廣西壯族自治區(qū)南寧市富庶中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的值為(

)A. B.

C.

D.參考答案：B略2.如圖，某幾何體的三視圖中，正視圖和側(cè)視圖都是半徑為的半圓和相同的正三角形，其中三角形的上頂點是半圓的中點，底邊在直徑上，則它的表面積是（）A．6π B．8π C．10π D．11π參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個半球挖去一個圓錐所得的組合體，進而可得幾何體的表面積．【解答】解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個半球挖去一個圓錐所得的組合體，由正視圖和側(cè)視圖都是半徑為的半圓和相同的正三角形，故半球的半徑為，圓錐的底面半徑為1，母線長為2，故組合體的表面積S=+（﹣π?12）+π?1?2=10π，故選：C【點評】本題考查的知識點是圓錐的體積和表面積，球的體積和表面積，難度中檔．3.函數(shù)的圖像向右平移()個單位后，與函數(shù)的圖像重合．

則(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C,所以,選C.4.若的展開式中的常數(shù)項是65，則a的值為

（

）

A．—2

B．—1

C．1

D．2參考答案：A略5.加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分．某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400N，則該學生的體重（單位：kg）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）A.63 B.69 C.75 D.81參考答案：B【分析】根據(jù)平行四邊形法則得到該學生的體重,利用余弦定理即可求出得解.【詳解】如圖，設該學生的體重為,則.由余弦定理得.所以.故選：B【點睛】本題主要考查向量的平行四邊形法則和余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.6.“”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B因為“”是“”的逆否命題是“”是“”的必要不充分條件，選B7.教育部選派3名中文教師到外國任教中文，有4個國家可供選擇，每名教師隨機選擇一個國家，則恰有2名教師選擇同一個國家的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.同時具有性質(zhì)：“①最小正周期是；②圖象關(guān)于直線對稱；③在上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C略9.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝,則集合CuA等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知等差數(shù)列中，，記，S13=(

)A．78

B．68

C．56 D．52

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在2013年3月15日那天，長沙縣物價部門對星沙的5家商場的某商品的一天銷售量及其價格進行調(diào)查，5家商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價格x99.51010.511銷量y1110865根據(jù)上表可得回歸直線方程是：則__________.參考答案：40略12.如圖在三角形ABC中，E為斜邊AB的中點，CD⊥AB，AB＝1,則的最大值是

.參考答案：.略13.在三棱錐P－ABC中，任取兩條棱，則這兩條棱異面的概率是＿＿＿＿參考答案：三棱錐中兩條相對的棱所在是直線是異面直線，共有3對，從6條棱中任取兩條，利用列舉法可知有15種取法，∴取到兩條棱異面的概率是．14.已知直線l：y=x﹣1與曲線相切于點A，則A點坐標為．參考答案：（1，0）【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】設切點A（m，n），代入切線的方程和曲線方程，求得函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，化為lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的導數(shù)大于0，且f（1）=0，解方程可得m=1，n=0，進而得到切點的坐標．【解答】解：設切點A（m，n），可得m﹣1=n，=n，y=的導數(shù)為y′=，可得=1，即為lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的導數(shù)為+2m＞0，則f（m）遞增，且f（1）=1，即有方程lnm+m2=1的解為m=1．可得n=0．即為A（1，0）．故答案為：（1，0）．15.設O為坐標原點，A(2,1)，若點B(x,y)滿足，則的最大值是

．參考答案：16.已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間上有零點，則ab的最大值是．參考答案：【考點】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】對判別式△和在區(qū)間上的零點個數(shù)進行討論得出ab的最值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間上有零點，∴△=a2﹣4b≥0，（1）若△=0，即b=時，f（x）的零點為x=﹣，∴0≤﹣≤1，即﹣2≤a≤0，∴ab=，∴當a=0時，ab取得最大值0；（2）若△＞0，即b＜，①若函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間上有一個零點，則f（0）?f（1）≤0，∴b（1+a+b）≤0，即b+b2+ab≤0，∴ab≤﹣b2﹣b=﹣（b+）2+，∴ab的最大值是；②若函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間上有兩個零點，∴，即顯然ab≤0，綜上，ab的最大值為．17.點集的圖形是一條封閉的折線，這條封閉折線所圍成的區(qū)域的面積

是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答．（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對理科題的概率均為，答對文科題的概率均為，若每題答對得10分，否則得零分．現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分X的分布列與數(shù)學期望E（X）．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；條件概率與獨立事件．【分析】（1）利用條件概率公式，即可求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）確定X的可能取值，利用概率公式即可得到總分X的分布列，代入期望公式即可．【解答】解：（1）記“該考生在第一次抽到理科題”為事件A，“該考生第二次和第三次均抽到文科題”為事件B，則P（A）=，P（AB）=．…∴該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率為P（B|A）=．…（2）X的可能取值為：0，10，20，30，則P（X=0）==，P（X=10）=+=，P（X=20）==，P（X=30）=1﹣﹣﹣=．…∴X的分布列為X0102030p…∴X的數(shù)學期望為EX=0×+10×+20×+30×=．…19.（本小題滿分12分）某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量多少的調(diào)查，喜歡玩電腦游戲的同學認為作業(yè)多的有18人，認為作業(yè)不多的有9人，不喜歡玩電腦游戲的同學認為作業(yè)多的有8人，認為作業(yè)不多的有15人，則認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)量的多少有關(guān)系的把握大約是多少？參考答案：解：

認為作業(yè)多認為作業(yè)不多總數(shù)喜歡玩電腦游戲18927不喜歡玩電腦游戲81523總數(shù)262450K2=，

P（K2>5.024）=0.025,有97.5%的把握認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)多有關(guān)系。略20.已知函數(shù)f(x)=xlnx－ax2，g(x)=f′(x)，（1）若，試判斷函數(shù)g(x)的零點個數(shù)；（2）若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)不單調(diào)且在(2,+∞)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍。參考答案：（解法1）

。。。。。。。。。。。。。1分

正0負增極大值減

。。。。。。。。。。。。3分由表可知，在處取得最大值，最大值為，因為，所以

。。。。。。。。。。。。5分因為g(x)圖像是先增后減，函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為零個或者一個，當時g(x)有1個零點；當時g(x)無零點。

。。。。。。。。。。。。6分（解法2）,

。。。。。。。。。。。1分得即，所以函數(shù)的零點個數(shù)等價于兩函數(shù)與圖像的交點個數(shù)

。。。。。。。。。。。。。2分設兩者相切時切點為，則由且得。。。4分

由圖可知：

當時，兩函數(shù)圖像有1個交點，有1個零點；時，兩函數(shù)圖像無交點，無零點；

。。。6分（解法3）,

。。。。。。。。1分得即，所以，所以函數(shù)的零點個數(shù)等價于兩函數(shù)與的交點個數(shù)，

。。。。。。。。2分因為，所以，時，有極大值，

。。。。。。。。4分如圖所示由圖可知時，兩函數(shù)圖像無交點，無零點；當時，兩函數(shù)圖像有一個交點，有一個零點；

。。。。。。。。。。6分（2）（解法1）由（1）知，時，無零點或一個零點，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時，

………8分在上單調(diào)遞減時，，即恒成立，亦等價于時，，

…………

………9分，①當時，，遞增，不合題意；②當時，，此時，遞減，時，由得，解得，所以

③當時，，時正0負增極大值減

由表可知時，取最大值，最大值為，不合題意

…………

………11分綜上可得

…………

………

12分（解法2）由（1）知，時，無零點或一個零點，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時，

…………

………8分在上單調(diào)遞減時，，即恒成立由得，令，則恒成立，

………

9分因為，所以時，單調(diào)遞減，，

由恒成立得，解得，

………

11分綜上可得

…………

………12分21.已知函數(shù)．

(1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2）當時，用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；(3）求函數(shù)在上的最值．參考答案：（1）由題意，函數(shù)的定義域為R，對任意都有故f（x）在R上為奇函數(shù)；

(2）任取則故f（x