等比數(shù)列(1)

等比數(shù)列(1)1一、溫故知新：1、等差數(shù)列定義：2、等差數(shù)列單調(diào)性：an－an－１=d(d為常數(shù))d>0單調(diào)遞增d<0單調(diào)遞減d=0常數(shù)列用什么方法推出的呢？一、溫故知新：1、等差數(shù)列定義：an－an－１=d(d為常數(shù)21.對于數(shù)列(1),從第2項起,每一項與前一項的比都等于____2.對于數(shù)列(2),從第2項起,每一項與前一項的比都等于____3.對于數(shù)列(3),從第2項起,每一項與前一項的比都等于____

1/2202觀察以上數(shù)列各有什么特點：1,2,4,8,…(1)…(2)1，20，(3)202，203，

…

3

如果一個數(shù)列從第__項起，每一項與它的前一項的_等于_一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做

這個常數(shù)叫做等

數(shù)列的_____1.等比數(shù)列定義：二比同等比數(shù)列公比等差數(shù)列定義如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差公差通常用字母d表示公比通常用字母q表示比如果一個數(shù)列從第__項起，每一項與它的前一項的_4(1)你能用數(shù)學式子表示等比數(shù)列的定義嗎？（2)既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列的數(shù)列存在嗎？如果存在，你能舉出例子嗎？等差數(shù)列等比數(shù)列或an+1-an=d(n≥1)an–an-1=d(n≥2))2(13=-nqaann)1(13=+nqaann或非零的常數(shù)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列(1)你能用數(shù)學式子表示等比數(shù)列的定義嗎？（2)既是等比數(shù)列5（2）公比q能等于0嗎？

等比數(shù)列

由于等比數(shù)列的每一項都有可能作分母，故an≠0且q≠0等差數(shù)列

由于等差數(shù)列是作差故an,d沒有要求探究：（1）等比數(shù)列的各項能等于0嗎？為什么？（2）公比q能等于0嗎？等比數(shù)列由于等比數(shù)列的每一項都有6課堂互動(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=3是,公比q=-1(2)

是,公比q=觀察并判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列:是,公比q=1(5)

1，0，1，0，…(6)

0，0，0，0，…不是等比數(shù)列不是等比數(shù)列(７)

1,,，，……課堂互動(1)1，3，9，27，81，…(3)7等比數(shù)列的有關(guān)概念觀察數(shù)列(1)

2，4，8，16，32，64.(2)1，3，9，27，81，243，…(3)(4)(5)5，5，5，5，5，5，…(6)1，-1，1，-1，1，…以上6個數(shù)列的公比分別為…公比q=2遞增數(shù)列公比q=3遞增數(shù)列公比d=x公比q=1非零常數(shù)列公比q=-1擺動數(shù)列因為x的正負性不確定，所以該數(shù)列的增減性等尚不能確定。公比q=遞減數(shù)列等比數(shù)列的有關(guān)概念觀察數(shù)列(1)2，4，8，8等比數(shù)列中：等比數(shù)列中：9疊乘法疊加法

等比數(shù)列通項公式推導:等差數(shù)列通項公式推導:設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}，則有:

a2－a1=da3－a2=da4－a3=d……an－an－1=d+)an－a1=(n－1)d(n≥2）等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d的通項公式為________________an=a1+(n－1)d，n∈N+設(shè)公比為q的等比數(shù)列{an}，則有:…×)n－1個qqq首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項公式：an=a1qn－1(a1≠0且q≠0

n∈N+)(n≥2）n－1個疊乘法疊加法等比數(shù)列通項公式推導:等差數(shù)列通項公式推導:10(1)2，4，8，16，…(2)2，2,4,4…(4)5,5,5,5,

…(3)1,,,,…an=2nan=an=an=5練習:寫出下列等比數(shù)列通項公式(1)2，4，8，16，…(2)2，2,4111.求下列各等比數(shù)列的通項公式：（1）練習解：解：1.求下列各等比數(shù)列的通項公式：練習解：解：12例2一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項。解：設(shè)這個等比數(shù)列的第1項是,公比是q，那么

把②的兩邊分別除以①的兩邊，得

③①

②把③代入①，得因此

答：這個數(shù)列的第1項與第2項分別是與8。例2一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它131.由下面等比數(shù)列通項公式,求首項與公比.(口答)(1).(2)2.設(shè)成等比數(shù)列,其公比為2,則的值為多少.課堂練習1410nna=1.由下面等比數(shù)列通項公式,求首項與公比.(口答)課堂練143．若x,2x+2,3x+3是一個等比數(shù)列的連續(xù)三項，則x的值為（）（A）－4（B）－1（C）1或4（D）－1或－4A3．若x,2x+2,3x+3是一個等比數(shù)列的連續(xù)三項，則151

在等比數(shù)列中a1+a2=3,a4+a5=24,求q和a1。解：由已知得：

答：

q和a1分別是2和1。等比數(shù)列的通項公式練習1在等比數(shù)列中a1+a2=3,a4+a5=24,求q和a16例題講解:在等比數(shù)列中,例題講解:在等比數(shù)列中,17例4．在4與之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，求插入的3個數(shù)。解：依題意，a1=4，由等比數(shù)列通項公式得所以因此插入的3個數(shù)依次是2，1，或－2，1，－例4．在4與之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，183、等比中項的定義：

探究：類比等差數(shù)列，等差數(shù)列有等差中項公式，請你給出等比中項公式。等比數(shù)列等差數(shù)列

如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項。等比數(shù)列所有奇數(shù)項符號相同；所有偶數(shù)項符號相同。3、等比中項的定義：探究：類比等差數(shù)列，等差數(shù)列有等差中項19練習：練習：20

練習：求下列各組數(shù)的等比中項（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1（2）任何兩數(shù)一定有等差中項。2、判斷（1）若b2=ac，則b一定是a、c的等比中項。（3）任何兩數(shù)一定有等比中項。若a，b異號則無等比中項；若a，b同號則有兩個等比中項練習：求下列各組數(shù)的等比中項（1）1，212.已知數(shù)列的前n項和為Sn=an-1(a為不為零的實數(shù)),則此數(shù)列()A.一定是等差數(shù)列B.一定是等比數(shù)列C.或是等差數(shù)列或是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列CA３，Ｂ４，Ｃ５，Ｄ６1、在等比數(shù)列中，已知首項為，末項為，公比為，則項數(shù)為（）B2.已知數(shù)列的前n項和為Sn=an-1(a為不為零的實數(shù)),223.若數(shù)列{an}的前n項和為,那么這個數(shù)列的通項公式是()an=2×3n-1B.an=3×2nC.an=3n+3D.an=2×3nD3.若數(shù)列{an}的前n項和為234.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,若a1,a3,a4成等比數(shù)列,則a2=()A.－4B.－6C.－8D.－10B5.已知a,b,c成等比數(shù)列,a,x,b和b,y,c都成等差數(shù)列,且xy≠0,那么的值為()A.1B.2C.3D.4B4.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,若a1,a3,a4成等比246.已知a1,a2,…,a8是各項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比q≠1,則()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8<a4+a5C.a1+a8=a4+a5

D.a1+a8和a4+a5的大小關(guān)系不能由已知條件確定.A7.已知數(shù)列－1,a1,a2,－4成等差數(shù)列,－1,b1,b2,b3,－4成等比數(shù)列,則的值是

.6.已知a1,a2,…,a8是各項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比q25等比數(shù)列由于等比數(shù)列的每一項都有可能作分母，故a1≠0且q≠0等差數(shù)列由于等差數(shù)列是作差故a1d沒有要求

判斷數(shù)列是等差數(shù)列的方法判斷數(shù)列是等比數(shù)列的方法或an+1-an=d(n≥1)an

–an-1=d(n≥2)等比數(shù)列由于等比數(shù)列的每一項都有可能作分母，等差數(shù)列由26、例3已知是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列。證明：設(shè)數(shù)列的首項為，公比為p；的首項為，公比為q，

那么數(shù)列的第n項與第n+1項分別為與，

，

因為它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以是一個以pq為公比的等比數(shù)列。即為與()npqba11、例3已知是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列。證明：設(shè)27

結(jié)論：如果是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么也是等比數(shù)列．

特別地，如果是等比數(shù)列，c是不等于０的常數(shù)，那么數(shù)列也是等比數(shù)列．結(jié)論：如果是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么也是等比281.求證若數(shù)列

{an}

是等差數(shù)列,則

{ban}

是等比數(shù)列2求證若數(shù)列

{an}

是正項等比數(shù)列,則

{logban}

是等差數(shù)列.1.求證若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則{ba291.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).(1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列.(2)求{an}的通項公式.1.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈302.已知數(shù)列{an}滿足(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(2)求{an}的通項公式.2.已知數(shù)列{an}滿足31補充:有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)補充:32

等差數(shù)列等比數(shù)列定義數(shù)學表達如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。an+1-an=d(常數(shù))符號表示首項a1,

公差d如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。首項a1,公比q(q≠0)d與{an}q與{an}d＞0{an}遞增d＜0{an}遞減d＝0{an}為常數(shù)列q＞0{an}中各項同號q＜0{an}中的項正負相間q＝1{an}為非零常數(shù)列通項公式an=a1+（n-1）dan=a1·qn-1an+1an=q(常數(shù))等比中項a,A,b成等差數(shù)列,2A=a＋ba,G,b成等比數(shù)列,G2=ab等差33判定等比數(shù)列常用方法(1)定義法:(2)等比中項法:(3)通項法:判定等比數(shù)列常用方法(1)定義法:(2)等比中項法:(3)通34等比數(shù)列(2)

等比數(shù)列(2)35二.學以致用已知等比數(shù)列的公比為q,第m項為,求.二.學以致用已知等比數(shù)列的公比為q,第m項為,求36練習已知等比數(shù)列練習已知等比數(shù)列37若n+m=p+q,則anam=apaq證明:若n+m=p+q,則anam=apaq證明:38練習:

⒈在等比數(shù)列{an}中，a2=-2,a5=16，a8=

.⒉在等比數(shù)列{an}中，且an＞0，a2

a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_

.⒊在等比數(shù)列{an}中，若則a10=

-1286練習:⒈在等比數(shù)列{an}中，a2=-2,a5=16，a8391、若等比數(shù)列{an},a4=1,a7=8,則a6與a10的等比中項是______.±162、若等比數(shù)列{an}中,⑴若已知a2=4,a5=,求an;⑵若已知a3a4a5=8,求a2a6的值.1、若等比數(shù)列{an},a4=1,a7=8,則a6與a140

2、在等比數(shù)列中，，求該數(shù)列前七項之積。3、在等比數(shù)列{an}中,,,求a8.1、在等比數(shù)列{an}中，已知,,求練習：2、在等比數(shù)列中，3、在等比41二.新課講授例2．在等比數(shù)列{an}中，（1）a5=2,a10=10，則a15（2）那么（3）若則a5a16+a9a12=30,求例3．已知在等比數(shù)列中且q=2，求a1和n.二.新課講授例2．在等比數(shù)列{an}中，那么（3）若則a542解（一）解（一）43解（二）利用等比性質(zhì)解（二）利用等比性質(zhì)44例5、等比數(shù)列{an}中，a4·a7=－512，a3+a8=124,公比q為整數(shù)，求a10.法一：直接列方程組求a1、q。法二：在法一中消去了a1，可令t=q5法三：由a4·a7=a3·a8=－512∵公比q為整數(shù)∴a10=a3×q10－3=－4×(-2)7=512例5、等比數(shù)列{an}中，a4·a7=45三個正數(shù)成等比數(shù)列，他們的和等于21，倒數(shù)的和等于，求這三個數(shù)。解：設(shè)三個正數(shù)為：得：三個正數(shù)成等比數(shù)列，他們的和等于21，解：設(shè)三個正數(shù)為：得：463、有三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的積等于64，和等于14，求此三個數(shù)？4：有四個數(shù)，若其中前三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于19，后三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于12，求此四個數(shù)？3、有三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的積等于64，和等于14，求此47二.新課講授等比中項的應用例1．有四個數(shù)，前三個成等比數(shù)列，其積為216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，其平方和為56，求這四個數(shù)。注意：（1）等比數(shù)列中若三個數(shù)成等比數(shù)列，可以設(shè)為

（2）等比數(shù)列中若四個數(shù)成等比數(shù)列，不能設(shè)為

因為這種設(shè)法表示公比大于零。二.新課講授等比中項的應用例1．有四個數(shù)，前三個成等比數(shù)列，48等比數(shù)列定義及性質(zhì)ppt課件49等比數(shù)列定義及性質(zhì)ppt課件50例2、三數(shù)成等比數(shù)列,積為27,和為13,求這三個數(shù)。（三維）解：設(shè)所求三數(shù)為所以三數(shù)為1，3，9或9，3，1注意：三數(shù)成等比數(shù)列且積一定，設(shè)為a/q,a,aq。同號四數(shù)成等比數(shù)列且積一定，設(shè)為例2、三數(shù)成等比數(shù)列,積為27,和為13,求這三個數(shù)。解：設(shè)51等比數(shù)列定義及性質(zhì)ppt課件52

1.四個正數(shù),前三個數(shù)成等差數(shù)列,其和為

48,后三個數(shù)成等比數(shù)列,其最后一個數(shù)是

25,求此四數(shù).解:由已知可設(shè)前三個數(shù)為

a-d,a,a+d(d

為公差)且

a+d>0.∵后三數(shù)成等比數(shù)列,其最后一個數(shù)是

25,解得:a=16,d=4.故所求四數(shù)分別為

12,16,20,25.∴a-d+a+a+d=48,且(a+d)2=25a.

∴a-d=12,a+d=20.

課后練習題1.四個正數(shù),前三個數(shù)成等差數(shù)列,其和為453已知2a=3,2b=6,2c=12,則a,b,c()ＡA.成等差數(shù)列不成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列不成等差數(shù)列C.成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列結(jié)論：若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{logaan}(a>0且a≠1)為等差數(shù)列.已知2a=3,2b=6,2c=12,則a,b,c54二.新課講授例4．已知數(shù)列{an}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且q<1，設(shè)bn=log2an,且b1+b3=6,b1·b3=8,(1)求{an}的通項公式；(2）設(shè){bn}的前n項和為Sn，當

最大時，求n的值

二.新課講授例4．已知數(shù)列{an}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，(554.已知{an}是各項均為正的等比數(shù)列,求證:{lgan}為等差數(shù)列.5.已知{bn}是等比數(shù)列,與數(shù)列{an}滿足bn=,n∈N*.(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列(2)若a8+a13=1/2,求b1b2…b20.4.已知{an}是各項均為正的等比數(shù)列,求證:{lgan}為563.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,若a1,a3,a4成等比數(shù)列,則a2=()A.－4B.－6C.－8D.－10B4.已知a,b,c成等比數(shù)列,a,x,b和b,y,c都成等差數(shù)列,且xy≠0,那么的值為()A.1B.2C.3D.4B3.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,若a1,a3,a4成等比57補充作業(yè)：1．已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的立方和為81，求這三個數(shù)。2．有四個數(shù)，其中前