3.3冪函數第三章2021內容索引0102課前篇自主預習課堂篇探究學習課標闡釋思維脈絡1.通過具體實例,了解冪函數的概念,會求冪函數的解析式.(數學運算)2.結合冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的圖象,理解它們的變化規律.(直觀想象)3.能利用冪函數的基本性質解決相關的實際問題.(數學運算)課前篇自主預習[激趣誘思]給出下列5個說法:①如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,這里p是w的函數.②如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積S=a2,這里S是a的函數.③如果正方體的棱長為a,那么正方體的體積V=a3,這里V是a的函數.④如果一個正方形場地的面積為S,那么這個正方形的邊長a=,這里a是S的函數.⑤如果某人ts內騎車行進了1m,那么他騎車的平均速度v=t-1m/s,這里v是t的函數.問題:上述5個說法中,若自變量都用x表示,函數值用y表示,則對應的函數關系式分別是什么?[知識點撥]知識點一:冪函數的定義一般地,函數

y=xα叫做冪函數,其中x是自變量,α是常數.名師點析

冪函數的特征(1)xα的系數為1;(2)xα的底數是自變量x,指數α為常數;(3)項數只有一項.符合以上三個特征的函數才是冪函數.微練習在函數y=,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,冪函數的個數為

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答案

1解析

函數y==x-4為冪函數;函數y=3x2中x2的系數不是1,所以它不是冪函數;函數y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是冪函數;函數y=1與y=x0=1(x≠0)不是同一函數,所以y=1不是冪函數.知識點二:冪函數的性質與圖象1.在同一平面直角坐標系中,冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的圖象如下圖所示.2.冪函數的性質

冪函數y=xy=x2y=x3y=y=x-1定義域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性在R上單調遞增在[0,+∞)上單調遞增,在(-∞,0]上單調遞減在R上單調遞增在[0,+∞)上單調遞增在(0,+∞)上單調遞減,在(-∞,0)上單調遞減公共點(1,1)微拓展冪函數的圖象觀察冪函數的圖象在第一象限內的特征:(1)當α>0時,第一象限內的圖象是上升的,當α<0時,第一象限內的圖象是下降的;(2)當x>1時,α值大,圖象在上方;當0<x<1時,α值大,圖象在下方.微思考冪函數的圖象一定過定點嗎?提示

因為無論α取何值y=xα,當x=1時,1α=1,因此冪函數的圖象一定過定點(1,1).課堂篇探究學習探究一冪函數的概念例1函數f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且在區間(0,+∞)上單調遞增,試確定m的值.解

根據冪函數的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當m=3時,f(x)=x2在區間(0,+∞)上單調遞增;當m=-2時,f(x)=x-3在區間(0,+∞)上單調遞減,不符合要求.故m=3.要點筆記

冪函數的判斷方法判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,即:(1)系數為1;(2)指數為常數;(3)后面不加任何項.反之,若一個函數為冪函數,則該函數必具有這種形式.變式訓練1如果冪函數

的圖象不過原點,求實數m的取值.解

由冪函數的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;當m=1時,m2-m-2=-2,函數為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;當m=2時,m2-m-2=0,函數為y=x0,其圖象不過原點,滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.探究二冪函數的圖象例2已知函數y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,則a,b,c的大小關系為(

)A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案

A解析

由冪函數的圖象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.反思感悟

函數y=xα(α為常數)的圖象特點(1)恒過點(1,1),且不過第四象限.(2)當x∈(0,1)時,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當x∈(1,+∞)時,指數越大,冪函數的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).(3)由冪函數的圖象確定冪指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y=,y=x3)來判斷.(4)當α>0時,冪函數的圖象在區間(0,+∞)上都單調遞增;當α<0時,冪函數的圖象在區間(0,+∞)上都單調遞減.變式訓練2如圖所示,曲線C1與C2分別是函數y=xm和y=xn在第一象限內的圖象,則下列結論正確的是(

)A.n<m<0B.m<n<0C.n>m>0D.m>n>0答案

A解析

畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個函數圖象交于點(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個點的位置關系可知,n<m<0.故選A.探究三利用冪函數的單調性比較大小例3比較下列各組中兩個數的大小:反思感悟

1.比較冪大小的三種常用方法

2.利用冪函數單調性比較大小時要注意的問題比較大小的兩個實數必須在同一函數的同一個單調區間內,否則無法比較大小.探究四冪函數性質的綜合應用例4(2021黑龍江哈爾濱高一期末)函數

是冪函數,且在(0,+∞)上單調遞減,則實數m為(

)A.1 B.-1 C.2 D.-1或2答案

B解析

∵函數

是冪函數,∴可得m2-m-1=1,解得m=-1或2.當m=-1時,函數為y=x-1在區間(0,+∞)上單調遞減,滿足題意,當m=2時,函數為y=x5在(0,+∞)上單調遞增,不滿足條件.故選B.要點筆記

冪函數y=xα在(0,+∞)上的單調性與α的關系:當α>0時,冪函數y=xα在(0,+∞)上單調遞增;當α<0時,冪函數y=xα在(0,+∞)上單調遞減.變式訓練3冪函數f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上單調遞減,且f(-x)=f(x),則m=

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答案

1解析

∵冪函數f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上單調遞減,∴3m-5<0,即m<,又m∈N,∴m=0,1.∵f(-x)=f(x),∴f(x)為偶函數.當m=0時,f(x)=x-5是奇函數;當m=1時,f(x)=x-2是偶函數,故m=1.

素養形成數形結合法求解含冪的不等式典例

已知a2>,求實數a的取值范圍.方法點睛

已知xm與xn的大小,求x的取值范圍時,應借助冪函數y=xm與y=xn的圖象,利用數形結合的方法來解決.由圖象知,(1)當x∈(-∞,0)∪(1,+∞)時,f(x)>g(x);(2)當x=1時,f(x)=g(x);(3)當x∈(0,1)時,f(x)