第六章IIR數字濾波器的設計引言最小與最大相位延時系統、最小與最大相位超前系統全通系統用模擬濾波器設計IIR數字濾波器用沖激響應不變法設計IIR數字低通濾波器用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器第六章IIR數字濾波器的設計引言引言數字濾波器的設計過程一個數字濾波器的設計過程，大致可歸納為以下幾個步驟：(1)按照實際需要確定濾波器的性能指標。(2)用一個因果穩定的系統函數去逼近這個性能指標，這種系統函數可以分為兩類，即IIR系統函數與FIR系統函數。(3)用一個有限精度的運算去實現這個系統函數。這里包括選擇運算結構，如級聯型、并聯型、直接型、頻率采樣型等，還包括合適的字長和有效數字處理的方法等。(4)實際的技術實現，包括采用通用計算機軟件或專用數字濾波器硬件來實現，或采用專用的或通用的數字信號處理器來實現。引言數字濾波器的設計過程按處理信號的種類分為

模擬濾波器(其輸入輸出皆為模擬量)

數字濾波器(其輸入輸出皆為數字量)；按其應用不同分為有源濾波器和無源濾波器；按其通頻帶劃分為（以2π為周期，低通頻帶2π整數倍附

近，高通頻帶處于π的奇數倍附近

）低通濾波器(只允許低頻信號通過而抑制高頻信號)

高通濾波器(只允許高頻信號通過而抑制低頻信號)

帶通濾波器(只允許某一頻帶的信號通過)

帶阻濾波器(只抑制某一頻帶的信號)。按實現結構或單位脈沖響應分為

IIR濾波器和FIR濾波器按處理信號的種類分為第6章--無限脈沖響應數字濾波器的設計ppt課件數字濾波器的技術要求通常用的數字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設數字濾波器的傳輸函數H(ejω)用下式表示：

濾波器的性能要求一般以頻率響應的幅度特性的允許誤差來表征。以低通為例，頻率響應有通帶、過渡帶、阻帶三個范圍。通帶——濾波器中能使信號通過的頻帶；阻帶——抑制噪聲通過的頻帶；過渡帶——從通帶到阻帶的過渡頻率范圍。

數字濾波器的技術要求濾波器的性能要求一般以頻率響第6章--無限脈沖響應數字濾波器的設計ppt課件在通帶內：在阻帶內：通帶內和阻帶內允許的衰減一般用dB數表示，通帶內允許的最大衰減用δ1表示，阻帶應達到的最小衰減用δ2表示，δ1

和δ2

分別定義為：在通帶內：表征數字濾波器頻響特性的三個參量1.幅度平方響應

的極點既是共軛的，又是以單位圓鏡像對稱的，則為實現因果穩定系統，選在單位圓內的極點作為的極點，零點可以根據相位要求選擇。當只需要逼近幅度響應而不考慮相位時用幅度平方設計方便2.相位響應3.群延時響應：相位對角頻率的導數的負值。當要求濾波器為線性響應特性時，通帶內群延時是常數表征數字濾波器頻響特性的三個參量1.幅度平方響應當要求濾波

數字濾波器設計方法概述

IIR濾波器和FIR濾波器的設計方法是很不相同的。IIR濾波器的逼近問題是按要求或最優化準則求濾波器系數ak,bk，使濾波器滿足特性要求。在s平面的逼近得到模擬濾波器，在z平面的逼近得到數字濾波器。IIR濾波器設計方法有三類:

1借助于模擬濾波器

其設計步驟是：先設計模擬濾波器得到傳輸函數Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉換成數字濾波器的系統函數H(z)。這種方法可以利用模擬濾波器現成的設計公式圖表，方便準確數字濾波器設計方法概述2計算機輔助設計法(最優化設計法)

直接在時域或頻域中設計。先確定一種最優化準則，求在最優準則下濾波器系統函數的系數ak,bk,這種方法得不到理想的閉合形式的函數表達式，需進行大量的迭代運算3直接在z平面設計。給出閉合形式的公式或是所希望的濾波器的響應作為依據，直接在z平面上通過對此選定零極點的位置，以逼近該響應。2計算機輔助設計法(最優化設計法)最大、最小相位系統當ω從0~2π變化時（Δω=2π），單位圓內的零點（或極點）引起的的變化量為2π，而單位圓外的零、極點則沒有影響。零點：Mi+Mo=M極點：Ni+No=N最大、最小相位系統當ω從0~2π變化時（Δω=2π），單位因果穩定系統：最小相位延時系統——零、極點全部在單位圓內最大相位延時系統——極點全部在單位圓內，零點全部在單位圓外。對因果穩定系統，有

最小相位延時系統（常簡稱為最小相位系統）有許多重要性質，它在通信系統中有很重要的地位。因果穩定系統：對因果穩定系統，有最小相位延時系統（最小與最大相位延時系統

最小與最大相位超前系統

最小與最大相位延時系統

最小與最大相位超前系統

最小相位系統的重要性質1在相同的所有系統中，最小相位系統具有最小的相位滯后，即它有負的相位，相位絕對值最?。?按照帕塞瓦定理，相同的各系統的總能量相同，但最小相位系統的能量集中在n=0附近，而一般系統的能量則集中在n>0處。也就是說，若、為n點有限長序列（n=0,1,2,…,N-1），則有3對相同的各序列，有；4在相同的系統中，只有唯一一個最小相位系統；5利用級聯全通函數的方法，可將最小相位系統的零點反射到單位圓外，而構成幅度響應相同的非最小相位系統；6最小相位系統保證其逆系統存在。給定一個因果穩定系統，定義其逆系統為，當且僅當為最小相位系統時，才是因果穩定系統。最小相位系統的重要性質1在相同的全通系統

全通系統是指系統頻率響應的幅度在所有頻率下均為1或某一常數的系統。系統函數的零極點是以共軛對形式出現的。應用：1任何一個因果穩定的系統都可以表示為全通系統和最小相位延時系統的級聯2如果設計出的濾波器是非穩定的，則可以級聯全通函數將它變成穩定的濾波器3可以作為相位均衡器全通系統全通系統是指系統頻率響應的幅度在所有頻一階復系數全通濾波器：

——不改變信號各頻率分量的幅度，只影響相位

（a為復數）全通濾波器零、極點的分布特點：零點——若有復數零點，必以共軛對形式出現；極點——若有復數極點，必以共軛對形式出現；零、極點之間——以單位圓鏡像對稱。一階復系數全通濾波器：——不改變信號各頻率分量的幅度，只影全通濾波器的應用1.任何一個因果穩定的系統H(z)（非最小相位延時系統）都可以表示成全通系統和最小相位系統的級聯，即2.若設計出的濾波器是非穩定的，則可以用級聯全通系統來將其變成一個穩定的濾波器，而幅度特性不變。用全通系統的零點抵消濾波器的單位圓外極點3.可以作為相位均衡器，將非線性相位系統變為線性相位。全通濾波器的應用1.任何一個因果穩定的系統H(z)（非最6.4用模擬濾波器設計IIR數字濾波器

為了保證轉換后的H(z)穩定且滿足技術要求，對轉換關系提出兩點要求：

(1)因果穩定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩定的。S平面的左半平面映射到z平面的單位圓內部。

(2)數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻率響應，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，即頻率軸要對應。6.4用模擬濾波器設計IIR數字濾波器為了數字濾波器設計方法

IIR濾波器和FIR濾波器的設計方法是很不相同的。IIR濾波器設計方法有兩類，經常用的一類設計方法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。其設計步驟是：先設計模擬濾波器得到傳輸函數Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法映射成數字濾波器的系統函數H(z)。

常用的映射方法：沖激響應不變法、階躍響應不變法、雙線性變換法數字濾波器設計方法設模擬濾波器的傳輸函數為Ha(s),相應的單位沖激響應是ha(t)

設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：6.5

沖激響應不變法變換原理：使數字濾波器的h(n)模仿模擬濾波器的ha(t)即h(n)=ha(nT)（T為采樣周期）設模擬濾波器的傳輸函數為Ha(s),相應的單位沖激響應是ha式中u(t)是單位階躍函數。對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：對上式進行Z變換，得到數字濾波器的系統函數H(z)：式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進行拉氏反變換得到ha(t)式中u(t)是單位階躍函數。對ha(t)進行等間隔采樣，采樣（因果穩定性不變、虛軸映射成單位圓）z=esT，s平面與z平面之間的映射關系（因果穩定性不變、虛軸映射成單位圓）z=esT，s平面與z混疊失真

數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器的頻率響應的周期延拓，只有模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且帶限于折疊頻率以內時數字濾波器的頻率響應才能夠不產生混疊失真。但實際濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，所以這種方法得到的數字濾波器的頻率響應都存在混疊失真。混疊失真數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器的頻率沖激響應不變法的頻率混疊現象沖激響應不變法的頻率混疊現象

假設沒有頻率混疊現象，即滿足按照并將關系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：

對上式進行修正，令：，則由于H(ejω)與T呈反比，當fs很高時，濾波器增益太大假設沒有頻率混疊現象，即滿足對ha(t)是實數，Ha(s)的極點成共軛對存在。Ha(s)與H(z)的關系：ha(t)是實數，Ha(s)的極點成共軛對存在。Ha(s)與缺點：存在頻譜混疊。優點：1.時域逼近良好；

2.模擬角頻率與數字頻率呈線性關系，即ω=ΩT

。

只適合于限帶的模擬濾波器，高通和帶阻濾波器不適合采用沖激響應不變法。缺點：存在頻譜混疊。優點：1.時域逼近良好；

沖激響應不變法使得數字濾波器的沖激響應完全模仿模擬濾波器的沖激響應，即時域逼近良好，而且模擬頻率和數字頻率之間成線性關系ω=?T，因而一個線性良好的模擬濾波器可以映射成線性相位的數字濾波器，但因為有頻率響應的混疊效應，所以沖激響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器，所以高統和帶阻濾波器不宜采用沖激響應不變法，否則要加保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，對于帶通和低通濾波器，需充分限帶，如阻帶衰減越大，則混疊效應越小。沖激響應不變法使得數字濾波器的沖激響應完全模仿模6.7雙線性變換法沖激響應不變法中頻譜混疊，是因為s→z是多值映射基本原理：把整個s平面壓縮變換到一個中介s1平面的一個橫帶，再通過s平面與z平面的標準映射把s1平面的橫帶變換到整個z平面，這樣使s平面與z平面一一對應，消除多值映射，即消除了頻譜混疊現象6.7雙線性變換法沖激響應不變法中頻譜混疊，是因為s

模擬頻率Ω和數字頻率ω之間的關系。

雙線性變換法的映射關系（單值映射）（因果穩定性不變、虛軸映射成單位圓）模擬頻率Ω和數字頻率ω之間的關系。雙線性變換法的s平面z平面σ>0，右半平面，不穩定r>1，單位圓外，不穩定σ=0，虛軸，臨界r=1，單位圓上，臨界σ<0，左半平面，穩定r<1，單位圓內，穩定s平面與z平面的映射關系為s平面z平面σ>0，右半平面，不穩定r>1，單位圓外，不穩定即當Ω1從π/T經過0變化到-π/T時，Ω則由∞經過0變化到-∞，實現了s平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉換。

用正切變換實現將s平面的虛軸到s1平面虛軸的頻率壓縮：

式中T仍是采樣間隔即當Ω1從π/T經過0變化到-π/T時，Ω則由∞經過0變化將這個解析式延拓到整個s平面和s1平面，令jΩ=s,jΩ1=s1,得到將寫為再將s1通過標準變換關系映射到z平面得到將這個解析式延拓到整個s平面和s1平面，令jΩ=s,jΩ1

再通過轉換到z平面上，得到：為了使模擬濾波器某一頻率與數字濾波器任一頻率有對應關系，引入待定系數c，得到最一般的表達式單值映射再通過轉換到z

正切變換實現頻率壓縮：

式中T仍是采樣間隔，當Ω1從-π/T經過0變化到π/T時，Ω則由-∞經過0變化到+∞，實現了s平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉換。這樣便有正切變換實現頻率壓縮：式中T仍是采樣間隔，當Ω1變換常數C的選擇不同的方法選擇c可使模擬濾波器與數字濾波器的頻率特性在不同頻率處有對應關系。1模擬數字濾波器在低頻處有較確切對應關系變換常數C的選擇不同的方法選擇c可使模擬濾波器與數字濾波器的2數字濾波器的某一特定頻率與模擬濾波器的一個特定頻率嚴格對應。如截止頻率即：則有可以較準確的控制截止頻率的位置2數字濾波器的某一特定頻率與模擬濾波器的一個特定頻率嚴格對.雙線性變換法的特點優點：模擬濾波器通過雙線性變換后，避免了頻率響應的混疊現象。通過s平面與z平面的單值映射，即頻率軸是單值變換關系，且Ω趨近無窮時，ω為折疊頻率π