第三章導數及其應用復習小結第三章1本章知識結構導數導數概念導數運算導數應用函數的瞬時變化率運動的瞬時速度曲線的切線斜率基本初等函數求導導數的四則運算法則簡單復合函數的導數函數單調性研究函數的極值、最值曲線的切線變速運動的速度最優化問題本章知識結構導數導數概念導數運算導數應用函數的瞬時2曲線的切線

以曲線的切線為例，在一條曲線C：y=f(x)上取一點P(x0，y0)，點Q(x0+△x，y0+△y)是曲線C上與點P臨近的一點，做割線PQ，當點Q沿曲線C無限地趨近點P時，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把直線PT叫做曲線C的在點P處的切線。一．知識串講曲線的切線以曲線的切線為例，在一條曲線C：y=f(x3

此時割線PT斜率的極限就是曲線C在點P處的切線的斜率，用極限運算的表達式來寫出，即

k=tanα=

1．導數的定義：對函數y=f(x)，在點x=x0處給自變量x以增量△x，函數y相應有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若極限存在，則此極限稱為f(x)在點x=x0處的導數，記為f’(x0)，或y|；（一）導數的概念：此時割線PT斜率的極限就是曲線C在點P處的切線的4

2．導函數：如果函數y=f(x)在區間(a，b)內每一點都可導，就說y=f(x)在區間(a，b)內可導．即對于開區間(a，b)內每一個確定的x0值，都相對應著一個確定的導數f’(x0)，這樣在開區間(a，b)內構成一個新函數，把這一新函數叫做f(x)在(a，b)內的導函數．簡稱導數．記作f’(x)或y’.即f’(x)=y’=2．導函數：如果函數y=f(x)在區間(a，b)5

3．導數的幾何意義：函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線斜率為k＝f’(x0)．所以曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為

yy0=f’(x0)·(x－x0)．

4．導數的物理意義：物體作直線運動時，路程s關于時間t的函數為：s=s(t)，那么瞬時速度v就是路程s對于時間t的導數，即v(t)=s’(t).3．導數的幾何意義：函數y=f(x)在點x0處6導數的運算法則:法則1:兩個函數的和(差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(差),即:法則2:兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘第二個函數,加上第一個函數乘第二個函數的導數,即:法則3:兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘第二個函數,減去第一個函數乘第二個函數的導數,再除以第二個函數的平方.即:返回導數的運算法則:法則1:兩個函數的和(差)的導數,等于這兩個7法則4：簡單復合函數的導數設,則復合函數

的導數為法則4：簡單復合函數的導數設8返回返回9當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:PQoxyy=f(x)割線切線T返回當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ如果有102)如果a是f’(x)=0的一個根，并且在a的左側附近f’(x)<0，在a右側附近f’(x)>0，那么是f(a)函數f(x)的一個極小值.函數的極值1)如果b是f’(x)=0的一個根，并且在b左側附近f’(x)>0，在b右側附近f’(x)<0，那么f(b)是函數f(x)的一個極大值注：導數等于零的點不一定是極值點．2)在閉區間[a,b]上的函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,則它必有最大值和最小值.函數的最大（小）值與導數xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)返回2)如果a是f’(x)=0的一個根，并且在a的左側附近f’111)如果恒有f′(x)>0，那么y=f（x)在這個區間（a,b)內單調遞增；2)如果恒有f′(x)<0，那么y=f（x）在這個區間(a,b)內單調遞減。一般地，函數y＝f（x）在某個區間(a,b)內定理aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某個區間內恒有,則為常數.返回1)如果恒有f′(x)>0，那么y=f（x)在12選修2-2第一章導數總復習ppt課件13選修2-2第一章導數總復習ppt課件14選修2-2第一章導數總復習ppt課件15（五）函數的最大值與最小值：

1．定義：最值是一個整體性概念，是指函數在給定區間(或定義域)內所有函數值中最大的值或最小的值，最大數值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值記為M，最小值記為m.（五）函數的最大值與最小值：1．定義：最值16

2．存在性：在閉區間[a，b]上連續函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．3．求最大（小）值的方法：函數f(x)在閉區間[a，b]上最值求法：①求出f(x)在(a，b)內的極值；②將函數f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一個是最大值，較小的一個是最小值.2．存在性：在閉區間[a，b]上連續函數f(x)17選修2-2第一章導數總復習ppt課件18選修2-2第一章導數總復習ppt課件19選修2-2第一章導數總復習ppt課件20選修2-2第一章導數總復習ppt課件21兩年北京導數題,感想如何?兩年北京導數題,感想如何?22例1．已經曲線C：y=x3-x+2和點A(1,2)。求在點A處的切線方程？解：f/(x)=3x2－1，∴k=f/(1)=2∴所求的切線方程為：y－2=2(x－1),即y=2x例1．已經曲線C：y=x3-x+2和點A(1,2)。求在點A23變式1：求過點A的切線方程？例1．已經曲線C：y=x3-x+2和點(1,2)求在點A處的切線方程？解：變1：設切點為P（x0，x03－x0+2），∴切線方程為y－(x03－x0+2)=(3x02－1)(x－x0)又∵切線過點A(1,2)

∴2－(x03－x0+2)=(3x02－1)(1－x0)化簡得(x0－1)2(2x0+1)=0，①當x0=1時，所求的切線方程為：y－2=2(x－1),即y=2x

解得x0=1或x0=－k=f/(x0)=3x02－1，②當x0=－時，所求的切線方程為：

y－2=－(x－1),即x+4y－9=0變式1：求過點A的切線方程？例1．已經曲線C：y=x3-x+24變式1：求過點A的切線方程？例1：已經曲線C：y=x3－x+2和點(1,2)求在點A處的切線方程？變式2：若曲線上一點Q處的切線恰好平行于直線y=11x－1，則P點坐標為____________,切線方程為_____________________．(2,8)或(－2,－4)y=11x－14或y=11x+18變式1：求過點A的切線方程？例1：已經曲線C：y=x3－x+25選修2-2第一章導數總復習ppt課件26選修2-2第一章導數總復習ppt課件277/31/20237/31/2023287/31/20237/31/202329[例1]已知自由落體的運動方程為s＝ gt2，求：(1)落體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均速度；(2)落體在t0時的瞬時速度；(3)落體在t0＝2秒到t1＝2.1秒這段時間內的平均速度；(4)落體在t＝2秒時的瞬時速度．7/31/20237/31/2023307/31/20237/31/2023317/31/20237/31/202332以初速度v0(v0＞0)豎直上拋的物體，t秒時的高度為s(t)＝v0t－gt2，求物體在t0時刻的瞬時速度．7/31/2023以初速度v0(v0＞0)豎直上拋的物體，t秒時的高度為s(t33[例2]求函數y＝x2在點x＝3處的導數．[分析]利用導數定義求導．[解析]

(1)求y在點x＝3處的增量．取Δx≠0，Δy＝(3＋Δx)2－32＝6Δx＋(Δx)2.(2)算比值．7/31/20237/31/202334[點評]求函數y＝f(x)在點x0處的導數的方法．由導數的意義可知，求函數y＝f(x)在點x0處的導數的方法是：7/31/2023[點評]求函數y＝f(x)在點x0處的導數的方法．7/31357/31/20237/31/2023367/31/20237/31/202337[分析]已知函數f(x)在x＝a處的導數為A，要求所給的極限值，必須將已給極限式轉化為導數的意義．7/31/2023[分析]已知函數f(x)在x＝a處的導數為A，要求所給的極387/31/20237/31/2023397/31/20237/31/202340[答案]－2A7/31/2023[答案]－2A7/31/202341求：(1)物體在t∈[3,5]內的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時的瞬時速度．7/31/20237/31/202342[解析]

(1)∵物體在t∈[3,5]內的時間變化量為Δt＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]內的位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物體在t∈[3,5]上的平均速度為7/31/2023[解析](1)∵物體在t∈[3,5]內的時間變化量為7/343(2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0時的瞬時速度．∵物體在t＝0附近的平均變化率為7/31/2023(2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0時的瞬時速度．7/344(3)物體在t＝1時的瞬進速度即為函數在t＝1處的瞬時變化率．∵物體在t＝1附近的平均變化率為7/31/2023(3)物體在t＝1時的瞬進速度即為函數在t＝1處的瞬時變化率45如果一個質點從固定點A開始運動，在時間t的位移函數y＝s(t)＝t3＋3.求：(1)t＝4時，物體的位移s(4)；(2)t＝2到t＝4的平均速度；(3)t＝4時，物體的速度v(4)．7/31/20237/31/2023467/31/20237/31/202347[答案]C7/31/2023[答案]C7/31/2023482．設f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，則a等于 ()A．2 B．－2C．3 D．－3[答案]

A7/31/20232．設f(x)＝ax