數學建模競賽講課第1頁，課件共37頁，創作于2023年2月歡迎參加全國高校規模最大的基礎性學科競賽--一次參賽，終生受益！

/全國大學生數學建模競賽創辦于1992年，每年一屆，目前已成為全國高校規模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規模最大的數學建模競賽。第2頁，課件共37頁，創作于2023年2月2011年，來自全國33個省/市/自治區(包括香港和澳門特區)及新加坡、美國的1251所院校、19490個隊（其中本科組16008隊、?？平M3482隊）、58000多名大學生報名參加本項競賽。第3頁，課件共37頁，創作于2023年2月我校參加數學建模競賽成績2005：1個省級三等獎。2006：2個省級三等獎。2007：2個省二等獎，3個省三等獎。2008：1個省三等獎。2009：1個省二等獎，1個省三等獎。2010：1個省一等獎，1個省二等獎，2個省三等獎。2011：1個省三等獎。第4頁，課件共37頁，創作于2023年2月“一次參賽，終生受益”。許多參加過競賽的學生反映：“一次參賽，終生受益”，他們在后繼專業課學習和課題研究中的綜合能力明顯提高，畢業后受到用人單位的歡迎和重用，不少人被免試推薦讀研究生。第5頁，課件共37頁，創作于2023年2月全國大學生數學建模競賽競賽內容：題目由現實社會中各個領域的實際問題簡化而成，沒有事先設定的標準答案，但留有充分余地供參賽者發揮其聰明才智和創造精神。第6頁，課件共37頁，創作于2023年2月競賽形式：三名大學生組成一隊，可以自由地收集資料、調查研究，使用計算機、互聯網和任何軟件，在三天時間內分工合作完成一篇論文。第7頁，課件共37頁，創作于2023年2月評獎標準：假設的合理性、建模的創造性、結果的正確性、文字表述的清晰程度。競賽宗旨：創新意識，團隊精神，重在參與，公平競爭。第8頁，課件共37頁，創作于2023年2月我校的數學建模競賽的培訓4月14日上午孫中舉數學建模的簡單介紹4月14日下午付輝運籌與優化模型4月15日上午劉曉勇智能優化算法4月15日下午陳月紅圖論與網絡模型4月21日上午彭國俊微分方程模型4月21日下午蔣經華隨機數學模型4月22日上午馬震遠Matlab軟件初步與計算機模擬4月22日下午陳潮填數學建?？荚嚪椒ê驼撐膶懽?月28、29日2012年我校數學建模競賽

第9頁，課件共37頁，創作于2023年2月請加入廣東技術師范學院數學建模新群，新群號是206414654.以后有些通知和資料都會在這個群里發布。歡迎大家積極參加全國數學數學建模競賽！第10頁，課件共37頁，創作于2023年2月◆按研究方法和對象的數學特征分：初等模型、幾何模型、優化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩定性模型、擴散模型等。數學模型的分類：◆按研究對象的實際領域（或所屬學科）分：人口模型、交通模型、環境模型、生態模型、生理模型、城鎮規劃模型、水資源模型、污染模型、經濟模型、社會模型等。

模型

第11頁，課件共37頁，創作于2023年2月數學建模的一般步驟模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型準備模型假設模型構成模型驗證模型分析模型求解模型應用第12頁，課件共37頁，創作于2023年2月模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數學的語言、符號描述問題發揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數學工具第13頁，課件共37頁，創作于2023年2月模型求解各種數學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統計分析、模型對數據的穩定性分析模型分析模型檢驗與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用第14頁，課件共37頁，創作于2023年2月現實對象與數學模型的關系現實對象信息數學模型數模的解答現實對象的解答用數學語言表述歸納求解演繹解釋驗證表述求解解釋驗證根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題選擇適當的數學方法求得數學模型的解答將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現實對象的信息檢驗得到的解答實踐理論實踐第15頁，課件共37頁，創作于2023年2月簡單實例分析第16頁，課件共37頁，創作于2023年2月例一、棋子顏色的變化1、問題：任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8個，排成如下圖所示的圓圈，然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子。再重復以上的過程，問這樣重復進行下去各棋子的顏色會怎樣變化呢?第17頁，課件共37頁，創作于2023年2月2、最終結論是什么？可完全用數學的推理方法說明最多經過8次變換，各棋子的顏色都會變黑。第18頁，課件共37頁，創作于2023年2月3、分析注意：規則是兩同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，與有理數符號規則類似。方法：用+1表爾黑色，用－l表示白色，開始擺的八顆棋子記為a1，a2，...，a8，并且ak＝+1或-1，

k＝1，2，…，8，下一次在al與a2中間擺的棋子的顏色由a1和a2是同色還是異色而定。類似的akak+1正好給出了所放棋子的顏色。第19頁，課件共37頁，創作于2023年2月4、符號運算規則規則：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入記號⊙，黑為+1，白為-1，則：

(＋1)⊙(＋1)＝(＋１)^２=＋１

(－1)⊙(－1)＝(－１)^２=＋１

(＋1)⊙(－1)＝－１可以看作一種乘法，而且具有交換性和結合性第20頁，課件共37頁，創作于2023年2月5、各次顏色的確定可見：最多經過8次變換以后，各個數都變成丁+1，這意味著所有棋子都是黑色，且以后重復上述過程，顏色也就不再變化了。第21頁，課件共37頁，創作于2023年2月規則：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入記號⊙，黑為0，白為1，則：

1+1=0，0+0=0，

1+0=1，0+1=1這種二進制的加法具有交換性和結合性。第22頁，課件共37頁，創作于2023年2月背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規律控制人口過快增長例二、如何預報人口的增長第23頁，課件共37頁，創作于2023年2月模型1今年人口x0,年增長率rk年后人口模型2模型假設1）時刻t人口增長的速率與當時人口數成正比，增長率為常數r。2）以x(t)表示時刻t某地區（或國家）的人口數，設人口數x(t)足夠大，可以視做連續函數處理，且x(t)關于t連續可微

人口指數增長模型（馬爾薩斯Malthus，1766--1834）第24頁，課件共37頁，創作于2023年2月模型建立及求解據模型假設，在t到t+t

時間內人口數的增長量為第25頁，課件共37頁，創作于2023年2月如果設t=t0時刻的人口數為，則x(t)滿足初值問題：tx(t)第26頁，課件共37頁，創作于2023年2月19世紀以前歐洲一些地區的人口統計數據可以很好的吻合。19世紀以后的許多國家，模型遇到了很大的挑戰。注意到，我們的地球是有限的，故指數增長模型（Malthus模型）對未來人口總數預測非?；闹嚕缓铣＠?，應該予以修正。

模型檢驗第27頁，課件共37頁，創作于2023年2月我們把人口數僅僅看成是時間的函數，忽略了個體間的差異（如年齡、性別、大小等）對人口增長的影響。2.假定是連續可微的。這對于人口數量足夠大，而生育和死亡現象的發生在整個時間段內是隨機的，可認為是近似成立的。3.人口增長率是常數，意味著人處于一種不隨時間改變的定常的環境當中。4.模型所描述的人群應該是在一定的空間范圍內封閉的，即在所研究的時間范圍內不存在有遷移（遷入或遷出）現象的發生。

模型討論

不難看出，這些假設是苛刻的、不現實的，所以模型2只符合人口的過去結果而不能用于預測未來人口。第28頁，課件共37頁，創作于2023年2月人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環境能容納的最大數量）r是x的減函數模型3阻滯增長模型(Logistic模型)第29頁，課件共37頁，創作于2023年2月dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2第30頁，課件共37頁，創作于2023年2月參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數r或r,xm利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位~百萬）

186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4r=0.2557,xm=392.1第31頁，課件共37頁，創作于2023年2月模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數據后重新估計模型參數Logistic模型在經濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0第32頁，課件共37頁，創作于2023年2月復雜的人口模型可見數學模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實際情況的變化?？紤]人口年齡分布的偏微分方程模型。考慮女性人口比例和人口遷移等因素有宋健-于景元人口模型。第33頁，課件共37頁，創作于2023年2月問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步決策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數不比商人多),經有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)例三、商人們怎樣安全渡河第34頁，課件共37頁，創作于2023年2月模型構成xk~第k次渡河前此岸的商人數yk~第k次渡河前此岸的隨從數xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過程的狀態S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態集合uk~第k次渡船上的商人數v