表11-1所示。第三節概率分析

如果該公司5表11-1火車損失概率分布損失類別（元）損失次數占損失總次數的比重（%）損失金額（千元）占損失總金額的比重（%）0＜損失≤100015.260.20.121000＜損失≤5000631.5817.810.515000＜損失≤10000736.8451.530.4210000＜損失≤20000315.7942.925.3420000＜損失≤3000015.2621.412.6430000＜損失15.2635.520.9719100.00169.3100.00表11-1火車損失概率分布損失類別（元）損失6三、概率分布的性質

概率分布也可以用以下三個性質加以描述。

（一）偏差

偏差是指一個概率分布是均衡的還是有偏差的。三、概率分布的性質

概率分布也可以用以下三7圖11-1偏差圖11-1偏差圖11-1偏差圖11-1偏差8

（二）中心趨勢一個概率分布的中心趨勢是指這個分布中最有代表性的那個結果。一般有三種方法來確認哪一個是最有代表性的結果。

1．算術平均數x。用公式表示為結果為出現的概率。2．中位數和累積概率。中位數是在一系列數據或概率分布的數據中中間數的值，使低于這個值的觀察次數與高于這個值的觀察次數相等。概率分布的中位數可通過計算累積概率來得到，累積概率達到50%的那個值是中位數。（二）中心趨勢2．中位數和累積概9表11-2出軌損失不超過某一金額的累積概率損失類別（元）占總損失次數的百分比（%）累積的不超過某類的百分比（%）占總損失金額的百分比（%）累積的不超過某類損失的百分比（%）0＜損失≤10005.265.260.120.121000＜損失≤500031.5836.8410.5110.635000＜損失≤1000036.8473.6830.4241.0510000＜損失≤2000015.7989.4725.3466.3920000＜損失≤300005.2694.7312.6479.0330000＜損失5.26100.0020.97100.00100.00100.00表11-2出軌損失不超過某一金額的累積概率10

在表11-2中第3欄的累積概率表明這個分布的中位數位于5000元至10000元之間，因為到這一類，損失次數達到了50%的累積概率。如果風險管理人員決定投保，并規定每次出軌損失的免賠額為5000元，那么鐵路部門每三次損失中就有一次要自己承擔全部的損失，因為在表11-2第3欄說明有36.84%的損失不超過5000元。此外，該公司還能自擔每次大的損失中的5000元，這樣，它一共自擔了5000×12+200+17800=78000（元），占損失總金額169300元中的46%。同樣，如果采用了10000元的免賠額，那它一共自擔了10000×5+200+17800+51500=119500（元），占損失總金額的70%。在表11-2中第3欄的累積概率表明這個分布的中位數113．眾數。它是指概率分布中最可能發生的那個結果。在上例中，眾數是5000＜損失≤10000，因為落在這個范圍內的損失一共發生了7次，次數是最多的。（三）方差方差描述的是分布對均值的離散程度。方差越小，實際值落在均值的一個范圍內的可能性就越大，預測就越準確。常用于測度方差的方法有兩種：標準差和變動系數。

1．標準差（方差的算術平方根）。標準差S．D．用公式表示為：S．D．=式中：為結果的概率，=一共有n次觀察結果。

3．眾數。它是指概率分布中最可能發生的那個結果。在上12表11-3出軌損失標準差計算過程表損失類別（元）中點X（元）概率PX-X（X-X）2P（X-X）20＜損失≤10005000.0526-84007056000037110001000＜損失≤500030000.3158-590034810000109930005000＜損失≤1000075000.3684-1400196000072200010000＜損失≤20000150000.1579610037210000587500020000＜損失≤30000250000.0526161002592100001363400030000＜損失355000.05262600709560003721800072153000表11-3出軌損失標準差計算過程表損失類別（元13假定：=8911≈8900S．D．==8494（元）標準差相對于均值來說太大了，=0.95，很難用概率分析來預測將來的損失。

假定：=8911≈8900142．變動系數。給定兩個分布，如果它們均值不相等，就要引入變動系數來比較它們的變動性。變動系數=，它的值越大，分布的變動性越大，預測就越困難。

在比較穩定的情況下，可以使用概率分析預測，如燈泡更換問題。但碰到不穩定的情況，如火車出軌的損失問題，就無法用概率分析來得到一個較為精確的預測，這時就要采用趨勢分析。2．變動系數。給定兩個分布，如果它們均值不相等，15

第四節趨勢分析

一、直覺趨勢

風險管理人員可以把過去的損失畫在一張散點圖上，然后根據直覺確定直線還是曲線來預測將來的損失。

圖11-2某公司7年工傷趨勢圖第四節趨勢分析

一、直覺趨勢

16二、數學趨勢方法

在數學上計算曲線較為復雜，因此風險管理人員一般使用直線來進行預測。表11-4的數據就適用于直線趨勢，它所示的是該公司每年的損失次數和貨物運輸的噸公里數。

表11-4出軌損失的直線趨勢表

年份每年損失次數噸公里（10萬）1991435199246019935721994695合計19262二、數學趨勢方法表11-417

（一）出軌次數與時間的關系

X軸表示年份，Y軸表示每年出軌的次數。假設兩者之間的關系為Y=a+bX，根據數學公式可求出b和a的值：在本例中：（一）出軌次數與時間的關系在本例中：18

由此得出出軌次數與時間之間的關系為Y=3+0.7X。運用這個公式估計1990年的出軌次數為3，此時X=0，Y=3+0.7×0=3。b=0.7說明估計每年的出軌次數增加0.7次。如果這個趨勢持續下去，那就可以預測到1995年的出軌次數為3+5×0.7=6.5次，1996年為3+6×0.7=7.2次，見圖11-3。圖11-3出軌損失直線趨勢由此得出出軌次數與時間之間的關系為Y=3+019

（二）出軌次數與每年運輸噸公里的關系

與前面一樣，先畫散點圖。Y=a+bX，求得b=0.035，a=2.46。所以Y=2.46+0.035X。說明該公司每增加10萬噸公里的運輸，出軌次數就增加0.035次。風險管理人員若假定公司在1995年運輸100萬噸公里的貨物，則可預測1995年出軌次數為Y=2.46+100×0.035=5.96次，見圖11-4。（二）出軌次數與每年運輸噸公里的關系20Y每年出軌圖11-4出軌次數與運輸量關系Y每年出軌圖11-4出軌次數21第五節預測在風險管理中

的應用

本節講述怎樣運用概率分析和趨勢分析來預測損失所面臨的比前面所述更為復雜的情形，并把它們細分，這樣就可以作出更為精確的預測。這個過程要求風險管理人員做到下列幾件事：

1．運用概率分析計算以下概率；（1）多項損失的聯合概率或任何給定總損失在給定期間內可能發生的概率；（2）在給定期間內，任何一種損失發生的概率。

2．綜合幾個獨立的趨勢影響來進行趨勢分析，每個獨立的趨勢都對將來損失頻數和程度有影響。

3．運用基本的概念和概率、趨勢分析的邏輯總結出在形成預測模型時有用的統計技術和其他方法。第五節預測在風險管理中

的應用本節講述怎22一、一些有關概率的進一步計算

對多個事件的分析就需要進一步的計算。

（一）基本概念

P（A）表示事件A發生的概率。P（A或B）表示事件A或B或兩者同時發生的概率。n用來表示用于計算概率的獨立事件數。m表示某事件發生的次數。n表示1995年公司的營運次數，而每次營運出軌的概率為P=0.00095，則np就表示1995年公司可能遭受的出軌次數。E（D）=np，即出軌次數的期望值等于運輸次數乘上每次運輸出軌的概率。一、一些有關概率的進一步計算

對多個事件的分析23（二）聯合概率在風險管理中，兩個最有用處的概率是聯合概率和兩個或多個事件中一個發生的概率。聯合概率是指兩個或多個事件在給定期間內同時發生的概率，兩個或多個事件中一個發生的概率是指給定期間內兩個或多個事件只有一個事件發生的概率。在計算聯合概率時，先要確定這些事件是否相互獨立。如果一個事件的發生或不發生不影響另一個事件發生的概率，那么兩個事件是相互獨立的。例如，兩列相距很遠的火車發生火災是相互獨立的。如果兩列火車相距很近，那么兩列火車發生火災就不是相互獨立的。

1．獨立事件。聯合概率就是各個事件概率的乘積。P（2次火災）=P（F1）·P（F2）=0.02×0.02=0.0004（二）聯合概率1．獨立事件。聯合概率就是24

2．不相互獨立的事件。兩列火車都著火的聯合概率是一列火車發生火災的概率乘上在第一列火車著火的條件下第二列火車發生火災的概率。第二列火車發生火災的概率稱為條件概率，因為這個概率是以第一列火車發生火災為條件的。記作P（B/A）。一列火車著火后另一列火車著火的概率為40%，即P（F1）=0.02，P（F2/F1）=0.4，則兩列火車都發生火災的聯合概率為：P（F1）×P（F2/F1）=0.02×0.4=0.008（三）兩個或多個事件中一個發生的概率簡稱為選一概率，是指給定期間內兩個或多個事件中一個發生的概率。計算選一概率先要確定這些事件是不是互不相容的。

2．不相互獨立的事件。兩列火車都著火的聯合概251．互不相容的事件例如，該公司會有可能因為火災或洪水而損失一輛機車，而不是同時因為火災或洪水引起這一損失。假定一輛機車由于火災而被毀的概率為0.04，由于洪水而被毀的概率為0.06。這樣，一輛機車由于火災或洪水而被毀的概率P（火災或洪水）=0.04+0.06=0.1。這個計算假定洪水和火災是相互獨立的，洪水的發生不會影響火災發生的概率；反之亦然。

2．相容事件。兩個或多個事件在特定時間內發生，但它們并不一定是互不相容的，至少發生一個的概率是它們各個概率之和減去它們的聯合概率。例如，從一副沒有王牌的撲克中抽出一張是5的概率為1/13，是

的概率為1/4，是

5的概率為1/52，因此抽出一張是5或是

的概率P（5或

）=1/13+1/4-1/52=4/13。這里減去聯合概率是為了避免概率的重復計算，如重復計算

5的概率。1．互不相容的事件2．相容事件。兩26二、進一步的趨勢分析

概率分析假定環境是穩定的，趨勢分析假定環境是變化的，但變化趨勢是可以預測的。在鐵路公司那個例子中，由于出軌而每年遭受損失是兩個趨勢的結果：第一個趨勢是每年損失與其產出（噸公里的運輸）之間的關系，第二個趨勢是每噸公里貨物價格的趨勢。在這個例子中，第一步是按某一年物價水平通過產出來預測損失。運輸的噸公里數作為自變量，損失數作為因變量。第二步是對損失按貨物價格水平作相應的調整。二、進一步的趨勢分析27

（一）定義模型

這里所要說明的基本模型是假定有兩個自變量：運輸的噸英里數和貨物價格水平，因變量是損失。

（二）第一個預測因子：噸公里

一家鐵路公司出軌頻數和出軌造成的損失總額隨著運輸的增加或減少而增加或減少。表11-5列示了該公司從1991年到1994年每年的出軌損失和年運輸噸公里之間的關系。所得的結果表明：每增加10萬噸公里運輸，損失就增加1156.39元。a=-35.61錯誤地描述了當公司停止營業時損失就會小于0，這是由于直線預測的端點引起的曲解。（一）定義模型（二）第一個預測因子：噸公里28表11-5年出軌損失與年運輸量的關系噸公里X（10萬噸公里）損失Y（1000元）XYX2356072959.832.945.182.0343.01974.03247.27790.01225360051849025合計262169.813354.219304表11-5年出軌損失與年29

＝Y=-35.61+1.192X損失=-35.61+1.192×1000=1156.39（元）＝Y=-35.61+1.192X30

（三）第二個預測因子：貨物的價格變化表11-6計算從1991年到1994年貨物價格變化的線性趨勢。結果表明，從1991年到1994年，若經濟