隨機變量及概率分布第1頁，課件共68頁，創作于2023年2月§1

隨機變量及其分布函數一、

隨機變量第2頁，課件共68頁，創作于2023年2月

以X記兩號碼之和，對于每一個樣本點e，X都有一個值與之對應。第3頁，課件共68頁，創作于2023年2月S1.定義:設隨機試驗E的樣本空間是S={e}，若對于每一個e∈S,有一個實數X(e)與之對應,即X(e)是定義在S上的單值實函數，稱為隨機變量。（randomvariable,簡記為r.v.)例3.測試燈泡壽命試驗,其結果是用數量表示的.記燈泡的壽命為X,則X是定義在樣本空間S={e}={t|t≥0}上的函數,即X=X(e)=t,e=t∈S.e1第4頁，課件共68頁，創作于2023年2月有了隨機變量X,以前的各種隨機事件均可用X的變化范圍來表示:如例1中:A=“正面朝上”用{X=1}表示B=“反面朝上”用{X=0}表示反過來,X的一個變化范圍表示一個隨機事件.{0<X<2}=“正面朝上”.{X<0}=,第5頁，課件共68頁，創作于2023年2月注:(1)可用隨機變量X描述事件.例擲一顆骰子,設出現的點數記為X,事件A為“擲出的點數大于3”,則A可表示為“X>3”.隨機變量隨著試驗的結果而取不同的值,在試驗之前不能確切知道它取什么值,但是隨機變量的取值有一定的統計規律性—概率分布.第6頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.分類：(1)離散型隨機變量;(2)非離散型隨機變量.10連續型隨機變量20非連續型隨機變量第7頁，課件共68頁，創作于2023年2月二、隨機變量的分布函數很多時候，我們需要考慮r.v.的取值落入一個區間的概率,如定義：設r.v.X,x為任意實數,則F(x)=P{X≤x}稱為X的分布函數.P{x1<X≤x2},P{X≤x}等,為此引入隨機變量的分布函數.(1)P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).(2)無論是離散型r.v.還是非離散型r.v.,分布函數都可以描述其統計規律性.第8頁，課件共68頁，創作于2023年2月2.性質:(1)F(x)是單調不減函數.x2>x1,F(x2)-F(x1)=P{x1<X≤x2}0.(2)0≤F(x)≤1,F(-)=0,F(+)=1.(3)F(x)至多有可列個間斷點,而在其間斷點上也是右連續的,F(x+0)=F(x).第9頁，課件共68頁，創作于2023年2月§2

離散型隨機變量1.定義若隨機變量全部可能取到的值是有限多個或可列無限多個,則稱為離散型隨機變量.Xx1x2…xn…pkp1p2…pn...第10頁，課件共68頁，創作于2023年2月例1.設一汽車在開往目的地的道路上需經過四組信號燈,每組信號燈以概率p禁止汽車通過,以X表示汽車首次停下時已通過信號燈的組數,求X的分布律.(設各信號燈的工作是相互獨立的).解:X01234pk即P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3.(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4P{X=4}=(1-p)4

p解:X01234pk解:X01234pk解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk第11頁，課件共68頁，創作于2023年2月練習：(1)一個口袋中有4個紅球，2個白球，逐一地從袋中不放回摸球，直至摸到紅球為止。設摸球次數為X，求X的分布律。(2)一個盒子中有1，2，…

，10共十個號碼牌，在盒子中同時取4個號碼牌，以X表示取出的4個號碼牌中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律。第12頁，課件共68頁，創作于2023年2月例2.離散型r.v.,已知分布律可求出分布函數. X-123pk1/41/21/4求：X的分布函數,并求P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2}.解第13頁，課件共68頁，創作于2023年2月P{X≤1/2}=F(1/2)P{X≤1/2}=P{X=-1}=1/4,=1/4或由分布律直接得P{3/2<X≤5/2}=F(5/2)-F(3/2)=1/2.第14頁，課件共68頁，創作于2023年2月幾種重要的離散型隨機變量（一）0-1分布

設隨機試驗E有兩種可能的結果：S={e1,e2},設隨機變量X：第15頁，課件共68頁，創作于2023年2月(二)伯努利試驗、二項分布例1.設X是n重貝努利試驗中事件A發生的次數,每次試驗中A發生的概率為p,則X是一個隨機變量,我們來求它的分布律.第16頁，課件共68頁，創作于2023年2月一般地有稱X服從參數為n,p的二項分布,記為X~b(n,p).當n=1時,P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,即為0-1分布.第17頁，課件共68頁，創作于2023年2月例2.某種電子元件的使用壽命超過1500小時為一級品,已知一大批該產品的一級品率為0.2,從中隨機抽查20只,求這20只元件中一級品的只數X的分布律.解:第18頁，課件共68頁，創作于2023年2月例3.某人進行射擊,每次命中率為0.02,獨立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.當n較大,p又較小時,二項分布的計算比較困難,例如0.98400，0.02400,…,可以用Pois-son分布近似計算.第19頁，課件共68頁，創作于2023年2月例4.設有80臺同類型設備,各臺工作是相互獨立的,發生故障的概率都是0.01,且一臺設備的故障由一個人處理。考慮兩種方法，其一是由4人維護，每人負責20臺，其二是由3人共同維護80臺，試比較這兩種方法在設備發生故障不能及時維修的概率的大小。第20頁，課件共68頁，創作于2023年2月第21頁，課件共68頁，創作于2023年2月(三)泊松分布(Poisson)

(2)泊松分布有很多應用.第22頁，課件共68頁，創作于2023年2月泊松(Poisson)定理：證明:(3)二項分布與泊松分布之間的關系由下面的泊松定理給出.第23頁，課件共68頁，創作于2023年2月泊松定理的意義：1.在定理的條件下,二項分布的極限分布是泊松分布.2.當n很大且p又較小時,第24頁，課件共68頁，創作于2023年2月(四)幾何分布進行重復獨立試驗,設每次試驗成功的概率為p,失敗的概率為1-p=q(0<p<1),將試驗進行到出現一次成功為止,以X表示所需的試驗次數,則X的分布律為:P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…稱為X服從參數為p的幾何分布.例設某種社會定期發行的獎券,每券1元,中獎率為p,某人每次購買1張獎券,如果沒有中獎下次繼續再買1張,直到中獎止,求購買次數X的分布律.解：P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…第25頁，課件共68頁，創作于2023年2月若該人共準備購買10次共10元錢,即如果中獎就停止,否則下次再購買1張,直到10元共花完為止,求購買次數Y的分布律.解：P{Y=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…,9,P{Y=10}=p(1-p)9+(1-p)10=(1-p)9.第26頁，課件共68頁，創作于2023年2月引例.一個靶子是半徑為2米的圓盤,設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比,并設射擊都能擊中靶,以X表示彈著點與圓心的距離.試求X的分布函數.§3

連續型隨機變量第27頁，課件共68頁，創作于2023年2月第28頁，課件共68頁，創作于2023年2月則稱X為連續型r.v.f(x)稱為X的概率密度函數,簡稱概率密度.連續型隨機變量的分布函數是連續函數。第29頁，課件共68頁，創作于2023年2月第30頁，課件共68頁，創作于2023年2月第31頁，課件共68頁，創作于2023年2月第32頁，課件共68頁，創作于2023年2月第33頁，課件共68頁，創作于2023年2月第34頁，課件共68頁，創作于2023年2月3.關于連續型r.v.的一個重要結論:定理:設X為連續型r.v.它取任一指定的實數值a的概率均為0.即P{X=a}=0.第35頁，課件共68頁，創作于2023年2月4.幾個常用的連續型r.v.分布(一)均勻分布:則稱隨機變量X在(a,b)上服從均勻分布,記作X~U(a,b).此概率與子區間長度成正比,而與子區間的位置無關,

這也是均勻分布的由來.第36頁，課件共68頁，創作于2023年2月分布函數為:第37頁，課件共68頁，創作于2023年2月(二)指數分布:1.定義:如果連續型隨機變量X的概率密度為:則稱X服從參數為的指數分布。第38頁，課件共68頁，創作于2023年2月第39頁，課件共68頁，創作于2023年2月(三)正態分布:第40頁，課件共68頁，創作于2023年2月第41頁，課件共68頁，創作于2023年2月如何計算概率?通過標準正態分布計算其它一切正態分布的概率:(2)標準正態分布:第42頁，課件共68頁，創作于2023年2月引理:第43頁，課件共68頁，創作于2023年2月第44頁，課件共68頁，創作于2023年2月第45頁，課件共68頁，創作于2023年2月例設某商店出售的白糖每包的標準重量500克,設每包重量X(以克計)是隨機變量,X~N(500,25),求:(1)隨機抽查一包,其重量大于510克的概率;(2)隨機抽查一包,其重量與標準重量之差的絕對值在8克之內的概率;(3求常數c,使每包的重量小于c的概率為0.05.第46頁，課件共68頁，創作于2023年2月(1)

由(x)=0.05怎樣查表求x的值?由于(x)=0.05,1-(x)=1-0.05,所以(-x)=0.95,而(1.645)=0.95,即:-x=1.645,故x=-1.645.第47頁，課件共68頁，創作于2023年2月(2)若X~N(,2)P{-≤X≤+}=2(1)-1=0.6286.P{-2≤X≤+2}=2(2)-1=0.9544.P{-3≤X≤+3}=2(3)-1=0.997.由上三式可知,服從正態分布N(,2),的r.v.X之值幾乎全部落入[-3,+3]內,稱為3原則，常應用于工程技術中。第48頁，課件共68頁，創作于2023年2月z(x)0(3)標準正態分布的上分位點:第49頁，課件共68頁，創作于2023年2月§4.

隨機變量的函數的分布我們將研究如何由已知的r.v.X的分布,去求得它的函數Y=g(X)的分布,(其中g(.)是已知的連續函數),分兩種情形討論:一、X為離散型r.v.例1.設X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1012pk0.20.30.10.4X-1012pk0.20.30.10.4Y4101第50頁，課件共68頁，創作于2023年2月即Y014pk0.10.70.21.

離散型r.v.函數的概率分布的求法:設X的概率分布如下表:Xx1x2…xk…P{X=xi}p1p2…pk...(1)記yi=g(xi)(i=1,2,…),若yi的值是互不相同的,則Y的概率分布如下表:Yy1y2…yk…P{Y=yi}p1p2…pk...第51頁，課件共68頁，創作于2023年2月二、X為連續型r.v.(2)若g(x1),g(x2),…中不是互不相同的,則應將那些相同值所對應的概率pi相加,可得Y的分布律.第52頁，課件共68頁，創作于2023年2月1.“分布函數法”:(1)先求出Y的分布函數:FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{XG},其中

G={x:g(x)≤y},轉化為關于X的事件,再利用X

的分布函數表示.(2)對y求導得到Y的概率密度:fY(y)=FY′

(y).第53頁，課件共68頁，創作于2023年2月第54頁，課件共68頁，創作于2023年2月第55頁，課件共68頁，創作于2023年2月(1)若f(x)在有限區間[a,b]以外等于零,則只需假設在[a,b]上g(x)嚴格單調,選取

=min(g(a),g(b)),=max(g(a),g(b)).2.定理:設X是連續型r.v.,具有概率密度fX(x),設y=g(x)是x的嚴格單調函數,且反函數x=h(y)具有連續的導函數.當g(x)嚴格增加時,記=g(-),=g(+)