Numericaleigenvalueofmatrix矩陣特征值問題的解法SchoolofMathematicsandInformationSciencesofHenanUniversity給出A=(an)m若有λ使得Ax=Ax,x≠0則稱λ為矩陣A的特征值,x為相應的特征向量。特征值λ為特征方程的根。det(A-a=0SchoolofMathematicsandInformationSciencesofHenanUniversity與矩陣想干的一些重要結果nvalueotmarIx.docSchoolofMathematicsandInformationSciencesofHenanUniversity特征值的估計與擾動問題特征值的估計D(A)={z∈c:lz-an∑an=A},i=1,2,,n稱之為Gerschgorin圓盤(蓋爾圓)Gerschgorin圓盤定理設A=(an).n階實方陣,則A的任一特征值必落在的某個Gerschgorin圓盤之中SchoolofMathematicsandInformationSciencesofHenanUniversity第二圓盤定理設A為n階實方陣,如果A的k個Gerschgorin圓盤與其他圓盤不相連,則恰好有A的k個特征值落在該k個圓盤的并集之中,即S=∪D.,T{1;…,ik,i1,…,n}為{1,2,…,m}的一個重新排列,S⌒T=①,則S中含有A的k個特征值特別地:孤立圓盤僅含有一個特征值SchoolofMathematicsandInformationSciencesofHenanUniversity例1設矩陣410A=101試討論A的特征值的分布解由A確定的3個圓盤分別為R,1{-4≤1},R2={A入|≤2},R3={21‖+4<2}所以3<,<52<≤26≤<2實際上,14.2083082=0.4429313.76010關于實對稱矩陣的極大一極小定理定義設A為n階實矩陣,x=(x1;…,xn)≠0,x∈R我們稱R(x)(Ar,r)xAx∑∑anxx;1乙xrdi=1j=1為矩陣A關于向量x的Rayleigh(雷利)商A為n階實對稱矩陣,則其特征值皆為實數記做A1≤2≤…≤λn并且存在規范正交特征向量系,滿足A1=Al1,i=1,2,…,n,(ul2,n1)=o;,i,j=1,2,SchoolofMathematicsandInformationSciencesofHenanUniversity定理設A為n階實對稱矩陣,其特征值為1≤氣2≤…≤n,則n=minR(r)=minAx,r)a,=maxR(x=maxX,,x)由于R(a)=R(x),對于任意x,可以取a,使得:ax2=1證明:假設l1,l2,…,ln為A的規范正交特征向量組,則對在何向量xeR",有SchoolofMathematicsandInformationSciencesofHenanUniversity于是(Ax,r)∑1a11,∑a1ul)R(x)=(x,x)∑au,∑au∑λa2/∑a2=1因而λ1≤(Ax,r)≤λ,特別地,若取x=u1,這時x5(A1,a1)=(1u1,u1)=λ1從而x1=minR(x).同理可證x,=maxR(x)X≠0SchoolofMathematicsandInformationSciencesofHenanUniversity按模最大特征值和特征向量的乘冪法設A是n階矩陣,其n個特征值按模從大到小排序為12|>121243|2…22又假設關于入1N無關