PAGEPAGE3第一章《計數原理》教材分析昌平一中張全合2015/3/11一、本章的地位和作用計數問題是數學中的研究對象之一，分類加法計數原理、分步乘法計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，以計數問題為主要內容的排列與組合，是學習概率理論的準備知識，而且由于其思維方法的新穎性與獨特性，也是培養學生思維能力的不可多得的好素材。作為初中多項式乘法公式推廣的二項式定理，不僅使前面組合等知識的學習得到強化，而且與后面概率中的二項分布有著密切聯系。二、本章知識結構圖三、對2011-2014年高考試題分析（一）2011-2014年高考試題集錦1.（2011理12）用數字2,3組成四位數，且數字2,3至少都出現一次，這樣的四位數共有__________個。（用數字作答）2.（2102理6）從0，2中選一個數字.從1,3,5中選兩個數字,組成無重復數字的三位數.其中奇數的個數為（）A.24B.18C.12D.63.（2013理12）將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少一張，如果分給同一人的兩張參觀券連號，那么不同的分法種數是.4.（2014理13）把5件不同產品擺成一排，若產品與產品不相鄰，則不同的擺法有_______種.（二）知識點的考查匯總年份題型題號分值考查主要知識點2011填空題125分步乘法計數原理（排數問題，可重復）2012選擇題65排列（排數問題，先選后排）2013填空題125排列（先數后排）2014填空題135排列（不相鄰問題）四、本章的重點難點及其解決策略（一）數學知識1．兩個原理（分類加法計數原理、分步乘法計數原理）分類和分步的區別，關鍵是看事件能否完成，事件完成了就是分類；必須要連續若干步才能完成的則是分步。分類要用加法原理將種數相加；分步要用乘法原理，分步后再將種數相乘。2．兩個概念（排列、組合）排列與組合是既有聯系又有區別的兩類問題，它們都是從n個不同元素中任取m個不同元素。但是前者要求將元素排成一個順序，后者對此不做要求。若不理解排列和組合問題的區別，在分析實際問題時就會犯錯誤。學習中注意突出：（1）如何確定元素和位置的關系，元素及其所占的位置，這是排列組合問題中的兩個基本要素。以元素為主，分析各種可能性，稱為“元素分析法”；以位置為主，分析各種可能性，稱為“位置分析法”。例：3封不同的信，有4個信箱可供投遞，共有多少種不同的投信方法？（2）兩個概念有何差異（組成的元素相同，但與順序關系不同），初步形成兩者的關系或關系式。例：（1）平面內有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？（2）平面內有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？3．兩類基本公式排列數公式：組合數公式：排列數公式與組合數公式都有兩種形式：乘積形式和階乘形式。前者多用于數字計算，后者多用于證明恒等式。4．兩類基本性質性質1：性質2：例：求和：C22+C32+C42+……+C1002.5．二項式定理的有關概念第一、對通項要注意以下幾點：①它表示二項展開式中的任意項，只要n與r確定，該項也隨之確定。②公式表示的是第r+1項，而不是第r項。③公式中a，b的位置不能顛倒，它們的指數和一定為n。第二、要注意區分展開式的第r+1項的二項式系數與第r+1項的系數是兩個不同的概念，千萬不能混在一起。（二）典型方法排列組合應用問題，大致可分為三類：簡單的排列或組合題，可以根據公式直接求結果（不帶限制條件）帶有限制條件的排列或組合題，有兩種計算方法直接法：把符合限制條件的排列或組合數直接計算出來。間接法：先暫時不考慮限制條件的排列或組合種數，然后從中減去所有不符合條件的排列或組合種數。排列組合綜合問題，采取先選后排的原則，要作到合理分類。相鄰問題并組法題目中規定相鄰的幾個元素并為一個組（當作一個元素）參與排列，要注意相鄰元素內部間也存在排列。例1．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數有2．相離問題插空法元素相離問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規定相離的幾個元素插入上述幾個元素間的空位和兩端。例2．七個人并排站成一行，如果甲、乙兩個必須不相鄰，那么不同排法有種3．定序問題組合法在排列問題中限制某幾個元素保持一定順序，可用縮小倍數的方法。例3．A、B、C、D、E五個人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可不相鄰），那么不同的排法有種4．定位問題優先法某個（或幾個）元素要排在指定位置上，可先排這個（幾個）元素，再排其他元素。例4．一名老師和四名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不在兩端則有不同的排法有種。例5．從6名運動員中選出4個參加4×100接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有種不同的參賽方法。5．部分合條件問題排除法在選取總數中，只有一部分條件可從總數中減去不合條件數，即為所求。例6．凸n邊形的對角線的條數為。6．至少問題間接法例7．從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同取法共有種。7．窮舉法例8．將數字1，2，3，4，填入標號為1，2，3，4的四個方格里每格填一個數字，則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法有種（三）典型問題1．排數字問題例：用0，1，2，3，4，5這六個數字，(1)可以組成個數字不重復的三位數.(2)可以組成個數字允許重復的三位數.(3)可以組成個數字不允許重復的三位奇數.(4)可以組成個數字不重復的小于1000的自然數.2.排隊問題例．有6名同學排成一排照相共有____________種不同的排法；甲必須站在左端，共有____________種不同的排法；甲必須站在兩端，共有____________種不同的排法；甲、乙兩人必須站在兩端，共有____________種不同的排法；甲、乙兩人必須相鄰，共有____________種不同的排法；甲、乙兩人必須不相鄰，共有____________種不同的排法；甲必須站在左端，乙不在右端，共有____________種不同的排法；甲不在左端，乙不在右端，共有____________種不同的排法；甲、乙兩人之間必須相隔1人，共有____________種不同的排法。（10）甲、乙、丙三人從左到右按甲、乙、丙的順序排列，共有____________種不同的排法。3.分組與分配問題例：有六本不同的書，平均分成3堆，每堆兩本，有種分法．分成3堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有種分法．分成3堆，一堆一本，一堆一本，一堆四本，有種分法．分給甲、乙、丙三人，如果每人得2本有種分法．分給甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有種分法．分給甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，1人得3本，有種分法．⑦分給4人，其中2人各1本，2人各兩本，有種分法．4.至多至少問題1．從4名男生和5名女生中選出5人組成代表團，要求男、女生至少各一人，共有種不同的選法．2．從10名男同學和8名女同學中選出班長1人，副班長2人，要求至少有1名女同學，則不同的選法共有種．3．把4名學生分到3個不同的小組中，每組至少1名，則不同的分法共有種．五、學生易錯點分析及其解決策略1．對概念的應用區分不清，容易混淆兩個原理的區別：乘法與排列的區別：（取出的元素是否可以重復）排列與組合的區別：（取出的元素是否需要排序）2．如何對自己的答案進行正確的驗證例8．從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其