第二章單變量的描述統計分析1單變量的分布及其描述方法2集中趨勢3離散趨勢4分布形態第二章單變量的描述統計分析1單變量的分布及其描述方法2集中第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法單變量的描述統計就是用統計表、統計圖和統計特征值將變量的狀態、水平和分布特征表現出來的方法。一、變量及其分布

（一）變量的含義：研究對象的每個個體都具有很多屬性和特征。比如每個人都有身高、體重、年齡、學歷等特征。這些在不同個體上具有不同表現的特征就稱為變量。統計學中的變量在個體上是相對穩定的，在不同個體上表現出變化。這類變量也稱為隨機變量。

第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法一、變量及其分布（二）變量的分布變量分布指個體在變量取值上的分布。對一組觀察值，一般用頻次分布、頻率分布和累積頻率分布三種方法描述變量分布。1、頻次分布：變量取值與取值上擁有的個體數的集合稱為頻次分布。若變量有m個取值，則該變量的頻次分布可表示為：

例如：調查2130戶家庭，4種家庭類型戶數的頻次分布為：（核心家庭，1050戶）（直系家庭，720戶）（聯合家庭，110戶）（其他，250戶）第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描家庭結構頻次核心家庭1050直系家庭720聯合家庭110其它250總數（合計）2130第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法家庭結構頻次核心家庭1050直系家庭720聯合家庭110其它第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法一、變量及其分布

（二）變量的分布2、頻率分布：變量取值與取值上擁有的個體數的頻率的集合稱為頻率分布。將頻率分布的頻率乘以100%，即是百分比。頻率分布可以表示為：例如：調查2130戶家庭，4種家庭類型戶數的頻率分布為：（核心家庭，0.493）（直系家庭，0.338）

(聯合家庭，0.052)(其它，0.117)第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法家庭結構頻率核心家庭0.493直系家庭0.338聯合家庭0.052其它0.117總數（合計）1第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法一、變量及其分布

（二）變量的分布3、累計頻率分布：將上述頻率分布中的頻率按變量的取值排列順序逐項累加就形成累積頻率分布。分布可以表示為：例如：調查2130戶家庭，4種家庭類型戶數的累計頻率分布為：（核心家庭，0.493）（直系家庭，0.831）（聯合家庭，0.883）（其它，1.000）第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法家庭結構累計頻率核心家庭0.493直系家庭0.831聯合家庭0.883其它1.000第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法累計頻次和累計頻率多用于定序變量的統計某單位職工對武打片的反映統計喜愛程度頻次(人數)頻率(%)累計頻數(向上)累計頻率(%，向上)非常愛看717.9717.9愛看923.11641.0一般1025.62666.6不愛看1025.63692.3很反感37.739100.0合計39100──第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法一、變量及其分布

（二）變量的分布關于頻次分布、頻率分布和累計頻率分布的總結可以清楚地表現數據的分布特征和統計規律，但只適用于類別變量。例如文化程度、職業、職稱等。對取值很多的尺度變量，通常將變量的取值劃分成段，如年齡段、收入段，再累計該段中的人數，來表示變量的分布。尺度變量取值的數據有兩種：離散性數據，如年齡。通常取整數，在相鄰的兩個數之間不存在其它的數據。連續性數據，如身高。如果測量的單位可以達到無窮小的話，理論上，任何兩個數之間都有無窮多個數。尺度變量的分布在統計表中予以詳細說明。第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法二、統計表表現數據分布的最常用方法是統計表。將數據按照一定的順序排列在由橫行、縱列交叉結合而成的表格上。

（一）統計表的結構統計表可分為橫表與豎表，應用較多的是豎表。表號標題表頭表身主詞賓詞第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法（二）描述類別變量分布特征的統計表——簡單表簡單表：主詞按變量的取值一一列出，適用于表現類別變量的分布。主詞是類別變量的取值，賓詞是各個取值出現的頻次、頻率或百分比及累計頻率或累計百分比等。(1)表的正上方須有標題，簡明、扼要、準確地說明表的內容。(2)表的左上方應有表的編號。(3)數字部分橫行間不必標劃線條，兩側不畫縱線，呈開口式。(4)數字書寫要工整，小數點上下對位。同一表中小數位數須相同。(5)當某項數字缺少時用“—”表示。(6)如有對表的其它說明可在表的下面寫出表注。制作原則“三W”原則：需要說明統計數據的時間（When）、地點（Where）以及何種數據（What）第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法二、統計表

（三）描述尺度變量分布特征的統計表——分組表1、分組表的特點：尺度變量取值很多，可以采用分組表來表現尺度變量的分布特征。分組表的主詞是將變量的取值按一定的標準分組或分段的統計表。主詞中每個組的最大值稱為組上限，最小值稱為組下限。第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法二、統計表

（三）描述尺度變量分布特征的統計表——分組表1、分組表的制作步驟：（1）確定全距。全距就是變量觀察值的最大值與最小值之差。（2）確定組距與組數。一般是2、3、5、10或它們的倍數。（3）確定各組的上下限。最低組的下限要小于最小的觀察值，最高組的上限要大于最大的觀察值。連續型數據的一組的下限與下一組的上限為同一值，習慣上以組的上限為實，下限為虛。（即“下組限不包括在內”的原則）（4）登記各組中個案的頻次，計算頻率。將個案按照變量取值大小劃分到各組中，按需要統計出頻次、頻率及累計頻率等，并將統計出的數據置于相應單元格內，繪制成分組表。第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描二、統計表

（三）描述尺度變量分布特征的統計表——分組表1、分組表的制作步驟：確定全距;確定組距與組數;確定各組的上下限。;登記各組中個案的頻次，計算頻率。二、統計表第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法二、統計圖

統計圖就是用圖的形式來表示變量的分布特征。比統計表更直觀、生動、易記憶，缺點是不如統計表精確。變量的測量層次不同，使用的圖形也不盡相同。不同類型的圖形表示數據大小的方式不同。用圖形表現數據的分布特征時有一定的規范和要求。每個圖的左下方都要有圖的編號，圖的正下方要有圖的名稱，用以簡明扼要地說明圖的內容。如有其它的說明可以在圖的下面寫出圖注。如果圖中有多種繪圖元素，可以用圖例的形式予以說明。第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法二、統計圖（一）描述類別變量分布特征的統計圖1、簡單條形圖：條形的長短或高低來表示數據大小。以類別變量的取值為橫軸的分類標志，以縱軸表示頻次或頻率。第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的分布及其描二、統計圖（一）描述類別變量分布特征的統計圖2、圓形圖：也稱餅圖。一般用于描述類別變量中各類別所占的比例。是以一個圓為整體，以每一部分所占的比例來分割圓心角，圓心角所對應的扇形即表示每一部分所占的比例。第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法二、統計圖第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的二、統計圖（一）描述類別變量分布特征的統計圖3、線形圖：線形圖是在坐標系內用折線或連續曲線表示事物的分布或變化的圖。第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法圖2-32000年全國家庭戶主受教育程度分布二、統計圖第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的折線圖在描述事物變化趨勢時更常用：第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法折線圖在描述事物變化趨勢時更常用：第二章單變量的描述統計二、統計圖（二）描述尺度變量分布特征的統計圖1、直方圖：描述尺度變量分布，用條形長短或高低來表現數據大小。與簡單條形圖不同的是，條的寬度表示分組的組距，條與條之間不分離。直方圖以尺度變量為橫軸，以分組的組限為橫軸的數據標志，以縱軸表示頻次或頻率。分組表的數據就可以用直方圖來表示。用表2-7的頻次分布數據制作的條形圖如下：第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法二、統計圖第二章單變量的描述統計分析

第一節單變量的第二章--單變量的描述統計ppt課件直方圖多用于未分組原始數據的分布特征描述，表2-10

100名兒童身高的分布直方圖如下：第二章單變量的描述統計分析

第一節

單變量的分布及其描述方法直方圖多用于未分組原始數據的分布特征描述，表2-10100第二章單變量的描述統計分析

第二節

集中趨勢用圖和表的形式雖然能夠很好地表現變量的分布狀況，但是不夠簡潔，尤其是將不同的總體或樣本進行比較時，使用表或圖難以得出清晰的結論。很多情況下，我們不需要對所有的數據都有詳盡的了解。在對不同總體進行比較時，也不可能一一地使用每一個數據，這就需要對變量的全部取值進行概括，找出一個典型的統計特征值來代表全體數據。集中趨勢（和離散趨勢）就是概括地說明變量的狀態或水平的統計特征值。由于測量層次不同，變量取值的數據特征不同，用于概括變量狀態的集中趨勢也不同。常用的集中趨勢統計量：眾數；中位數；算數平均數。常用的離散趨勢統計量：異眾比率；極差（全距）；四分位差；方差與標準差。第二章單變量的描述統計分析

第二節集中趨勢用圖和表的第二章單變量的描述統計分析

第二節

集中趨勢一、眾數M0眾數（mode）根據頻次來確定的集中趨勢量值。在一個變量的取值中，出現頻次最多的變量值就是眾數。表2-10中的眾數是1.43。平均1.4054標準誤差0.004935中位數1.405眾數1.43標準差0.049348方差0.002435峰度0.471496偏度0.102641區域0.29最小值1.27最大值1.56求和140.54觀測數100第二章單變量的描述統計分析

第二節集中趨勢一、眾數M第二章單變量的描述統計分析

第二節

集中趨勢一、眾數M0關于眾數的幾點注意事項（1）眾數適用于任何層次的變量，只要是知道了頻次分布就可以找到眾數。但主要用于概括和描述類別變量。（2）對于分組的尺度變量，出現頻次最高的組稱為眾數組，可以用眾數組的組中值（組上限和組下限的平均值

）近似地代替眾數。分組數據的眾數可以精確計算練習：表2-10中數據的眾數組是哪一組/哪幾組？（3）眾數適用于任何層次的變量。就分布特點而言，眾數較適用于單峰分布的情況。多峰分布的眾數可能不唯一，所以通常不使用眾數來概括變量分布的狀態。第二章單變量的描述統計分析

第二節集中趨勢一、眾數M第二章單變量的描述統計分析

第二節

集中趨勢二、中位數Md中位數（median）是位于數據排序后處于數列中點的數值，它恰好把全部數據分為兩半，比它大的數據個數與比它小的數據個數正好相等。因為確定中位數需要比較數據的大小，因此定序以上的變量才可以使用。但如果一個序列變量的取值很少，也不適合用中位數作為集中趨勢來概括全部數據。實際上，中位數適用于取值很多的序列變量和尺度變量。第二章單變量的描述統計分析

第二節集中趨勢二、中位數二、中位數Md（一）未分組數據中位數的計算

對于原始的數據，只要將數據按大小順序排成數列即可以找到中位數。如在2、4、6、8、10、12、14、16這個數列中，中位數是9。當數據總數為奇數個時中位數是第（N+1）/2個數。如數列2、4、6、8、10、12、14有7個數，（7+1）/2=4第4個數是8，即中位數。當數據總數為偶數個時在（N+1）/2的地方沒有數值，則中位數為：（式2-1）二、中位數Md如在2、4、6、8、10、12、14、16這個二、中位數Md（二）分組數據中位數的計算在分組數據中，因為沒有了數據的原始值，無法直接尋找中位數，需要先找到中位數組，第N/2個數據所在的組為中位數組。確定中位數組以后利用式（2-2）計算中位數：（式2-2）式中，L是中位數組的下限，h是組距，n是中位數組的頻次；N為數據總個數；Cf↑是L以下的累積頻次第二章單變量的描述統計分析

第二節

集中趨勢二、中位數Md（式2-2）式中，L是中位數組的下限，h是組分組數據的中位數計算舉例883/2=441.5中位數所在組即：住房面積的中位數為54.3平方米。分組數據的中位數計算舉例883/2=441.5即：住房面積的三、算數平均數算術平均值簡稱平均值，是全部數據的平均水平。算術平均值主要適用于尺度變量。（一）未分組數據算數平均值的計算1、根據原始數據計算對于變量的一組觀察值，可以用原始數據來直接計算算數平均值。計算公式為：第二章單變量的描述統計分析

第二節

集中趨勢（式2-3）三、算數平均數第二章單變量的描述統計分析

第二節集中三、算數平均數（一）未分組數據算數平均值的計算1、根據原始數據計算【例2-2】

已知5名女性身高分別為：1.581.601.641.561.52（單位：米）；5名男性身高分別為：1.681.721.761.641.60（單位：米）。分別計算他們的平均身高。三、算數平均數【例2-2】已知5名女性身高分別為：1.58三、算數平均數（一）未分組數據算數平均值的計算2、根據頻次數據計算（式2-4）計算得平均年齡為18歲。另：教材48頁例1三、算數平均數（式2-4）計算得平均年齡為18歲。另：教材4三、算數平均數（二）分組數據的算數平均數計算如果數據存在于分組表中，則以組中值來代替原始值計算分組數據的平均值。設數據被分為k組，每組的組中值（

組上限和組下限的平均值）為bi

，每組的頻次為ni

。則分組數據的平均值的計算公式為：式（2-5）請根據表2-4的數據，計算被調查者住房面積的平均值。第二章單變量的描述統計分析

第二節

集中趨勢三、算數平均數式（2-5）請根據表2-4的數據，計算被調查者該統計表中的最低組沒有組下限，為計算方便可以設最低組下限為0。該統計表中的最低組沒有組下限，為計算方便可以設最低組下限為0四、眾數、中位數和平均值的比較第二章單變量的描述統計分析

第二節

集中趨勢相同點：都通過一個數值來描述數據的整體特征以便簡化資料。不同點：一般地說來，均值適用于尺度變量，中位數適用于定序以上變量，而眾數適用于所有的變量。注意：對于測量層次一定的變量應選擇代表性最好的特征值。例如，對于尺度變量，有眾數、中位數和算術平均數三個集中趨勢量值可以使用。由于眾數和中位數都是用變量的一個值來概括全部數據，其代表性要差。而求平均值時所有數據的值都參與了計算，所以平均值是概括性最好、代表性最強的集中趨勢量值。而且，由于尺度變量大都取值很多，有時可能呈現多峰分布，一般不用眾數，也很少用中位數來描述尺度變量。對于定序變量，有眾數和中位數兩個集中趨勢量值可以使用，由于中位數體現了數據能夠比較大小的功能，一般情況下，認為中位數的代表性要好于眾數。而無序類別變量只能使用眾數來描述。四、眾數、中位數和平均值的比較第二章單變量的描述統計分析第二章單變量的描述統計分析

第三節

離散趨勢僅描述觀察值的集中趨勢遠遠不夠，還需要找到一些表示數據分散程度的統計特征值。主要原因有二：原因1：變量的取值范圍不同，集中趨勢的代表性不同。例如：中國職工年平均工資，

1978年為615元，2009年則是29229元。1978年職工年工資的分布是在216元到3600元之間。2009年職工年工資的分布是在6900元到數萬元之間。因此，有理由認為：1978年的615元對當年職工工資總體的代表性高于2009年的29229元。第二章單變量的描述統計分析

第三節離散趨勢僅描述觀察第二章單變量的描述統計分析

第三節

離散趨勢僅描述觀察值的集中趨勢遠遠不夠，主要原因有二：原因1：變量的取值范圍不同，集中趨勢的代表性不同。原因2：變量取值范圍即便相同，但變量分布特征不同時，集中趨勢的代表性也不同。例如：兩個班級的數學成績均值均為82.64分。變量值的分布范圍均為從60分到100分（取值分布如下圖所示）。可見，二班的均值更有代表性。第二章單變量的描述統計分析

第三節離散趨勢僅描述觀察第二章單變量的描述統計分析

第三節

離散趨勢一、異眾比率

（一）含義：非眾數在數據總數N中所占的比例。（二）作用：衡量眾值的代表性。非眾數的頻次占的比例越小，眾數的代表性就越好。（三）算例：見教材例2-5。第二章單變量的描述統計分析

第三節離散趨勢一、異眾比第二章單變量的描述統計分析

第三節

離散趨勢二、極差（全距）

（一）含義：極差是變量取值的范圍。極差一般用R（Range）來表示。

R=最大值—最小值（二）作用：主要配合中位數或平均值說明數據的離散程度的統計特征值。極差小表示數據分布集中，極差大表示數據分布的分散。（三）缺點：極差的值是由兩個端點決定的，因此個別遠離群體的奇異值會極大地改變極差。以至于有時極差不能真正反映全布數據的離散程度。第二章單變量的描述統計分析

第三節離散趨勢二、極差（第二章單變量的描述統計分析

第三節

離散趨勢三、四分位差

（一）含義：對于定序以上變量，將數據按大小排成數列以后，從下向上數第25%的數據所在位置的值稱為下四分位數，用Q25表示。從下向上數第75%的數據所在位置的值稱為上四分位數，用Q75表示。上下四分位數之差即為四分位差，一般用Q（quartiles）來表示。

Q=Q75-Q25式（2-7）（二）作用：四分位差反映了中間50%數據的分散程度，它既比較好地說明了數據的離散狀況，又減少了極端數據所造成的影響。由于中位數處于中間位置，四分位差在一定程度上說明了中位數的代表性。第二章單變量的描述統計分析

第三節離散趨勢三、四分位第二章單變量的描述統計分析

第三節

離散趨勢三、四分位差

（三）未分組數據四分位差的計算：計算四分位差要先計算上下四分位數，為此，需要先確定上下兩個四分位數的位置，找到兩個分位值后相減即得四分位差。根據四分位數的定義可得：如果四分位數所在位置是整數，四分位數就是該位置對應的值。如果是小數，且小數位是0.5，則取該位置兩側值的平均數。如果是在0.25或0.75的位置上，則四分位數等于該位置下側值加上按比例分攤位置兩側數值的差值。具體計算方法見【例2-6】第二章單變量的描述統計分析

第三節離散趨勢三、四分位【例2-6】一組數據是某單位49名職工的住房面積。計算住房面積分布的四分位差。

某單位職工的住房面積（單位：平方米）33、42、42、48、48、52、55、58、62、65、65、65、66、66、66、66、68、68、68、68、68、70、70、70、72、72、72、72、75、75、75、76、76、78、85、87、90、92、95、98、103、109、110、112、118、125、130、178、179解：

n=49Q25的位置=n/4=49/4=12.25，第12.25個數據兩側的數據是65和66。因此，下四分位數為：Q25=65+0.25（66-65）=65.25同理，Q75的位置=3n/4=3*49/4=36.75，第36.75個數據兩側的數據是87和90。因此，上四分位數為：Q75=87+0.75（90-87）=89.25因此，四分位差為：

Q=Q75-Q25=89.25-65.25=25即:員工住房使用面積中間50%的數據的離散范圍為25平方米。【例2-6】一組數據是某單位49名職工的住房面積。計算住房面第二章單變量的描述統計分析

第三節

離散趨勢四、方差與標準差

極差和四分位差能較好地表明數據離散情況，但只給出了數據的分布范圍，只利用了數據的部分信息。極差和四分位差相等的兩組數據其分布情況可能差異很大。對于尺度變量概括其離散程度最好的特征值是方差和標準差。（一）平均差1、離差：變量的一個觀察值與變量平均值之間的差。2、平均離差：把所有離差加在一起再平均，能反映平均離散情況。平均差則是離差絕對值的平均值，也稱平均離差。第二章單變量的描述統計分析

第三節離散趨勢四、方差與第二章單變量的描述統計分析

第三節

離散趨勢四、方差與標準差

（二）方差、標準差方差和標準差是用平方的方法消除了離差中的絕對值后形成的統計特征值。方差是離差平方的平均值，標準差是方差的平方根。方差：式（2-13）標準差：式（2-14）第二章單變量的描述統計分析

第三節離散趨勢四、方差與四、方差與標準差

（二）方差、標準差1、用原始數據計算方差、標準差直接使用式（2-13）和（2-14）。【例2-8】

五名學生數學成績分別為72、81、86、69、57，計算這五名學生數學成績分布的方差和標準差。四、方差與標準差四、方差與標準差

（二）方差、標準差2、用頻次分布數據計算方差和標準差設變量有k個取值，每個取值出現的頻次為ni，則利用頻次分布數據計算方差和標準差的公式為：方差：式（2-15）標準差：式（2-16）四、方差與標準差方差：四、方差與標準差

（二）方差、標準差3、用原始分組數據計算方差和標準差用每一組的組中值來代替該組的變量值計算方差和標準差，用分組數據計算方差和標準差的公式為：方差：式（2-17）標準差：式（2-18）根據下表數據，計算居民住房面積的方差與標準差。ni為第i組的頻次四、方差與標準差方差：…………樣本方差、標準差的計算自由度自由度是指數據個數與附加給獨立的觀測值的約束或限制的個數之差從字面涵義來看，自由度是指一組數據中可以自由取值的個數。當樣本數據的個數為n時，若樣本平均數確定后，則附加給n個觀測值的約束個數就是1個，因此只有n-1個數據可以自由取值，其中必有一個數據不能自由取值按著這一邏輯，如果對n個觀測值附加的約束個數為k個，自由度則為n-k樣本方差的自由度是n-1。因為在計算離差平方和時，必須先求出樣本均值x，而x則是附加給離差平方和的一個約束，因此，計算離差平方和時只有n-1個獨立的觀測值，而不是n個。第二章單變量的描述統計分析

第三節

離散趨勢樣本方差、標準差的計算第二章單變量的描述統計分析

第三節樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實際應用角度看，在抽樣估計中，當用樣本方差s2去估計總體方差σ2時，它是σ2的無偏估計量。樣本方差和標準差的計算公式為：第二章單變量的描述統計分析

第三節

離散趨勢未分組原始數據：分組數據：樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實際應用角度看五、離散系數1. 標準差與其相應的均值之比對數據相對離散程度的測度消除了數據水平高低和計量單位的影響4. 用于對不同組別數據離散程度的比較5.計算公式為第二章單變量的描述統計分析

第三節

離散趨勢五、離散系數第二章單變量的描述統計分析

第三節離散趨一、偏態（見教材105頁）統計學家Pearson于1895年首次提出數據分布偏斜程度的測度3. 偏態系數=0為對稱分布對稱分布3. 偏態系數>0為右偏分布右偏分布偏態系數<0為左偏分布左偏分布偏態系數大于1或小于-1，被稱為高度偏態分布；偏態系數在0.5～1或-1～-0.5之間，被認為是中等偏態分布；偏態系數越接近0，偏斜程度就越低