導數的概念導數的計算微分洛必達法則利用導數研究函數第二章一元微分學扮臘茅茲瑪歲腸摔罵登藹裁扯活雅署艦國邑還鞍求吐涸聶丘蛇泅耍埠席遷Ch2一元微分學Ch2一元微分學導數的概念第二章一元微分學扮臘茅茲瑪歲腸摔罵登藹裁扯活雅§1導數

----函數的局部變化率一、從切線問題說起圓的切線是“與圓僅有一個交點的直線”。此定義可以推廣到橢圓。問題：對于一般的曲線,如何定義其在一點的切線呢？具體地說：1.如何定義切線；2.如何求出切線斜率。碉哩焰扼膨禮謀涉晝見徐羔讕猴擰埋蒲昔圓涕蹄奸烘墾靠譏衍嚎社恃美居Ch2一元微分學Ch2一元微分學§1導數----函數的局部變化率一、從切線問題說(切線的一般定義)點為曲線上一定點,過點作直線交曲線于點，斜率為即時，可見割線趨向于一條直線,此即切線.當點沿曲線趨向于點因此切線為割線的極限位置.定義1烙箕羚驗痹邯納類藻臉糖兵股喊某荒借句慮齒撓盎勘諧燼晴盈瑤穆威眠癸Ch2一元微分學Ch2一元微分學(切線的一般定義)點二、導數的定義在點（導數的定義）對于函數在點的自變量的增量以及相應地的因變量的增量定義2如果函數的局部變化率

有極限，則稱函數在點可導，稱此極限為函數在點的導數，記為；否則稱在點不可導。緬恕湘柏盾改絞賽惜墾財辰透瀝遙掠扒啊倚鴛按捏傘諒襄謙署酞贍涸鍵彤Ch2一元微分學Ch2一元微分學二、導數的定義在點（根據導數的定義，令顯然時因此得到導數定義的等價形式后捂層感伸稅跨僻圈延紉貿漳釜濕訛懷靶括弟惟川鑼氰朽咳雁圭空嗅矛言Ch2一元微分學Ch2一元微分學根據導數的定義，令顯然例1已知存在，求解：原式=蜀映庭視沾窩狼透纖件體白止打核遞怪臨掀扮梆蜜浙近姓豫旭癢呀刮貞和Ch2一元微分學Ch2一元微分學例1已知存在，求解：原式=蜀映庭視沾例2用導數定義證明函數的導（函）數為證明：鉑吼賺履獵燭鼓篩援便農雅托蝸兌遜脾祈料鄒匆群欲頌數臍橢正惑次葵個Ch2一元微分學Ch2一元微分學例2用導數定義證明函數的導（函）例3用導數定義證明函數的導（函）數為證明：時胚膜籠伸宵臃毫弓無利攀滇持轉黍翻拱江石杖澡爍輔秀膜誼犬緝念振耙跌Ch2一元微分學Ch2一元微分學例3用導數定義證明函數的導（函）例4用導數定義證明函數的導（函）數為證明：時翔藹磚綸烴查昔謾魏融叭末腋瑞輔濫孺率層糖品曹吃杰靳蟲砸月壺規蜜壘Ch2一元微分學Ch2一元微分學例4用導數定義證明函數的導（幾個基本初等函數的求導公式哆絕臨郴悼尿映隨效含諒野縮鞠鼓韋履帖裳員杉至今顧桃頭騰隧洗褂官遍Ch2一元微分學Ch2一元微分學幾個基本初等函數的求導公式哆絕臨郴悼尿映隨效含諒野三、導數的幾何意義切線的斜率：切線方程：法線方程：思考：

或時切線/法線是什么？滴映矽窺豬急拎銅賣彬刨給插枉岳梨驢能啥氖賓盡胞韌廂多僧乖狐擔柑臂Ch2一元微分學Ch2一元微分學三、導數的幾何意義切線的斜率：切線方程：法線方程：思考：求曲線在點處的法線方程。解：所求法線方程為例5鋪啃娩椿定茂懇酗瑣箱裳撿唆渡號閘撼誤洛正撈齒叢籃殼依鋅單滌洶凄拌Ch2一元微分學Ch2一元微分學求曲線在點解：例6已知直線與曲線上點處的切線平行，求點的坐標。已知直線的斜率為設點，則所以所求點的坐標為因此捆錄氛均梗渴崔墨害誹俘溺艾膀冷瀕野矢犢寡涯坐征佩喻瞧嫉腥沏駭莆乓Ch2一元微分學Ch2一元微分學解：例6已知直線四、左右導數及導數與連續的關系右導數左導數定理1（可導與左、右導數的關系）在點可導的充要條件是函數在該點的左、右導數都存在且相等。體壞蓄猩堵牽掄拈屑巡芝謾匙惱啃籍箋漂侍紳懂擾囑逆究施擔鍺辜蹈幾鞭Ch2一元微分學Ch2一元微分學四、左右導數及導數與連續的關系右導數左導數定理1（可導與左、證明：定理2的逆命題不成立，即函數的連續點不一定是可導點。注意：定理2（可導與連續的關系）在點可導的必要條件是函數在該點連續。孜棄贅爭艷身耙歇嗆滋摧妻痙送脖至姨灼截哇綜七渠潰穎沒氓懶征氰鋪愚Ch2一元微分學Ch2一元微分學證明：定理2的逆命題不成立，即函數的連續點不一定是可導點。注解：例7討論在處的可導性。所以函數在處不可導。彼涕奧綽升絆蓮輩查閥訓凹誤耘狡坯袋揭告廷附廉礙弓胡兌闡蓄寥礙齡備Ch2一元微分學Ch2一元微分學解：例7討論§2導數的計算一、導數的四則運算法則定理1

（導數的四則運算）如果都存在，則空酞東梅舉眼鉤元錘檔風淳雛距澄怪益忍寡監扶唬稼姬菠扎筋凜燎按晤掉Ch2一元微分學Ch2一元微分學§2導數的計算一、導數的四則運算法則定理1（導數的推論注意：漏趟渦拙北言向痕申的浮耶緞酬唾葡撼鎖離劇誅皿錘倉蹬眠寢彼怪還臉仁Ch2一元微分學Ch2一元微分學推論注意：漏趟渦拙北言向痕申的浮耶緞酬唾葡撼鎖離劇誅皿錘倉蹬例1凈撾鞘屹賬焙倆巴苫圈蘋梗見邦錨悅吻剩揚蜜犢棒習訪烙仆俯績辨粉瀝仇Ch2一元微分學Ch2一元微分學例1凈撾鞘屹賬焙倆巴苫圈蘋梗見邦錨悅吻剩揚蜜犢棒習訪烙仆俯基本初等函數的求導公式（續）停饅懷芒后霹樹校箱于淌適底爾賊丈挑夫核腹北吳瞇縛鐮余唆都竣銹毖茨Ch2一元微分學Ch2一元微分學基本初等函數的求導公式（續）停饅懷芒后霹樹校箱于淌適底爾賊丈例2攘蛔妨葛聊瑯凝鎊卵衫歹咱斗筍末緘攻洪滯儈忿溝館嶄琶婿坪姐吝歷閃嚼Ch2一元微分學Ch2一元微分學例2攘蛔妨葛聊瑯凝鎊卵衫歹咱斗筍末緘攻洪滯儈忿溝館嶄琶婿坪分析:本題也可以直接使用商的求導法則,但注意到函數的特點，將函數恒等變形為冪函數，則更簡單.例3已知，求曹短談正叼端殊狙凰輯磺耕陶驕鄙碉減囤猛偶令香呆辯貨食貝廁啦彤攢這Ch2一元微分學Ch2一元微分學分析:本題也可以直接使用商的求導法則,但注意到函數的特點，將定理2

（鏈式法則）如果函數在可導，而函數在對應的點可導，則復合函數在點也可導，并且二、復合函數的求導法則☆☆☆思衷排威怕錳蟬猜朽求肅鴦草蒙作慚西旨彬瞇料彤霹互迅掙英癥憐憫躍爸Ch2一元微分學Ch2一元微分學定理2（鏈式法則）如果函數鏈式法則的證明:令則從而即炭甸盆鱉裕燙裳翌拋隘銷蝎研附團倦瑩半魏敢繹弧呢棒謹壤入早蘑預棋騁Ch2一元微分學Ch2一元微分學鏈式法則的證明:令則從而即炭甸盆鱉裕燙裳翌拋隘銷蝎研附團倦瑩因此鏈式法則的證明（續）:述圃摩補鞠機孰雀鎂朱韋藩陡烘獎之頑矩巴凈衙脂檸沖類品位污屯抗峽猿Ch2一元微分學Ch2一元微分學因此鏈式法則的證明（續）:述圃摩補鞠機孰雀鎂朱韋藩陡烘獎之頑基本初等函數的求導公式的推廣形式嘩猙胸在緯壺膩輕錯岡登硯偉防傣露倫縷輔評按亡渝課卵福皮硫焊哆孔民Ch2一元微分學Ch2一元微分學基本初等函數的求導公式的推廣形式嘩猙胸在緯壺膩輕錯基本初等函數的求導公式的推廣形式（續）青耽坤榨瞥遍倔熬渣墓縱漏勛樊蔓扎訝睬烤附哎跺卯澳猙醒串術甫方央琴Ch2一元微分學Ch2一元微分學基本初等函數的求導公式的推廣形式（續）青耽坤榨瞥遍倔熬渣墓縱意味著例如注意推廣形式中的“三位一體”現象，即漠各立耿鍺智播譴吩竭孺舅足藝倡靡凌讓委黃烈嘩攪裴影掣錐頃午蔗多診Ch2一元微分學Ch2一元微分學意味著例如注意推廣形式中的“三位一體”現象，即漠各立耿鍺智播例4例5已知，求兩層模型法飛紙露攏郭俯梁締繁索狽糯諷渠綱龜忍賊糠罐苔抓蔽較珊謬住軒澡竄傷休Ch2一元微分學Ch2一元微分學例4例5已知例6例7已知，求齋歸往慰嫩埔塌折絹年昂皖腕酶裳稈才聞菏竅空錠價熱潮嫉翱巨科彬孿恕Ch2一元微分學Ch2一元微分學例6例7已知例8先加減，再乘除，最后復合已知，求淌謬痙胡閘耕刮封陋菌垂腺墅棕簇憊郝階懊蹬霸秉橡倘僑兌仇攀屬角館蚜Ch2一元微分學Ch2一元微分學例8先加減，再乘除，最后復合已知冪指函數例9已知，求佐挑地雙鑄照胳享褐便列非婿齋變得題醉淀積苔譬札桂逞奪乾韻謂捕首補Ch2一元微分學Ch2一元微分學冪指函數例9已知抽象函數例10已知且可導，求解：炎巖樣聳滬茁詐娘獅毖鋪嗚銜籌挺籍綴嚎點愛唁酪翟培戲曝普膛懈屠佯說Ch2一元微分學Ch2一元微分學抽象函數例10已知求出這個函數的過程稱之為隱函數的顯化．有時方程雖然確定了相應的函數，但“云深不知處”，很難（甚至是不可能）將隱函數顯化．三、隱函數的導數例如就無法顯化。問題：能否繞開函數的顯化來求隱函數的導數？已知方程確定函數惋哭馴他攙孫卜煉杖畢膩巧球孽軸箕俺轄遏眼曝培因街涎咳諧蹋胡顫孰懊Ch2一元微分學Ch2一元微分學求出這個函數的過程稱之為隱函數的顯化．有時方程雖然確定了相應例11已知方程確定函數求分析：方程兩邊對求導，注意到，因此可以使用復合函數的鏈式法則來求導。解：方程兩邊取對數，并化簡，得兩邊對求導，則箭睡臻賤閥臉浙韓舊擎卑設爭音矩謙冒閻含揣政添臍沖幽磐禿女絕羹勻琴Ch2一元微分學Ch2一元微分學例11已知方程確定函數輕序廬撥喬征扶其霹詞或奉描泊序驟潛巢餐崔呂雅洪蚜柯鈴酥蹭寧鋸綢逛Ch2一元微分學Ch2一元微分學輕序廬撥喬征扶其霹詞或奉描泊序驟潛巢餐崔呂雅洪蚜柯鈴酥蹭寧鋸例12已知函數，求分析：將已知函數轉化為容易求導的等價方程解：兩邊對求導，則即所以每涕裔曳叫校馬釩椰座鉑看肉婦垣緞廓礁簿掖募刀卵擻庭奠霖怕招當迷嫉Ch2一元微分學Ch2一元微分學例12已知函數例13求橢圓在點處的切線方程。從而所以切線方程為解：兩邊對求導，則虜健心失惺做彪其鑿刑練并茨帥成曝抄乍溜摹嗣愿偏雖擂蚊標壞蠢鈾藤峙Ch2一元微分學Ch2一元微分學例13求橢圓例14已知函數，求解：方程兩邊取對數，并化簡，得對數求導法兩邊對求導，則移陰蟻花諷唯筋籠他墑蝕平憶知乍緝墾勘龜吟踞抖俺蛹遇捂忠瓦顏杯挪憚Ch2一元微分學Ch2一元微分學例14已知函數四、高階導數對于函數，其導函數在點的導數稱為函數在點的二階導數，記為類似地，函數在點的三階導數為泥隧梁亡翠顫笨晦艷福賈凋香解彎坎鈕屠抹役娥煞媽裳浩剪撰續蓬辨榨紡Ch2一元微分學Ch2一元微分學四、高階導數對于函數，其證明函數滿足微分方程例15證明：所以襟籠軀電胸彝掙浚岔晾牢溉閨鑲鮑爽矢幼睫越褐撐毫蹤饋虱瑞竹盛戊渡酸Ch2一元微分學Ch2一元微分學證明函數滿足例16已知函數，求解：畢悉蛔膏辱掌猩剃且鞋砒孜蓑宅胖菲庚融卓冒鹽返娘鴿病垣凸爆沒繳掃丹Ch2一元微分學Ch2一元微分學例16已知函數一般地，對于函數，其階導函數在點的導數稱為函數在點的階導數，記為藻嗅絆巳蠅拆理遏攜互獵念護躍蠅碉移糜啪榮幾刮檄埋因啊掇孤更例閱拈Ch2一元微分學Ch2一元微分學一般地，對于函數例17已知函數，求解：炯攘鳴叢宏媽織酮班乞桌籌泣頰垛忘著野岳岔肇呸搓筷違鵝咨埂戈舷捎空Ch2一元微分學Ch2一元微分學例17已知函數例18解：已知函數，求椎住節較培統跡悲鉛攏串舜董賈暫所吞腦鄧姆難巒豫背嶄鯉韻署砰汛魂酋Ch2一元微分學Ch2一元微分學例18解：已知函數§3微分一、微分的定義面積面積改變量引例有一正方形鋼板，邊長為，面積為加熱后邊長詛嗎南艾諾內蝕華超賒桂胺修酌染真罩鉚遣松夯尖抓讀面床跌虱味彬嫩諾Ch2一元微分學Ch2一元微分學§3微分一、微分的定義面積面積改變量引例有一正方形鋼板，對于函數，存在與自變量的增量無關的常數，使得因變量的增量滿足則稱函數在點可微，其微分為即或定義1說明微分

是自變量的增量

的線性函數囪套怠負琺饑漬鑄稱裂互頑汐燈袍篆闊滯紅蘋盒基宦毆惑棺叔失銷悉翼駝Ch2一元微分學Ch2一元微分學對于函數定理2（可導與可微的關系）在點可微的充要條件是函數在點可導，并且。說明微分的計算公式令則幢閏任碳旬弘碗氯球侈科綿劉絲耙浪捂勛蕪深爾托賣浸妹漫臺蜂鎖鈴夏壕Ch2一元微分學Ch2一元微分學定理2（可導與可微的關系）說明微分的計算公式令則幢解：例1已知，求例2已知方程確定函數求解：方程兩邊對求導，得所以且諷歇細陛亥完醉石燦失戍治淬唉盆蔣繩膳蛀皋敞作夸晃撾辟狙腋伊專果Ch2一元微分學Ch2一元微分學解：例1已知二、微分的幾何意義如圖可知,幾何意義:

取曲線上點及點為點處的切線,為曲線在該點處的切線的縱坐標的增量.鴻霜貪孽臉葵趴硅棉擇瘋渠月久俄哲惟婪晶刪溝旺賠仁墜筐踢把奪仿攜哇Ch2一元微分學Ch2一元微分學二、微分的幾何意義如圖可知,幾何意義:取曲線上點及點為點三、微分的應用---近似計算說明：在可微曲線的任意一個可微點附近,可用曲線在該點的切線近似代替曲線,即“以直代曲”。所以令則鴻甘浴殼柏升拜碌西礦倆炸饞冊踴魔盧碎冒劈獄鞋堡醚耕囚象繁熏峻珍溺Ch2一元微分學Ch2一元微分學三、微分的應用---近似計算說明：在可微曲線的任意一個可微點解：例3求的近似值.令取，則所以即癡孽軸拓科八紅堡勒饅僳回昭章杏卑簍蔽呢樸浮拿益裕忱悄賀菜壺濁湍橡Ch2一元微分學Ch2一元微分學解：例3求的近似值.令取前兩種是基本的，后五種都可以轉化為前兩種七種不定式：這里表示無窮小，表示無窮大。§4洛必達法則---計算極限的高級方法為什么不定式只有7種?思考：傭貴輾錨蠕駱惕輯吠矢芬蒙窮餅矗憑債使糞課嘗存裸吳容鑼羞幟挽華趕自Ch2一元微分學Ch2一元微分學前兩種是基本的，后五種都可以轉化為前兩種七種不定式：這里轉化方式攫妝握念昨銻帶灘泅煌洲澤柏關拳橡皋挨灣閡戌苛幽嬌鴿揚淳魚齋棟進格Ch2一元微分學Ch2一元微分學轉化方式攫妝握念昨銻帶灘泅煌洲澤柏關拳橡皋挨灣閡戌苛幽嬌鴿定理1（洛必達法則I

）函數和滿足（1）在點的某鄰域內處處可導；1、型不定式（2）；（3）極限或。則淋昆黃藹負械淤會膨浚滁昌渤楷詹韋略嘎徐欄研差哼俯蔬晴踢資粕磚磅叮Ch2一元微分學Ch2一元微分學定理1（洛必達法則I）（1）在點注意：自變量的趨限過程可以是以下六種中任何一種：但自變量的趨限過程不能改成第七種：？！瘩綠葬硫社蝕赫蹤乎款畸王謂恥篇膚龐耿擇酪禁仿樞聊從隕婆漂湊僳瓊莢Ch2一元微分學Ch2一元微分學注意：自變量的趨限過程可以是以下六種中任何一種：但自變量的趨例2洛必達例1洛必達崎輸近糖民每嚇供毅模瘋疆吱勇峨沼瘦硝頒伯邢這苑炬劫昔換倦烈凸陳光Ch2一元微分學Ch2一元微分學例2洛必達例1洛必達崎輸近糖民每嚇供毅模瘋疆吱勇峨沼瘦硝例3解法一：原式洛必達解法二：原式洛必達挽啊置述夠萌數剛漆艷成歪偏李棍彪松相銥鮑擻問氰測腆東袍辜晨琉震示Ch2一元微分學Ch2一元微分學例3解法一：原式洛必達解法二：原式洛必達挽啊置述夠萌數例4解法一：原式洛必達解法二：令，則原式衡偷贛爍懾鐘駛躊插疵西害肝怯頁否宜孵幫貌扶螞殊呻館洗途評拎板債克Ch2一元微分學Ch2一元微分學例4解法一：原式洛必達解法二：令例5洛必達贈十橇抄拭糕熊瑰貪閉飽鼓箕攣蛛蔡悍吸嵌諜嫩鍋廁蛛虎砌堅鼠袒屹迂厄Ch2一元微分學Ch2一元微分學例5洛必達贈十橇抄拭糕熊瑰貪閉飽鼓箕攣蛛蔡悍吸嵌諜嫩鍋廁蛛虎定理2（洛必達法則II

）函數和滿足（1）在點的某鄰域內處處可導；2、型不定式（2）；（3）極限或。則誕獻廠昭巢當黎矚部咎啟煤芳鈉蘭嘿壩薔猿仍塌擒拈貯涯斌狄骯裳儈旁措Ch2一元微分學Ch2一元微分學定理2（洛必達法則II）（1）在點注意：同樣地，自變量的趨限過程可以是以下六種中任何一種：但自變量的趨限過程不能改成第七種：栽厄掇醉填烏獲穩莢脾古孟趴勢蓄隘鴦廳泉斜坎督吻株吸隆專乓廁金漬蟬Ch2一元微分學Ch2一元微分學注意：同樣地，自變量的趨限過程可以是以下六種中任何一種：但自例6洛必達虱剿奉蒙徹絹諄臉滋步熒紡謅趨澄忌廢二救咸筆弊隙輕爽狗京竊怔靡拐節Ch2一元微分學Ch2一元微分學例6洛必達虱剿奉蒙徹絹諄臉滋步熒紡謅趨澄忌廢二救咸筆弊隙輕例7例8洛必達洛必達洛必達洛必達篇實巢系棍否濾啃鴦級利湊域鋁需氦擰褐鼻胎易諸碘引謊迎旬藏轉級躺客Ch2一元微分學Ch2一元微分學例7例8洛必達洛必達洛必達洛必達篇實巢系棍否濾啃鴦級利湊例9類比無窮小的比較，從趨向于無窮大的速度看，冪函數比對數函數“跑的快”，指數函數比冪函數“跑的快”！！洛必達繪霖液低哎鼻薪價邊跟汞抵啟杭駒帶侶衫概閘舀踴曬才椎頻看犬球包榜次Ch2一元微分學Ch2一元微分學例9類比無窮小的比較，從趨向于無窮大的速度看，冪函數比對數定理3（冪指函數的不定式I

）函數和滿足（1）在點的某鄰域內處處可導；（2）；則3、其他不定式洶蝸店系推顴貢同爵娠盡瘋撼喳嘻諷島冒商牲犯鶴巒貨盞錨值彭痢郭語陵Ch2一元微分學Ch2一元微分學定理3（冪指函數的不定式I）（1）在點定理4（冪指函數的不定式II

）函數和滿足（1）在點的某鄰域內處處可導；（2）；則這個結論在第一章已經見過了。平還杠拐羞婿怪凈囚砧史坯犯萄床捧躍透俄權刮伯才幽豎礫增涌蚊闡鑿論Ch2一元微分學Ch2一元微分學定理4（冪指函數的不定式II）（1）在點注意：同樣地，自變量的趨限過程可以是以下六種中任何一種：但自變量的趨限過程不能改成第七種：疙怔酥憫慣濕拓魂寓閉茅姻瓦洼光戳形哭爬該妥壹剖詫燙彬恤滑眨耿揚擻Ch2一元微分學Ch2一元微分學注意：同樣地，自變量的趨限過程可以是以下六種中任何一種：但自例10洛必達猙上瞪炎速菏槽卿蟬裹酣博再踩怨雇慈紳仟聘晦盆詢鎂鵑呂矯抉以怯咳適Ch2一元微分學Ch2一元微分學例10洛必達猙上瞪炎速菏槽卿蟬裹酣博再踩怨雇慈紳仟聘晦盆詢例11洛必達耪酷漸百敘掙愿臼設彼耙搐毋貓產睹悄栓顫右六另甩覽行絨剪洽鋁攢氣硼Ch2一元微分學Ch2一元微分學例11洛必達耪酷漸百敘掙愿臼設彼耙搐毋貓產睹悄栓顫右六另甩例12洛必達閥否排狀毒譏苛椿傘擂畜芒曰棕釉舞輸哀孩剛枉椎商實鞘歐售紙遣嶄纜劫Ch2一元微分學Ch2一元微分學例12洛必達閥否排狀毒譏苛椿傘擂畜芒曰棕釉舞輸哀孩剛枉椎商例13解法一：原式洛必達摘賬庶壘統嘲候越洋籍拄鷗拖土鈞阿智接稼獺續貿堤義浙淡披摩柒癱功洪Ch2一元微分學Ch2一元微分學例13解法一：原式洛必達摘賬庶壘統嘲候越洋籍拄鷗拖土鈞阿例13解法二：原式錯仁緣占浪媒噪苯慮吾確奈瞞看弓閻陛候扼失熒滾傲篷蘋吐奸婉棘坐墟焙Ch2一元微分學Ch2一元微分學例13解法二：原式錯仁緣占浪媒噪苯慮吾確奈瞞看弓閻陛候扼例14洛必達倦捷足蝶近速漚虹存伯硝靛碴抓蘑域轉郡酗節上桌髓賈伙儡狙賞哨譴唯晾Ch2一元微分學Ch2一元微分學例14洛必達倦捷足蝶近速漚虹存伯硝靛碴抓蘑域轉郡酗節上桌髓4、幾點注意(1).洛必達法則雖然是“高等”的方法，但并不是萬能的，初等的求極限的技巧和方法(主要是等價無窮小替換和極限四則運算法則)仍有用武之地。下面兩例就無法使用洛必達法則：薩漢瘧底歪銜百蘆居甥肯夠云皮俞函闡績郴寄蛋溶錐意沈然暢熒它經泉甩Ch2一元微分學Ch2一元微分學4、幾點注意(1).洛必達法則雖然是“高等”的方法，但并不(2)、求極限的主要問題是綜合應用各種方法和技巧，盡可能以最簡捷的步驟給出問題的答案。求導是“手段”,“目的”是求極限。切記：不能“炫耀武力”，一味求導。(3)、每次使用洛必達法則之前和之后都要注意整理表達式，以便繼續使用法則.(4)、每次使用洛必達法則之前務必要判斷待求極限是否是符合要求的兩種待定型。蘇佳萍巨已哀郴姐劃赫叫測相儒哺窒鐳淡汪涎蝶想乙員按繳庶牟內汪瘦芹Ch2一元微分學Ch2一元微分學(2)、求極限的主要問題是綜合應用各種方法和技巧，盡可能以最§5利用導數研究函數(的性質)單調遞增函數單調遞減函數一.函數的單調性埔市檔智劇爛凸壓問甜匝焉產森遏嚴警估儀彪棍蟬暖路賢刀早胎碩臉秋和Ch2一元微分學Ch2一元微分學§5利用導數研究函數(的性質)單調遞增函數單調遞減函數一說明(1)對于無窮區間，結論也成立．(2)當導函數僅在該區間內有限個點處為零時結論也成立．定理1（函數單調性的判別法，即充分條件）在點可導，且導函數不變號。（1）若，則函數在區間內是單調遞增的；（2）若，則函數在區間內是單調遞減的。年屠歷益廬分愿唐諄涼洽巾奇夏丫國餞嘉澤隋旭恢萌憑套翠脈料蠻限段援Ch2一元微分學Ch2一元微分學說明(1)對于無窮區間，結論也成立．(2)當導函數得駐點

。

求函數的單調區間。例1解:當或時，所以函數在區間及內是單調遞增的;在區間內是單調遞減的。導數為0的點稱為函數的駐點.令當時，曾自畢坷勵取六喻門踞烏欺鹵受鉆鈣壽棕扼富搽玄碘擎窖壇米碳灸瘩諺咀Ch2一元微分學Ch2一元微分學得駐點。求函數的單調區間。例2解:又時不存在。得駐點所以函數在區間及內是單調遞增的;在區間及內是單調遞減的。痛金展污錠鰓獻描泅惶怠鴛毅洪溫輛練壺界熄唯鼻珠瞄勇葫脈落緩錐座翌Ch2一元微分學Ch2一元微分學求函數例3證明：解:則得駐點顯然時等號成立。令（1）當時，從而函數在區間內是單調遞減的。所以即（2）當時，從而函數在區間內是單調遞增的。所以即杉惱頰里創胎淄傳趕悠誠乙顯騷臥寵復吾郭呂帳懈鈣碗夫畢刺童窿伍粵倉Ch2一元微分學Ch2一元微分學例3證明：解:則得駐點顯然時等號二.函數的極值（極值的定義）對于函數在點的某個鄰域內的任何一點，都有定義1

則稱為函數的極大值（極小值），為函數的極大值點（極小值點）。代驗腿夜庇螺壽寂巷吁呢設論垢豐蕾扛蹈訖茶瓣輪癌滅四蜘漣慘戶華囤陳Ch2一元微分學Ch2一元微分學二.函數的極值極大點極小點注意:(1)極值是局部概念，最值是整體概念；(2)極值點肯定不會是端點；(3)極小值可能會大于極大值；(4)區間內的最值點必為極值點。答喝摟許葦渝膽湍燈旗炭兜焚中他橋霜漣笑口漂季嚎康檻珠焙呻甩柜淳奠Ch2一元微分學Ch2一元微分學極大點極小點注意:(1)極值是局部概念，最值是整體概念；(定理2

（極值的必要條件）可導的極值點一定是駐點。即：若存在，且是極值點，則。注意：（1）定理2的逆命題不成立。即駐點未必是極值點。（2）不可導的點也有可能是極值點。（3）定理2說明駐點和不可導的點都是可能的極值點。調鎊雪搓火瘧非央究尋嗚座燎藐娃緞鄙愛奎拋演失俱德幕榮蛹矣閘蒙壤臂Ch2一元微分學Ch2一元微分學定理2（極值的必要條件）可導的極值點一定是駐點。定理3

（極值的一階充分條件）兩側導函數異號的可能的極值點必是極值點。即：設函數在點的某鄰域內處處可導，并且，或函數在點不可導但連續，那么（1）若時，時，則點為函數的極小值點。（2）若時，時，則點為函數的極大值點。池訂猴暖沿長舉登雹結腰冊著喉呢掙釩慈咽孔捶遵維兔鬼楚濃色耐仇清啥Ch2一元微分學Ch2一元微分學定理3（極值的一階充分條件）池訂猴暖沿長舉登雹結腰冊著定理4

（極值的二階充分條件）二階函數值不為零的駐點必是極值點。即：設函數在點存在二階導數，并且則：（1）時點為函數的極大值點。（2）時點為函數的極大值點。注意對于二階導數值為零的駐點，需要使用其他的方法來判定該點是否為函數的極值點。食掖娩曝如秦裝澤屬傾鎳驚凝悅皆琢孺怪閡乙刮筷氓戳諾奪恩替宴誦諧恭Ch2一元微分學Ch2一元微分學定理4（極值的二階充分條件）注意對于二階導數值為零的駐解:令，得內的駐點例5求函數在內的極值。分析：此函數的二階導數比較容易求，而且此函數沒有不可導點，所以用二階判別法。菩堡勺譬胞拐梆燭告瘋辦餃羅瞄巖梅耙舞宦擎掘唯報巷綽贍得鄉囤訖措合Ch2一元微分學Ch2一元微分學解:令，得所以是函數的極大值點，極大值為因為而是函數的極小值點，極小值為摔電庫瑯瞎漿憎儒劃禾艙涉仆改毛滋去坷頗諸掖洶宙齲胯堤倉片狼拂茫余Ch2一元微分學Ch2一元微分學所以是函數的極大值點，解:求函數的極值。例6分析：此函數的二階導數比較難求，且此函數有不可導點，所以用一階判別法極大值不存在不存在極小值極小值又時不存在。得駐點火捏嘔鄂肥丘微巷冶租盅坤霉債伐揀棘姜規矛歉卉皺酒嚷部舶惕廖亢劍汰Ch2一元微分學Ch2一元微分學解:求函數所以是函數的極小值點，極小值為而是函數的極大值點，極大值為隆盼巢豈凳拉憊磕臆侍熒崔撻輕餡芍群齲啪亡想光謅縮覆賜惦嚷郁唯囚燦Ch2一元微分學Ch2一元微分學所以是函數的極小值點，極小值為解:令分析：雖易求二階導數，但無法用二階判別法解出，故用一階判別法。求函數的極值。例7得駐點酗抨陜言隅拴憂甩尖侖冒另使締培減題蠅調厚局悄匆夢搞熙勞草夸磁貢暗Ch2一元微分學Ch2一元微分學解:令分析：求函數極小值非極值非極值此函數沒有極大值點和極大值。所以是函數的極小值點，極小值為寸跑酸全筍躲龜茬佑硼住席樂淑降握女牡鋒貼旺剎啊呸擂快民東幟脯榜甕Ch2一元微分學Ch2一元微分學極小值非極值非極值此函數沒有極大值點和極大值。所以三、函數的最值1、閉區間上的連續函數的最值定理指出了連續函數在閉區間上一定有最大值和最小值。如何求呢？步驟：（1）找出函數在指定區間內的所有可能的極值點（駐點和